Propriété Étant donné un couple de réels (x0 ; y0), il existe une unique fonction f solution de l'équation différentielle * y' = ay + b (a ∈ IR , b ∈ IR) vérifiant f(x0) = y0 . Démonstration Solution générale de l'équation différentielle y' = ay + b . * • Considérons une fonction f solution de l'équation différentielle y' = ay + b (a ∈ IR , b ∈ IR) Soit α un réel. Posons g(x) = f(x) + α . e ax g est le quotient de deux fonctions dérivables sur IR, donc g est dérivable sur IR et on a : ax ax g'(x) = f'(x) x e - (f(x) + α) x a e 2 (e ax) On sait que f est solution de l'équation différentielle y' = ay + b , donc f'(x) = af(x) + b ax ax ax ax ax ax On en déduit g'(x) = (af(x) + b) x e - (f(x) + α) x a e = af(x) e + b e - af(x) e - aα e 2 2 (e ax) (e ax) ax ax ax donc g'(x) = b e - aα e = (b - aα) e = b - aα 2 2 e ax (e ax) (e ax) En prenant α = b , on obtient g'(x) = 0 pour tout réel x. a Donc g est une fonction constante, c'est-à-dire qu'il existe un réel k tel que g(x) = k pour tout réel x . f(x) + b a On en déduit que =k donc f(x) = k e ax - b pour tout réel x . a e ax Toute solution de l'équation différentielle y' = ay + b est donc de la forme f(x) = k e ax - b avec k ∈ IR . a • Réciproquement si f est une fonction de la forme f(x) = k e ax - b avec k ∈ IR , on a : a b ax ax ax f'(x) = ak e et af(x) + b = a k e - + b = ak e - b + b = ak e ax a On a donc f'(x) = af(x) + b pour tout réel x, donc f est solution de l'équation différentielle y' = ay + b . Toute fonction de la forme f(x) = k e ax - b avec k ∈ IR est donc solution de l'équation y' = ay + b . a L'ensemble des solutions de l'équation différentielle y' = ay + b est donc l'ensemble des fonctions de la forme f(x) = k e ax - b avec k ∈ IR . a Solution particulière Soit f une solution de l'équation différentielle y' = ay + b , on a f(x) = k e ax - b avec k ∈ IR . a b y0 + a f(x0) = y0 ⇔ k e ax0 - b = y0 ⇔ k e ax0 = y0 + b ⇔ k = a a e ax0 Il existe donc une unique fonction f solution de l'équation différentielle y' = ay + b vérifiant f(x0) = y0 . y0 + b a b Cette solution est définie par f(x) = k e ax avec k = c'est-à-dire f(x) = y0 + b e a(x-x0) - b ax a a a 0 e http://xmaths.free.fr/ TS − Équations différentielles − Démonstration page 1 / 1