Alg`ebre 2 ESPACES VECTORIELS ET APPLICATIONS LINÉAIRES

Alg`ebre 2
ESPACES VECTORIELS ET APPLICATIONS LIN´ EAIRES
1. D´efinition et exemples d’espaces vectoriels
1.1. La structure d’espace vectoriel
D´efinition. Soit K=Rou C. Un espace vectoriel sur Kest un ensemble E
muni de deux op´eration : l’addition et la multiplication scalaire
E×E→E
(~x, ~y)7→ ~x +~y
K×E→E
(λ, ~x)7→ λ~x
v´erifiant les propri´et´es suivantes :
a) (E, +) est un groupe ab´elien
i) ~y +~x =~x +~y (commutativit´e)
ii) ~x + (~y +~z)=(~x +~y) + ~z (associativit´e)
iii) ~x +~ 0 = ~ 0 + ~x =~x (existence d’un ´el´ement nul ~ 0)
iv) ~x + (−~x) = ~ 0(existence d’un oppos´e −~x)
b) Kop`ere dans Een respectant l’addition
v) λ(~x +~y) = λ~x +λ~y
vi) (λ+µ)~x =λ~x +µ~x
vii) (λµ)~x =λ(µ~x)
viii) λ~x =~ 0⇒λ= 0 ou ~x =~ 0
Les ´el´ements d’un espace vectoriel sont appel´es des vecteurs.
Exemples d’espaces vectoriels
Kn,KI={(xi)i∈I, xi∈K},
K(I)={(xi)i∈I, xi∈K, xi= 0 sauf pour un nombre fini de i}
K[X] = {polynˆomes `a coefficients dans K}
Kn[X] = {P∈K[X] : deg(P)≤n}
C(I, R) = {f:I→Rcontinue}
L’ensemble des solutions de la relation de r´ecurrence lin´eaire
un+2 =un+1 + 2un
L’ensemble des solutions du syst`eme diff´erentiel lin´eaire
x0= 2x−y
y0=x−y

1.2. Combinaisons lin´eaires
D´efinition. Soit (~xi)i∈Iune famille de vecteurs de l’espace vectoriel E. Une
combinaison lin´eaire des vecteurs de cette famille est un vecteur de la forme
~x =PIλi~xio`u λi∈Ket λi= 0 sauf pour un nombre fini de i(si Iest finie,
cette condition est superflue !).
Une ´equation PIλi~xi=~ 0 s’appelle une relation lin´eaire. On dit que la relation
lin´eaire est triviale si λi= 0 pour tout i∈I.
1.3. Sous-espaces vectoriels
D´efinition. Soit Eun espace vectoriel sur K. On dit que F⊂Eest un sous-
espace vectoriel de Esi Fest non vide et
(i) Fest stable par l’addition : ~x, ~y ∈F⇒~x +~y ∈F;
(ii) Fest stable par la multiplication scalaire : λ∈K, ~x ∈F⇒λ~x ∈F.
Exemples
Une droite du plan R2passant par l’origine.
Un plan de l’espace R3contenant l’origine.
Kn[X] est un sous-espace vectoriel de K[X].
Proposition. Soit Aune partie d’un espace vectoriel E.
(i) Il existe un plus petit sous-espace vectoriel qui contient A;
(ii) ce sous-espace vectoriel est l’ensemble des combinaisons lin´eaires d’´el´ements
de A.
D´efinition. Le sous-espace vectoriel ci-dessus est appel´e le sous-espace vectoriel
engendr´e par A. On le note vect(A).
2. Applications lin´eaires
2.1. D´efinitions et exemples
D´efinition. Soient E, F des espaces vectoriels sur K. On dit qu’une application
u:E→Fest lin´eaire si
(i) ∀~x, ~y ∈E u(~x +~y) = u(~x) + u(~y);
(ii) ∀λ∈K, ∀~x ∈E u(λ~x) = λu(~x).
Exemple L’int´egrale f7→ Rb
af(x)dx est une application lin´eaire de l’espace
vectoriel Edes fonctions admettant une primitive sur [a, b] `a valeurs dans F=R.
D´efinition. Soient E, F des espaces vectoriels sur K.
(i) Un endomorphisme est une application lin´eaire u:E→E;
(ii) Une forme lin´eaire est une application lin´eaire u:E→K;
(iii) Un isomorphisme est une application lin´eaire bijective u:E→F; si F=E,
on dit que uest un automorphisme.
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Notation
L(E, F ) = {u:E→Flin´eaire}
L(E) = L(E, E)
E∗=L(E, K) s’appelle le dual de E
Proposition. Soient E, F, G des espaces vectoriels sur K.
