Exercices sur les anneaux et corps
Agr´egation interne de Math´ematiques
D´epartement de Math´ematiques
Universit´e de La Rochelle
F. Geoffriau
2006-2007
Exercices sur les anneaux et corps
1. Inversible dans un anneau
2. Idempotents et produit d’anneaux
3. Endomorphisme du corps R
4. Corps gauche des quaternions
5. ´
El´ement nilpotent
6. Anneau fini
7. Anneau ordonn´e
8. Le th´eor`eme chinois dans un anneau commutatif
9. Les entiers de Gauss
10. Un sous-anneau de R
11. Anneau des s´eries formelles
12. Un anneau non factoriel
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13. Application du th´eor`eme chinois dans Z[X]
14. Coefficients de B´ezout
15. Pgcd et algorithme d’Euclide
16. Polynˆomes irr´eductibles `a coefficients dans Z/2Z
17. Extension de corps
18. Pgcd et extension de corps
F. Geoffriau
Agr´egation interne de Math´ematiques
D´epartement de Math´ematiques
Universit´e de La Rochelle
F. Geoffriau
2006-2007
Exercices sur les anneaux et corps
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Enonc´es
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1. –Inversible dans un anneau
Soit Aun anneau non n´ecessairement commutatif et soit a, b ∈Atels que 1 −ab soit
inversible. Montrer qu’alors 1 −ba est ´egalement inversible.
Indication Solution F. Geoffriau
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2. –Idempotents et produit d’anneaux
Soit Aun anneau commutatif. On appelle ´el´ement idempotent tout ´el´ement x∈A
v´erifiant x2=x.
a. Si Aest le produit de deux anneaux Bet C, montrer qu’il existe des ´el´ements
idempotents de Adistincts de 0 et de 1.
b. Supposons qu’il existe un ´el´ement b∈Aidempotent distinct de 0 et de 1. On pose
c=1−b,B=bA et C=cA.
b.. Montrer que cest idempotent et que bc = 0.
b.. Montrer que Bet Csont stables pour l’addition et la multiplication de A. En
d´eduire que Bet Csont des anneaux non nuls.
b.. Montrer que l’application
ϕ!!!!
A−→ B×C
x%−→ (bx, cx)
est un isomorphisme d’anneaux (qui permet d’identifier Aavec B×C).
b.. Les anneaux Bet Csont-ils des sous-anneaux de A?
Indication Solution F. Geoffriau
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