Espaces vectoriels normés — Topologie

E SPACES VECTORIELS NORMÉS — T OPOLOGIE
Chapitre 1
Espaces vectoriels normés
Topologie sur un e.v.n. — Topologie de Rn
Résumé de cours — Chapitre 1 (Séance 1 & Séance 2)
Table des matières
1
2
Normes sur un espace vectoriel
1
1.1
2
Équivalence de normes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Topologie sur un e.v.n.
3
2.1
Boules ouvertes, fermées, parties bornées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
2.2
Suites : bornées, convergentes, de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
2.3
Ouverts et fermés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
2.4
Intérieur et adhérence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
2.5
Parties compactes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
2.6
Connexité par arcs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
Synthèse : les implications à connaître par cœur
7
1 Normes sur un espace vectoriel
Définition 1.1. Soit E un R-espace vectoriel (en général E = Rn ). On dit que N est une norme
sur E si N : E → R+ vérifie :
(1) pour tout x ∈ E, N ( x ) = 0 ⇐⇒ x = 0 ;
(2) pour tout λ ∈ R, pour tout x ∈ E,
N (λx ) = |λ| N ( x ) ;
(3) pour tous x, y ∈ E, N ( x + y) ≤ N ( x ) + N (y) (inégalité triangulaire).
Le couple ( E, N ) est appelé espace vectoriel normé (e.v.n.).
Proposition 1.1. Soit ( E, N ) un e.v.n. L’application
d : E × E → R+ ,
d( x, y) = N ( x − y)
est une distance sur E, appelée distance induite par N.
Corollaire 1.1. La distance d induite par N vérifie, pour tous x, y, z ∈ E et λ ∈ R :
(1) d(0, x ) = N ( x ) ;
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Chapitre 1
(2) d(λx, λy) = |λ| d( x, y) ;
(3) d( x + z, y + z) = d( x, y)
(invariance par translation).
Remarque 1.1. Toute norme induit une distance, mais toutes les distances ne dérivent pas d’une norme.
Exemple 1.1 (normes classiques sur Rn ). Pour x = ( x1 , . . . , xn ) ∈ Rn et p ≥ 1 :
n
N1 ( x ) = ∑ | xi |
N2 ( x ) =
Np ( x ) =
(norme de Manhattan)
i =1
n
∑ | x i |2
1/2
i =1
n
∑ | xi | p
1/p
(norme euclidienne)
(norme de Minkowski)
i =1
N∞ ( x ) = max | xi |
(norme infinie / Tchebychev)
1≤ i ≤ n
Exercice 1.1 (à retenir). N∞ est la limite de Np quand p → +∞ : il suffit de montrer que N∞ ( x ) ≤
Np ( x ) ≤ n1/p N∞ ( x ).
y
y
x
p=1
y
x
p=2
x
p=∞
Boules unités BNp (0, 1) dans R2 selon la valeur de p.
Proposition 1.2. Soit ( E, N ) un e.v.n. et x, y ∈ E. Alors
N ( x ) − N ( y ) ≤ N ( x − y ).
1.1 Équivalence de normes
Définition 1.2. Deux normes N et N ′ sur E sont dites équivalentes (noté N ∼ N ′ ) s’il existe
a, b > 0 tels que
a N ( x ) ≤ N ′ ( x ) ≤ b N ( x ),
∀ x ∈ E.
Exemple 1.2. La norme de Tchebychev et la norme de Minkowski sont équivalentes (cf. Exercice 1.1).
Proposition 1.3. La relation ∼ est une relation d’équivalence sur l’ensemble des normes de E.
Proposition 1.4. Sur Rn , toutes les normes sont équivalentes.
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Chapitre 1
Corollaire 1.2. Toutes les normes sont équivalentes sur un espace vectoriel de dimension finie.
À retenir : en dimension finie (en particulier dans Rn ), peu importe la norme choisie pour parler
de convergence, de bornitude, d’ouverts/fermés ou de compacité : le résultat est le même. Ce
n’est plus vrai en dimension infinie (cf. l’exemple des polynômes, section 2.2).
2 Topologie sur un e.v.n.
2.1 Boules ouvertes, fermées, parties bornées
Définition 1.3. Soit ( E, N ) un e.v.n., a ∈ E, r > 0.
• Boule fermée : B N ( a, r ) = { x ∈ E | N ( x − a) ≤ r } ;
• Boule ouverte : BN ( a, r ) = { x ∈ E | N ( x − a) < r } ;
• Sphère : S N ( a, r ) = { x ∈ E | N ( x − a) = r }.
Pour a = 0, r = 1 : boules/sphères unités. Une partie B ⊂ E est dite bornée s’il existe une
boule (ouverte ou fermée) qui la contient.
Exemple 1.3 (dimension 1). Dans (R, | · |), pour a ∈ R, r > 0 :
B( a, r ) = [ a − r, a + r ],
B( a, r ) = ] a − r, a + r [,
S( a, r ) = { a − r, a + r }.
Remarque 1.2. Les boules ont des formes géométriques différentes selon la norme utilisée (cf. le schéma des
trois boules unités ci-dessus, pour p = 1, 2, ∞).
2.2 Suites : bornées, convergentes, de Cauchy
Définition 1.4. ( xn )n∈N est bornée si { xn : n ∈ N} est borné, i.e. s’il existe M > 0 tel que
N ( xn ) < M,
∀n ∈ N
soit { xn } ⊂ BN (0, M) .
(−1)n
vérifie | xn | ≤ 1, donc ( xn ) est bornée ; xn = n n’est pas bornée car
n+1
| xn | → +∞.
