corr-2016-2017-ts_spe-i01

Correction Interrogation 1 - Sujet A - TermS spécialité
Calculatrice autorisée
Exercice 1.
(3 points)
1. Donner la liste des diviseurs positifs de 20 en écrivant à côté les produits permettant d’exhiber ses diviseurs.
D+ (20) = {1, 2, 4, 5, 10, 20} sachant que
20
= 1 × 20
= 2 × 10
=4×5
(= 5 × 4)
2. Donner, sans justifier, la liste des diviseurs de 49.
D (49) = {−49, −7, −1, 1, 7, 49} sachant que
49 = 1 × 49 (produits non demandés)
=7×7
3. Donner sans justifier deux multiples strictement positifs de 13 dont l’un des deux comporte 4 chiffres, et deux strictement négatifs.
Il y a une infinité de multiples de 13, et une infinité de réponses à la question.
Par exemple, 13 et 1300 sont deux multiples strictement positifs de 13, et −26 et −39 sont deux multiples
strictement négatifs de 13.
13 = 1 × 13 ; 1300 = 13 × 100 ; −26 = −2 × 13 ; −39 = −3 × 13.
Remarque : L’ensemble des multiples de 13 est {13 × k où k parcourt Z}, ensemble qui se note 13Z.
Exercice 2.
(4 points)
Déterminer quels sont les entiers relatifs n tels que n + 5 divise 7n + 32.
n + 5 ∣ 7n + 32 or n + 5 ∣ n + 5 ainsi n + 5 ∣ 7n + 35 donc, par combinaison linéaire, n + 5 ∣ ((7n + 32) − (7n + 35)) ie
n + 5 ∣ (−3)
Par conséquent, n + 5 ∈ D(−3) = {−3, −1, 1, 3}. On a donc :
n+5
−3
−1
1
3
n
−8
−6
−4
−2
7n + 32
−24
Vérification
−3 ∣ −24 ∶
4
−10
√
√
−1 ∣ −10 ∶
1∣4∶
18
√
3 ∣ 18 ∶
√
Conclusion : S = {−8, −6, −4, −2}.
Remarque : La vérification est indispensable, comme la rédaction se fait avec des implications et non des
équivalences, les solutions n de n + 5 ∣ 7n + 32 sont parmi celles de n + 5 ∣ (−3), il peut y en avoir en trop.
Si on veut éviter d’avoir à faire la vérification, il faut montrer que si n + 5 ∣ (−3) alors n + 5 ∣ 7n + 32 :
n + 5 ∣ (−3) or n + 5 ∣ n + 5 ainsi n + 5 ∣ 7n + 35 donc, par combinaison linéaire, n + 5 ∣ 7n + 35 + (−3) ie n + 5 ∣ 7n + 32.
CQFD
Exercice 3.
(3 points)
Démontrer que, quel que soit l’entier relatif n, les nombres suivants sont premiers entre eux : 3n − 1 et 5n − 2.
Soit n ∈ N. On considère d ∶= pgcd(3n − 1, 5n − 2) (d ⩾ 0).
⎧
⎫
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪ d ∣ 3n − 1 Ô⇒ d ∣ 15n − 5 ⎪
On a : ⎨
⎬ Ô⇒ d ∣ ((15n − 5) − (15n − 6)) (par combinaison linéaire) ie d ∣ 1
⎪
⎪
⎪
⎪
d
∣
5n
−
2
Ô⇒
d
∣
15n
−
6
⎪
⎪
⎩
⎭
Par conséquent d ∈ D = {−1, 1}, or d ⩾ 0, donc d = pgcd(3n − 1, 5n − 2) = 1.
Conclusion : quel que soit n ∈ N, 3n − 1 et 5n − 2 sont premiers entre eux.
Correction Interrogation 1 - Sujet B - TermS spécialité
Calculatrice autorisée
Exercice 1.
(3 points)
1. Donner la liste des diviseurs positifs de 18 en écrivant à côté les produits permettant d’exhiber ses diviseurs.
D+ (18) = {1, 2, 3, 6, 9, 18} sachant que
18 = 1 × 18
=2×9
=3×6
(= 6 × 3)
2. Donner, sans justifier, la liste des diviseurs de 25.
D (25) = {−25, −5, −1, 1, 5, 25} sachant que
25 = 1 × 25 (produits non demandés)
=5×5
3. Donner sans justifier deux multiples strictement positifs de 14 dont l’un des deux comporte 4 chiffres, et deux strictement négatifs.
Il y a une infinité de multiples de 14, et une infinité de réponses à la question.
Par exemple, 14 et 1400 sont deux multiples strictement positifs de 14, et −28 et −42 sont deux multiples
strictement négatifs de 14.
14 = 1 × 14 ; 1400 = 14 × 100 ; −28 = −2 × 14 ; −42 = −3 × 14.
Remarque : L’ensemble des multiples de 14 est {14 × k où k parcourt Z}, ensemble qui se note 14Z.
Exercice 2.
(4 points)
Déterminer quels sont les entiers relatifs n tels que n + 4 divise 3n + 10.
n + 4 ∣ 3n + 10 or n + 4 ∣ n + 4 ainsi n + 4 ∣ 3n + 12 donc, par combinaison linéaire, n + 4 ∣ ((3n + 10) − (3n + 12)) ie
n + 4 ∣ (−2)
Par conséquent, n + 4 ∈ D(−2) = {−2, −1, 1, 2}. On a donc :
n+4
−2
−1
1
2
n
−6
−5
−3
−2
3n + 10
−8
Vérification
−2 ∣ −8 ∶
1
−5
√
√
−1 ∣ −8 ∶
1∣1∶
4
√
2∣4∶
√
Conclusion : S = {−6, −5, −3, −2}.
Remarque : La vérification est indispensable, comme la rédaction se fait avec des implications et non des
équivalences, les solutions n de n + 4 ∣ 3n + 10 sont parmi celles de n + 4 ∣ (−2), il peut y en avoir en trop.
Si on veut éviter d’avoir à faire la vérification, il faut montrer que si n + 4 ∣ (−2) alors n + 4 ∣ 3n + 10 :
n + 4 ∣ (−2) or n + 4 ∣ n + 4 ainsi n + 4 ∣ 3n + 12 donc, par combinaison linéaire, n + 4 ∣ 3n + 12 + (−2) ie n + 4 ∣ 3n + 10.
CQFD
Exercice 3.
(3 points)
Démontrer que, quel que soit l’entier relatif n, les nombres suivants sont premiers entre eux : 11n + 6 et 9n + 5.
Soit n ∈ N. On considère d ∶= pgcd(11n + 6, 9n + 5) (d ⩾ 0).
⎧
⎫
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪ d ∣ 11n + 6 Ô⇒ d ∣ 99n + 54 ⎪
On a : ⎨
⎬ Ô⇒ d ∣ ((99n + 55) − (99n + 54)) (par combinaison linéaire) ie d ∣ 1
⎪
⎪
⎪
⎪
d
∣
9n
+
5
Ô⇒
d
∣
99n
+
55
⎪
⎪
⎩
⎭
Par conséquent d ∈ D = {−1, 1}, or d ⩾ 0, donc d = pgcd(11n + 6, 9n + 5) = 1.
Conclusion : quel que soit n ∈ N, 11n + 6 et 9n + 5 sont premiers entre eux.