Mathématiques – STIA1

1
STIA 3
MISE A NIVEAU
MATHEMATIQUES
Support de cours

2
CHAPITRE 1
GENERALITES SUR LES FONCTIONS
I. Rappels
I.1. Définitions
Définition 1
Soit I un sous ensemble de (intervalle de ou réunion d’intervalles de ), définir
une fonction
f
de I dans , c’est associer à chaque réel
x
de I, un unique réel noté
f (x)
.
I est l’ensemble de définition de
f
;
f
est définie sur I.
Cette définition peut être schématisée comme suit :
f
: I
x
f (x)
Définition 2 (Courbe représentative)
Soit
f
une fonction définie sur un ensemble I :
La courbe représentative de
f
dans un repère orthogonal
(o; i , j )
est l’ensemble des
points M de coordonnées (
x
;
f (x)
), avec
x
élément de I. Ainsi, dire que
M (x , y)
appartient à cette courbe équivaut à dire que
x
I et y =
f (x)
.
x
O
y
i
j
x1
f(x1)

3
I.2. Sens de variation
Théorème 1
f
est une fonction définie sur un intervalle I de .
On dit que
f
est croissante sur I si quels que soient les réels u et v de I,
u < v implique f(u) ≤ f(v)
On dit que
f
est décroissante sur I si quels que soient les réels u et v de I,
u < v implique f(u) ≥ f(v)
On dit que
f
est monotone sur I si elle est croissante ou décroissante sur I.
On dit que
f
est strictement croissante sur I si quels que soient les réels u et v de I,
u < v implique f(u) < f(v)
On dit que
f
est strictement décroissante sur I si quels que soient les réels u et v de I,
u < v implique f(u) > f(v)
On dit que
f
est strictement monotone sur I si elle est strictement croissante ou
strictement décroissante sur I.
I.3. Fonctions paires/impaires
Définition 3
Une fonction
f
définie sur I est paire si quel que soit
x
dans I, alors –
x
est aussi dans
I et f(-x) = f(x).
La courbe représentant
f
dans un repère orthogonal est symétrique par rapport à
l’axe des ordonnées.
Définition 4
Une fonction
f
définie sur I est impaire si quel que soit
x
dans I, alors –
x
est aussi
dans I et f(-x)=-f(x).
La courbe représentant
f
dans un repère orthogonal est symétrique par rapport à
l’origine du repère.
II. Les fonctions de référence
Dans ce premier chapitre, cinq fonctions de référence sont définies. Les fonctions
trigonométriques sont présentées dans le chapitre 2 "Rappels de trigonométrie". Les
fonctions exponentielle et logarithme sont étudiées en détails aux chapitres 5 et 6.
II.1. Fonction affine
Définition5
Une fonction affine est une fonction
f
:
x
a x + b
définie sur où
a
et
b
sont
deux réels fixés.
Sens de variation :
Si
a
> 0,
f
est strictement croissante sur .
Si
a
< 0,
f
est strictement décroissante sur .
Si
a
= 0,
f
est constante sur .

4
II.2. Fonction inverse
Définition 6
La fonction inverse est la fonction
f
:
x 1
x
définie sur
; 0
0 ;
.
Sens de variation :
f
est strictement décroissante sur
; 0
et sur
0 ;
.
Son tableau de variation est :
x
-∞ 0 +∞
1
x
II.3. Fonction valeur absolue
Définition 7
La fonction valeur absolue est la fonction
f
: x
x
définie sur .
Si x ≥ 0 alors
x
= x et si x ≤ 0 alors
x
= -x.
Sens de variation :
f
est strictement croissante sur
0 ;
et strictement décroissante sur
; 0
.
Son tableau de variation est :
x
-∞ 0 +∞
x
II.4. Fonction « racine carrée »
Définition 8
La fonction « racine carrée » est la fonction
f
: x
x
définie sur
0 ;
.
Sens de variation :
f
est strictement croissante sur
0 ;
.
Son tableau de variation est :
x
0 +∞
x
0

5
II.5. Fonctions polynômes
Définition 9
La fonction
f
définie sur par
f (x) = a xn
est appelée fonction monôme de coefficient
a. Lorsque a est non nul, n est le degré de cette fonction monôme.
Une fonction polynôme est une somme de fonction monômes
f
:
x
ai xi
i
III. Opérations sur les fonctions
III.1. Opérations algébriques
Définition 10
Dire que deux fonctions
f
et
g
sont égales signifie qu’elles ont le même ensemble de
définition, I, et que pour tout
x
de I,
f (x) = g (x)
.
Définition 11
f
et
g
sont deux fonctions définies respectivement sur If et Ig et
x
appartenant à If et
Ig, le tableau ci-dessous donne les définitions des opérations algébriques sur les
fonctions.
Opération
Notation
Définition
Définie pour
Somme
f
+
g
x f(x) g(x)
Différence
f
-
g
x f(x) - g(x)
x IfIg
Produit
f
.
g
x f(x) g(x)
Quotient
f
g
x f (x)
g (x)
x IfIg et g(x) 0
III.2. Composition de fonction
Théorème 2
Soient
f
et
g
deux fonctions définies respectivement sur If et Ig.
La fonction
g f
est la fonction définie par (
g f
)(x)=g(f(x)).
Cette fonction est définie sur l’ensemble des réels x appartenant à If tels que
f (x)
appartient à Ig.