Théorème de structure des groupes abéliens finis

Théorème de structure des groupes abéliens finis
Références : Colmez, Éléments d’analyse et d’algèbre (et de théorie des nombres), p 250-252
On rappelle que l’exposant d’un groupe Gest le plus petit entier ntel que pour tout gPG,gn“e. Comme
pour tous g,hPG,gh est un élément d’ordre ppcmpopgq, ophqq car Gest abélien, l’exposant est donc le ppcm
des ordres des éléments du groupe, et aussi le plus grand des ordres des éléments du groupe.
Si Gest un groupe abélien fini, alors il existe rPNet des entiers N1, ..., Nr, où N1est l’exposant
de Get Ni`1|Nitels que
G»
r
ź
i“1
Z{NiZ.
Théorème.
Comme Gest un groupe abélien fini, les classes de conjugaisons n’ont qu’un élément. On a donc n“ |G|
représentations irréductibles de degré 1 par Burnside.
Puis on remarque que les caractères irréductibles sont des morphismes. Ce sont donc des éléments de p G, le
groupe abélien des morphismes de Gdans C˚.
Réciproquement, tout élément de p Gfournit une représentation irréductible, donc un caractère irréductible.
p
Gest donc le groupe des caractères irréductibles de G.
On pose l’application
i:GÑp
p
G
gÞÑ pχÞÑ χpgqq ,
alors iest un isomorphisme de groupes.
Lemme.
Démonstration. iest bien un morphisme de groupes car les caractères sont des morphismes.
En effet,
ipghqpχq “ χpghq “ χpgqχphq “ ipgqpχqiphqpχq.
On a vu que p Gest l’ensemble des caractères irréductibles. Il est donc de même cardinal que G. On a ˇˇˇp Gˇˇˇ“ˇˇˇˇp
p
Gˇˇˇˇ,
en appliquant le même raisonnement aux éléments de p
p
G, qui sont les caractères irréductibles sur p Gcar p Gest
abélien.
D’où |G| “ ˇˇˇˇp
p
Gˇˇˇˇ.
Il suffit de montrer que iest injectif.
Soit gPGtel que ipgqpχq “ 1“ipeqpχq. Alors @χPp G,χpgq “ χpeq “ 1.
On décompose 1tgudans la base des caractères.
1tgu“ÿ
χPp G
x1tgu, χyχ
“ÿ
χPp G
1
Gÿ
hPG
1tguphqχphqχ
“1
Gÿ
χPp G
χpgqχ
“1
Gÿ
χPp G
χ
Adrien LAURENT 1 ENS Rennes - Université de Rennes 1

On a donc en évaluant en e:
1tgupeq “ 1
Gÿ
χPp G
χpeq “ 1.
D’où g“eet iest bien injective.
Get p Gont même exposant.
Lemme.
Démonstration. Soit Nl’exposant de G, on a @χPp G,@gPG,
χNpgq “ χpgqN“χpgNq “ χp1q “ 1.
L’exposant de p Gest inférieur ou égal à N.
On peut appliquer le même raisonnement à p Gpour obtenir que Nest inférieur ou égal à l’exposant de p G(car
Get p
p
Gont même exposant par le lemme précédent).
Cela donne le résultat.
Passons à la preuve du théorème.
Démonstration. Démontrons le théorème par récurrence sur n“ |G|.
Pour n“1, le résultat est évident.
On suppose ną1, notons N1l’exposant de G.
‚Par le lemme précédent, il existe un élément χ1Pp Gd’ordre N1. On a donc @gPG,χ1pgqN1“1.
Donc χ1pGqest un sous-groupe des racines N1-ièmes de l’unité et on a égalité car χ1est d’ordre exactement
N1.
Soit x1PGtel que χ1px1q “ exp ˆ2iπ
N1˙et soit pl’ordre de x1.
On sait que pdivise N1. Puis χ1pxp
1q “ 1“exp ˆ2ipπ
N1˙, donc N1divise pet finalement x1est d’ordre N1.
‚On pose H1“ xx1y. Montrons que G»H1ˆKerpχ1q. Comme H1»Z{N1Zet |Kerpχ1q| ă n, on aura le
résultat en appliquant l’hypothèse de récurrence.
En effet, si on décompose Kerpχ1qen
r
ź
i“2
Z{NiZavec Ni`1|Ni, alors comme les éléments de Gsont d’ordre
divisant N1, on aura G»
r
ź
i“1
Z{NiZavec Ni`1|Ni.
χ1induit un morphisme surjectif αde H1sur UN1, puis par égalité des cardinaux, αest un isomorphisme.
Soit xPG, alors
x“α´1pχ1pxqq `α´1pχ1pxqq˘´1x.
Par définition de α,α´1pχ1pxqq P H1.
Puis
χ1´`α´1pχ1pxqq˘´1x¯“χ1´`α´1pχ1pxqq˘´1¯χ1pxq“pχ1pxqq´1χ1pxq “ 1,
donc `α´1pχ1pxqq˘´1xPKerpχ1q.
On a donc bien G“H1Kerpχ1q.
On a aussi H1XKerpχ1q“teucar χ1est injectif sur H1.
Il vient donc que G»H1ˆKerpχ1q, ce qui termine la preuve.
Remarques : ‚On peut déduire de ce résultat le théorème de structure des groupes abéliens de type fini.
On applique le théorème précédent au sous-groupe de torsion T, puis on peut prouver qu’on peut écrire G»TˆL
avec Lsans torsion. On montre en se donnant une base que Lest isomorphe à Zd. Cela donne le résultat.
‚Ce résultat peut être généralisé en le théorème de structure des modules de type fini sur les anneaux princi-
paux.
Adapté du travail de Alexandre Bailleul.
Adrien LAURENT 2 ENS Rennes - Université de Rennes 1