Chapitre 6 Espaces probabilisés finis
Chapitre 6
Espaces probabilisés finis
1 Vocabulaire et axiomatique des probabilités
1.1 L’univers
On considère une expérience aléatoire ( = expérience dont le résultat ne peut pas être prédit
ou calculé à l’avance).
On désigne par Ωl’ensemble des résultats possibles de cette expérience aléatoire.
Ωest appelé univers ou encore espace des possibles,espace des réalisations ou espace des
observations. Les éléments ωΩsont appelés observations ou réalisations de l’expérience
aléatoire.
Dans ce chapitre, on se limitera toujours au cas où Ωest un ensemble fini, c-est-à-dire qu’on
ne considèrera que des expériences aléatoires ne donnant qu’un nombre fini de résultats
différents.
Exemple :On lance un dé à 6 faces : Ω={1;2;3;4;5;6} =1,6. Un élément ωΩest un chiffre
entre 1 et 6 qui représente le chiffre obtenu en lançant le dé.
Exemple :On lance deux dés à 6 faces distinguables : Ω={1;2;3;4;5;6} ×{1;2;3;4;5;6} =
1,62. Un élément ωΩest un couple (ω1,ω2) où ω1représente le chiffre obtenue avec
le premier dé, et ω2le chiffre obtenu avec le second.
Exemple :On lance 1 fois une pièce : Ω={P,F} ou Ω={0,1} avec la convention que « 1 »
représente « pile », et « 0 » représente « face ».
Exemple :Soit nN. On lance nfois une pièce : Ω={P,F}nou Ω={0,1}navec la convention
que « 1 » représente « pile », et « 0 » représente « face ». Un élément ω=(ω1,...,ωn)Ωest
un n-uplet qui représente la liste des résultats obtenus aux nlancers. Par exemple pour 6
lancers, on peut avoir ω=(P,P,F,P,F,P) qui se note aussi ω=(1,1,0,1,0,1).
Exemple :Soit (n,N)N2.
•On effectue ntirages successifs avec remise d’une boule, dans une urne de Nboules :
Ω=1,Nn. Ceci sous-entend qu’on a numéroté les Nboules de 1 à N; un élément ω=
(ω1,...,ωn)Ωest un n-uplet qui représente la liste des numéros tirés.
Par exemple ω=(6,2,2,6,4,3,5) pour 7 tirages avec remise dans une urne de 6 boules.
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CHAPITRE 6 :
Espaces probabilisés finis
•On effectue ntirages successifs sans remise d’une boule, dans une urne de Nboules
(dans ce cas nN) : Ω=ensemble des arrangements de néléments de 1,N= ensemble
des n-uplets ω=(ω1,...,ωn) 1,Nndont les composantes sont deux à deux distinctes.
Encore une fois ceci sous-entend qu’on a numéroté les Nboules de 1 à N; un élément
ω=(ω1,...,ωn)Ωest un n-uplet qui représente la liste des numéros tirés.
Par exemple ω=(6,2,3) pour 3 tirages sans remise dans une urne de 10 boules.
•On effectue 1 tirage de nboules prises simultanément dans une urne de Nboules (dans ce
cas nN) : Ω=ensemble des combinaisons de néléments de 1,N= ensemble des parties
ω={ω1,...,ωn} 1,N. Encore une fois ceci sous-entend qu’on a numéroté les Nboules de
1 à N; un élément ω={ω1,...,ωn}Ωest une partie qui représente les numéros tirés.
Par exemple ω={6,2,3} pour 1 tirage de 3 boules prises simultanément dans une urne de 10
boules.
Exemple :On mélange une jeu de ncartes : Ω={ω:1,n 1,n/ωbijective }. Ceci sous-
entend qu’on a numéroté les cartes de 1 à nen fonction de leur position initiale. Pour la carte
numéro i, l’entier ω(i) représente sa position après la permutation ω.
Par contre, on n’étudiera pas dans ce chapitre le cas d’une infinité de lancers d’une pièce
(pourtant très instructif !). ..
1.2 Évènements
Intuitivement, un évènement Aest défini par une phrase qui peut être vraie ou fausse selon
le résultat de l’expérience aléatoire.
Exemple :On lance un dé à 6 faces : Ω=1,6.
A= « obtenir un 6 » donne la partie de Ω:A={6}
B= « obtenir un nombre pair » donne la partie de Ω:B={2;4;6}
Exemple :On lance deux dés à 6 faces distinguables : Ω=1,62.
A= « obtenir un double 6 » donne la partie de Ω:A={(6,6)}
B= « obtenir un double » donne la partie de Ω:
B={(i,i)/i 1,6}
={(1,1);(2,2);(3,3);(4,4);(5,5);(6,6)}
C= « obtenir au moins un 6 » donne la partie de Ω:
C={(i,6)/i 1,6}{(6, j)/ j 1,6}
={(1,6);(2,6);(3,6);(4,6);(5,6);(6,6);(6,1);(6,2);(6,3);(6,4);(6,5)}
Exemple :On mélange un jeu de ncartes : Ω={ω:1,n 1,n/ωbijective }.
A= « la première carte se retrouve dans la première moitié du paquet » donne la partie de Ω:
A=ω:1,n 1,nbijective ω(1) =n
2
Pour i 1,rfixé, Bi= « la carte numéro in’a pas changé de place » donne la partie de Ω:
B=ω:1,n 1,nbijective ω(i)=i
On voit sur ces exemples qu’un évènement Aest nécessairement une partie de Ω, ie que
AP(Ω).
Si on note Fl’ensemble de tous les évènements qu’on peut associer à l’expérience aléatoire,
alors FP(Ω).
