corr-2016-2017-ts_spe-i01

Correction Interrogation 1 - Sujet A - TermS spécialité
Calculatrice autorisée
Exercice 1. (3 points)
1. Donner la liste des diviseurs positifs de 20 en écrivant à côté les produits permettant d’exhiber ses diviseurs.
D+(20)={1,2,4,5,10,20}sachant que 20 =1×20
=2×10
=4×5
(=5×4)
2. Donner, sans justifier, la liste des diviseurs de 49.
D(49)={−49,−7,−1,1,7,49}sachant que 49 =1×49
=7×7
(produits non demandés)
3. Donner sans justifier deux multiples strictement positifs de 13 dont l’un des deux comporte 4chiffres, et deux strictement négatifs.
Il y a une infinité de multiples de 13, et une infinité de réponses à la question.
Par exemple, 13 et 1300 sont deux multiples strictement positifs de 13, et −26 et −39 sont deux multiples
strictement négatifs de 13.
13 =1×13 ;1300 =13 ×100 ;−26 =−2×13 ;−39 =−3×13.
Remarque : L’ensemble des multiples de 13 est {13 ×koù kparcourt Z}, ensemble qui se note 13Z.
Exercice 2. (4 points)
Déterminer quels sont les entiers relatifs ntels que n+5divise 7n+32.
n+5∣7n+32 or n+5∣n+5ainsi n+5∣7n+35 donc, par combinaison linéaire, n+5∣ ((7n+32)−(7n+35)) ie
n+5∣ (−3)
Par conséquent, n+5∈D(−3)={−3,−1,1,3}. On a donc :
n+5−3−1 1 3
n−8−6−4−2
7n+32 −24 −10 4 18
Vérification −3∣−24 ∶√−1∣−10 ∶√1∣4∶√3∣18 ∶√
Conclusion : S={−8,−6,−4,−2}.
Remarque : La vérification est indispensable, comme la rédaction se fait avec des implications et non des
équivalences, les solutions nde n+5∣7n+32 sont parmi celles de n+5∣ (−3), il peut y en avoir en trop.
Si on veut éviter d’avoir à faire la vérification, il faut montrer que si n+5∣ (−3)alors n+5∣7n+32 :
n+5∣ (−3)or n+5∣n+5ainsi n+5∣7n+35 donc, par combinaison linéaire, n+5∣7n+35 +(−3)ie n+5∣7n+32.
CQFD
Exercice 3. (3 points)
Démontrer que, quel que soit l’entier relatif n, les nombres suivants sont premiers entre eux : 3n−1et 5n−2.
Soit n∈N. On considère d∶=pgcd(3n−1,5n−2)(d⩾0).
On a : ⎧
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎩
d∣3n−1Ô⇒ d∣15n−5
d∣5n−2Ô⇒ d∣15n−6
⎫
⎪
⎪
⎪
⎬
⎪
⎪
⎪
⎭Ô⇒ d∣ ((15n−5)−(15n−6)) (par combinaison linéaire) ie d∣1
Par conséquent d∈D={−1,1}, or d⩾0, donc d=pgcd(3n−1,5n−2)=1.
Conclusion : quel que soit n∈N,3n−1et 5n−2sont premiers entre eux.

Correction Interrogation 1 - Sujet B - TermS spécialité
Calculatrice autorisée
Exercice 1. (3 points)
1. Donner la liste des diviseurs positifs de 18 en écrivant à côté les produits permettant d’exhiber ses diviseurs.
D+(18)={1,2,3,6,9,18}sachant que 18 =1×18
=2×9
=3×6
(=6×3)
2. Donner, sans justifier, la liste des diviseurs de 25.
D(25)={−25,−5,−1,1,5,25}sachant que 25 =1×25
=5×5
(produits non demandés)
3. Donner sans justifier deux multiples strictement positifs de 14 dont l’un des deux comporte 4chiffres, et deux strictement négatifs.
Il y a une infinité de multiples de 14, et une infinité de réponses à la question.
Par exemple, 14 et 1400 sont deux multiples strictement positifs de 14, et −28 et −42 sont deux multiples
strictement négatifs de 14.
14 =1×14 ;1400 =14 ×100 ;−28 =−2×14 ;−42 =−3×14.
Remarque : L’ensemble des multiples de 14 est {14 ×koù kparcourt Z}, ensemble qui se note 14Z.
Exercice 2. (4 points)
Déterminer quels sont les entiers relatifs ntels que n+4divise 3n+10.
n+4∣3n+10 or n+4∣n+4ainsi n+4∣3n+12 donc, par combinaison linéaire, n+4∣ ((3n+10)−(3n+12)) ie
n+4∣ (−2)
Par conséquent, n+4∈D(−2)={−2,−1,1,2}. On a donc :
n+4−2−1 1 2
n−6−5−3−2
3n+10 −8−5 1 4
Vérification −2∣−8∶√−1∣−8∶√1∣1∶√2∣4∶√
Conclusion : S={−6,−5,−3,−2}.
Remarque : La vérification est indispensable, comme la rédaction se fait avec des implications et non des
équivalences, les solutions nde n+4∣3n+10 sont parmi celles de n+4∣ (−2), il peut y en avoir en trop.
Si on veut éviter d’avoir à faire la vérification, il faut montrer que si n+4∣ (−2)alors n+4∣3n+10 :
n+4∣ (−2)or n+4∣n+4ainsi n+4∣3n+12 donc, par combinaison linéaire, n+4∣3n+12 +(−2)ie n+4∣3n+10.
CQFD
Exercice 3. (3 points)
Démontrer que, quel que soit l’entier relatif n, les nombres suivants sont premiers entre eux : 11n+6et 9n+5.
Soit n∈N. On considère d∶=pgcd(11n+6,9n+5)(d⩾0).
On a : ⎧
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎩
d∣11n+6Ô⇒ d∣99n+54
d∣9n+5Ô⇒ d∣99n+55
⎫
⎪
⎪
⎪
⎬
⎪
⎪
⎪
⎭Ô⇒ d∣ ((99n+55)−(99n+54)) (par combinaison linéaire) ie d∣1
Par conséquent d∈D={−1,1}, or d⩾0, donc d=pgcd(11n+6,9n+5)=1.
Conclusion : quel que soit n∈N,11n+6et 9n+5sont premiers entre eux.