(i) u, v ∈L(E, F ), λ ∈K⇒u+v, λu ∈L(E, F );
(ii) u∈L(E, F ), v ∈L(F, G)⇒v◦u∈L(E, G);
(iii) u∈L(E, F )bijective ⇒application r´eciproque u−1∈L(F, E).
2.2. Noyau et image
D´efinition. Soit u:E→Flin´eaire. On d´efinit
(i) le noyau de u= Ker u=u−1(0) = {~x ∈E:u(~x) = ~ 0};
(ii) l’image de u= Im u=u(E) = {~y ∈F:∃~x ∈E:~y =u(~x)}.
Proposition. Soit u:E→Flin´eaire.
(i) Le noyau Ker ude uest un sous-espace vectoriel de E;
(ii) L’image Im ude uest une sous-espace vectoriel de F.
Proposition. Soit u:E→Flin´eaire.
(i) uest injective si et seulement si Ker u={~ 0};
(ii) uest surjective si et seulement si Im u=F.
3. Familles de vecteurs
Soit Eun espace vectoriel sur K. Etant donn´e un ensemble I, une famille de
vecteurs index´ee par Iest une application de Idans Equi associe `a i∈Iun
vecteur ~xi∈E. On note cette famille F= (~xi)i∈I.
Proposition. Soit F= (~xi)i∈Iune famille de vecteurs de E. Alors l’application
ϕF:K(I)→E
(λi)i∈I7→ X
i∈I
λi~xi
est une application lin´eaire. On dira que ϕFest l’application lin´eaire d´efinie par
la famille F.
D´efinition. Soient F= (~xi)i∈Iune famille de vecteurs de Eet ϕF:K(I)→E
l’application lin´eaire associ´ee. On dit que la famille F= (~xi)i∈Iest
(i) g´en´eratrice si ϕFest surjective ;
(ii) libre si ϕFest injective ;
(iii) une base si ϕFest bijective.
(~xi)i∈Ig´en´eratrice ⇔tout ~x ∈Eest combinaison lin´eaire des xi;
(~xi)i∈Ilibre ⇔toute relation lin´eaire des xiest triviale ;
(~xi)i∈Ibase ⇔tout ~x ∈Es’´ecrit de mani`ere unique ~x =Pi∈Iλi~xi.
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Proposition. Soient (~xi)i∈Iune famille de vecteurs de Eet u:E→Flin´eaire
(i) si (~xi)i∈Iest g´en´eratrice et uest surjective, alors (u(~xi))i∈Iest g´en´eratrice ;
(ii) si (~xi)i∈Iest libre et uest injective, alors (u(~xi))i∈Iest libre ;
(iii) si (~xi)i∈Iest une base et uest bijective, alors (u(~xi))i∈Iest une base.
Soit J⊂I. On dit que (~xi)i∈Jest une sous-famille de (~xi)i∈I.
Proposition.
(i) une sous-famille d’une famille libre est libre ;
(ii) une famille qui contient une sous-famille g´en´eratrice est g´en´eratrice.
Th´eor`eme (de la base incompl`ete). Toute famille libre est une sous-famille
d’une base.
4. Sommes directes et projections
D´efinition. On dit qu’un espace vectoriel Eest somme directe de deux sous-
espaces vectoriels Fet Gsi
(i) F∩G={~ 0};
(ii) F+G(= {~y +~z :~y ∈F, ~z ∈G}) = E.
On ´ecrit alors E=F⊕G.
Proposition. On a E=F⊕Gsi et seulement tout ~x ∈Es’´ecrit d’une mani`ere
et une seule sous la form ~x =~y +~z avec ~y ∈Fet ~z ∈G.
D´efinition. On dit que P∈L(E)est une projection si P2(= P◦P) = P.
Th´eor`eme. Soit Eun espace vectoriel E.
(i) Soit E=F⊕Gune d´ecomposition en somme directe. On d´efinit P:E→E
par P(~x) = ~y o`u ~x =~y +~z est la d´ecomposition de ~x avec ~y ∈Fet ~z ∈G. Alors
Pest une projection telle que Im P=Fet Ker P=G.
(ii) R´eciproquement, soit P∈L(E)une projection. On pose F= Im Pet
G= Ker P. Alors E=F⊕G.
D´efinition. On dit qu’un sous-espace vectoriel Gest un sous-espace vectoriel
suppl´ementaire d’un espace vectoriel Fsi E=F⊕G.
Th´eor`eme. Tout sous-espace vectoriel Fd’un espace vectoriel Eadmet au moins
un sous-espace vectoriel suppl´ementaire.
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