Démonstration au format pdf - XMaths

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Propriété
Étant donné un couple de réels (x
0
; y
0
), il existe une unique fonction f solution de l'équation différentielle
y' = ay + b (a ∈ IR
*
, b ∈ IR) vérifiant f(x
0
) = y
0
 .
Démonstration
Solution générale de l'équation différentielle y' = ay + b
y' = ay + by' = ay + b
y' = ay + b .
• Considérons une fonction f solution de l'équation différentielle y' = ay + b (a ∈ IR
*
, b ∈ IR)
Soit α un réel. Posons g(x) = f(x) + α
e
ax
.
g est le quotient de deux fonctions dérivables sur IR, donc g est dérivable sur IR et on a :
g'(x) = f'(x)
x e
ax
- (f(x) + α) x a e
ax
(e
ax
)
2
On sait que f est solution de l'équation différentielle y' = ay + b , donc f'(x) = af(x) + b
On en déduit g'(x) = (af(x) + b)
x e
ax
- (f(x) + α) x a e
ax
(e
ax
)
2
= af(x) e
ax
+ b e
ax
- af(x) e
ax
- aα e
ax
(e
ax
)
2
donc g'(x) = b e
ax
- aα e
ax
(e
ax
)
2
= (b - aα) e
ax
(e
ax
)
2
= b - aα
e
ax
En prenant α = b
a , on obtient g'(x) = 0 pour tout réel x.
Donc g est une fonction constante, c'est-à-dire qu'il existe un réel k tel que g(x) = k pour tout réel x .
On en déduit que f(x) + b
a
e
ax
= k donc f(x) = k e
ax
- b
a pour tout réel x .
Toute solution de l'équation différentielle y' = ay + b est donc de la forme f(x) = k e
ax
- b
a avec k ∈ IR .
• Réciproquement si f est une fonction de la forme f(x) = k e
ax
- b
a avec k ∈ IR , on a :
f'(x) = ak e
ax
et af(x) + b = a k e
ax
- b
a + b = ak
e
ax
- b + b = ak e
ax
On a donc f'(x) = af(x) + b pour tout réel x, donc f est solution de l'équation différentielle y' = ay + b .
Toute fonction de la forme f(x) = k e
ax
- b
a avec k ∈ IR est donc solution de l'équation y' = ay + b .
L'ensemble des solutions de l'équation différentielle y' = ay + b est donc l'ensemble des fonctions de la
forme f(x) = k e
ax
- b
a avec k ∈ IR .
Solution particulière
Soit f une solution de l'équation différentielle y' = ay + b , on a f(x) = k e
ax
- b
a avec k ∈ IR .
f(x
0
) = y
0
⇔ k e
ax
0
- b
a = y
0
⇔ k e
ax
0
= y
0
+ b
a ⇔ k = y
0
+ b
a
e
ax
0
Il existe donc une unique fonction f solution de l'équation différentielle y' = ay + b vérifiant f(x
0
) = y
0
.
Cette solution est définie par f(x) = k e
ax
- b
a avec k = y
0
+ b
a
e
ax
0
c'est-à-dire f(x) = y
0
+ b
a e
a(x-x
0
)
- b
a