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1 Vocabulaire et axiomatique des probabilités
On admettra que sous l’hypothèse que Ωest fini, l’ensemble des évènements est F=P(Ω),
ie que toutes les parties de Ωsont des évènements : on pourra donc calculer leur probabi-
lité. Dans le cas d’un univers infini, certaines parties de Ωne pourront pas être considérées
comme des évènements ; nous ne développerons pas ce point dans ce chapitre.
Vocabulaire :
•On dit que l’observation ωΩréalise l’évènement Alorsque ωA. Inversement, si ωA,
on dit que l’observation ωne réalise pas A.
•L’évènement est appelé évènement impossible.
•L’évènement Ωest appelé évènement certain.
Il est clair qu’aucune observation ne réalise l’évènement impossible , et que toutes les ob-
servations réalisent l’évènement certain Ω.
Définition 1 Évènements élémentaires
On appelle évènements élémentaires les singletons de Ω, ie les évènements de la forme {ω}
avec ωΩ.
Une remarque importante : tout évènement Aest réunion d’évènements élémentaires. En
effet, on a :
A=
ωA
{ω}
1.3 Opérations sur les évènements
Définition 2 Opérations sur les évènements
Soient Aet Bdeux évènement, c’est-à-dire (A,B)F2.
1. Contraire. L’évènement ΩA=Aest appelé contraire de A.
Pour tout ωΩ:ωA ωA
Autrement dit : Aest réalisé An’est pas réalisé
2. Union. Pour tout ωΩ:ωAB ωAou ωB
Autrement dit : ABest réalisé Aest réalisé ou Best réalisé
3. Intersection. Pour tout ωΩ:ωAB ωAet ωB
Autrement dit : ABest réalisé Aest réalisé et Best réalisé
4. Différence. Pour tout ωΩ:ωA\B ωAet ωB
Autrement dit : A\Best réalisé Aest réalisé et Bn’est pas réalisé
5. Implication.ABsignifie que, pour tout ωΩ:ωA=ωB
Autrement dit : Aest réalisé =Best réalisé
On peut aussi remarquer que la différence symétrique A∆Bpermet de définir un « ou » ex-
clusif.
Rappels :Si A,Bet Csont des évènements :
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CHAPITRE 6 :
Espaces probabilisés finis
A\BA A BAAB
A(BC)=(AB)(AC)A(BC)=(AB)(AC)
AB=BA A B=BA
A =A A =
AΩ=ΩAΩ=A
AB=AB A B=AB
Généralisation pour (Ai)iIfamille d’évènements :
iI
Ai=
iI
Ai
iI
Ai=
iI
Ai
B
iI
Ai=
iI
(BAi)B
iI
Ai=
iI
(BAi)
•L’évènement
iI
Aicorrespond à l’évènement « au moins un des Aiest réalisé ».
•L’évènement
iI
Aicorrespond à l’évènement « tous les Aisont réalisés ».
•L’évènement
iI
Aicorrespond à l’évènement « aucun des Ain’est réalisé ».
Définition 3 Évènements incompatibles
Deux évènements Aet Bsont dits incompatibles lorsqu’ils sont disjoints, ie lorsque AB=
.
Intuitivement, Aet Bsont incompatibles lorsqu’ils ne peuvent pas se produire simultané-
ment.
Exemple :Lorsqu’on lance un dé à 6 faces : les évènements A= « obtenir un chiffre pair » et
B= « obtenir un chiffre impair » sont incompatibles.
Définition 4 Espace probabilisable
Un espace probabilisable est un couple (Ω,P(Ω)) où Ωest l’univers et P(Ω) est la tribu des
évènements.
1.4 Système complet d’évènements
Définition 5 Système complet d’évènements
Soit (Ai)iIune famille d’évènements de Ω. On dit que (Ai)iIest un système complet d’évè-
nements ( = s.c.e.) lorsque :
(i) les (Ai)iIsont deux à deux incompatibles :
(i,j)I2,i=j=AiAj=
(ii)
iI
Ai=Ω
(iii) iI,Ai=
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2 Probabilité sur un espace probabilisable
Les propriétés (i) et (ii) définissent une partition de Ω. Un système complet d’évènements
est donc un cas particulier de partition.
Intuitivement, un s.c.e. correspond à une disjonction des cas, suivant le résultat de l’expé-
rience aléatoire.
Exemple :On lance deux dés à 6 faces. On définit les évènements A= « obtenir deux chiffres
pairs », B= « obtenir deux chiffres impairs » et C= « obtenir un chiffre pair et un chiffre im-
pair ».
Alors (A,B,C) est un s.c.e..
Exemple :Si AP(Ω) tel que A=et A=Ω, alors A,As.c.e..
Proposition 6 Décomposition d’un évènement sur un s.c.e.
Tout évènement se décompose sur un s.c.e. (Ai)iIen une union d’évènements deux à deux
incompatibles :
BP(Ω), B=
iI
(BAi)
et les BAiiIsont deux à deux incompatibles.
2 Probabilité sur un espace probabilisable
2.1 Probabilités
Définition 7 Probabilité
On appelle probabilité sur l’espace probabilisable (Ω,P(Ω)) toute application P:P(Ω)
[0,1] telle que :
(i) P(Ω)=1 ;
(ii) Pest additive ie nN,(A1,...,An)P(Ω)n:
(A1,...,An) 2 à 2 incompatibles =Pn
k=0
Ak=
n
k=0
P(Ak)
Si Aest un évènement, alors le réel P(A) est appelé probabilité de l’évènement A.
Définition 8 Espace probabilisé
Un espace probabilisé est un triplet (Ω,P(Ω),P) où Ωest l’univers, P(Ω) est la tribu des
évènements et Pest une probabilité sur (Ω,P(Ω)).
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18
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/
20
100%