√
(−1)n
n
2 : bornée. En revanche xn = (n, (−1)n ) vérifie
Dans (R2 , N2 ) : xn = n+1 , n+
vérifie
N
(
x
)
≤
n
1
√
N ( xn ) = n2 + 1 → +∞ : non bornée (les points sortent de toute boule centrée en 0).
Exemple 1.4. Dans R : xn =
Définition 1.5. ( xn ) converge dans E vers l ∈ E si lim N ( xn − l ) = 0, i.e.
n→+∞
∀ε > 0, ∃n0 ∈ N, ∀n ≥ n0 :
Exemple 1.5.
N ( xn − l ) < ε
(soit xn ∈ BN (l, ε)).
1
n
2
n , n+1 n∈N∗ converge dans R vers (0, 1) (norme N∞ ).
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Chapitre 1
Proposition 1.5. L’ensemble des suites bornées (resp. convergentes) d’un e.v.n. est un espace
vectoriel.
Proposition 1.6. La limite d’une suite, si elle existe, est unique.
Proposition 1.7. Si N1 ∼ N2 , toute suite convergente pour N1 l’est aussi pour N2 .
Corollaire 1.3. Dans Rn (normes toutes équivalentes), convergence pour une norme ⇒ convergence pour toutes les autres.
Corollaire 1.4. ( xn ) converge vers l = (l1 , . . . , ln ) dans (Rn , N ) ⇐⇒ convergence coordonnée par coordonnée : xni → li pour tout i = 1, . . . , n.
Définition 1.6. ( xn ) est de Cauchy si
∀ε > 0, ∃ N ∈ N, ∀n, m ≥ N :
N ( xn − xm ) < ε.
Proposition 1.8. Toute suite convergente est de Cauchy.
√
√
E (2n 2 )
Exemple 1.6. xn =
converge vers 2 ∈
/ Q : ( xn ) ne converge pas dans Q, mais elle est de
n
2
Cauchy dans Q (la réciproque de la Prop. 1.8 est donc fausse en général).
Définition 1.7. Un espace normé est complet si toute suite de Cauchy y est convergente.
Exemple 1.7. (R, | · |) est complet ; (Q, | · |) ne l’est pas (exemple ci-dessus).
Dimension finie : Pn = { P ∈ R[ X ] : deg( P) ≤ n}, muni de N ( P) = max0≤k≤n | ak |, est un e.v.n. de
dimension n + 1 ; comme tout e.v.n. de dimension finie est complet, Pn est complet.
Dimension infinie – contre-exemple : P = R[ X ] muni de ∥ P∥∞ = supx∈[0,1] | P( x )|. La suite Pn ( x ) =
(−1)k x k+1
converge uniformément sur [0, 1] vers log(1 + x ) ∈
/ P : ( Pn ) est de Cauchy mais ne
∑nk=0
k+1
converge pas dans P , donc (P , ∥ · ∥∞ ) n’est pas complet.
2.3 Ouverts et fermés
Définition 1.8. U ⊂ E est ouvert si ∀ x ∈ U, ∃r > 0 : B( x, r ) ⊂ U (chaque point est centre
d’une boule ouverte incluse dans U). Par convention, ∅ est ouvert.
Exemple 1.8. Les intervalles ouverts sont des ouverts de R ; R n’est pas un ouvert de C.
Proposition 1.9. Soit (Oi )i∈ I une famille d’ouverts de E (I ̸= ∅). Alors :
(1) ∅ et E sont des ouverts ;
(2)
[
Oi est un ouvert (union quelconque) ;
i∈ I
(3) si I est fini,
\
Oi est un ouvert.
i∈ I
T
Remarque 1.3 (attention, hypothèse de finitude essentielle). Si I est infini, i∈ I Oi n’est pas forcément
T
ouvert. Contre-exemple : I = N∗ , Ok = ] − 1k , 1k [ donne k∈N∗ Ok = {0}, qui n’est pas ouvert.
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Chapitre 1
Définition 1.9. F ⊂ E est fermé si E \ F est ouvert.
Exemple 1.9. Si a ≤ b, [ a, b] est fermé.
Proposition 1.10. ∅ et E sont fermés ; une intersection quelconque de fermés est fermée ; une
union finie de fermés est fermée.
Proposition 1.11 (caractérisation séquentielle). Une partie non vide F ⊂ Rn est fermée ⇐⇒
toute suite de points de F convergente dans Rn a sa limite dans F.
Méthode générale (montrer que F est fermé) : (1) prendre une suite ( xn ) de points de F convergeant vers l ; (2) montrer que l ∈ F.
Exemple 1.10 (démonstration modèle). L’hyperbole { xy = 1} est fermée dans R2 : si ( xn , yn ) → ( a, b)
avec xn yn = 1 pour tout n, alors par continuité des projections lim xn = a, lim yn = b, donc ab =
lim xn yn = 1 : la limite est bien sur l’hyperbole.
Preuve détaillée de la Prop. 1.11 (technique à maîtriser, très utilisée en TD/examen) :
(⇒) Soit F fermé et ( xk ) ⊂ F avec xk → x ∈ Rn . Si x ∈
/ F, alors x ∈ F c qui est ouvert : il existe
r > 0 tel que B( x, r ) ⊂ F c . Or xk → x donne N ∈ N tel que k ≥ N ⇒ xk ∈ B( x, r ) ⊂ F c ,
contredisant xk ∈ F. Donc x ∈ F.
(⇐) Supposons la propriété séquentielle vraie et, par l’absurde, F non fermé : F c n’est pas
ouvert, donc il existe x ∈ F c tel que pour tout r > 0, B( x, r ) ̸⊂ F c , i.e. B( x, r ) ∩ F ̸= ∅. En
prenant r = 1k , on choisit xk ∈ F ∩ B( x, 1k ) : alors ∥ xk − x ∥ < 1k → 0, donc xk → x avec xk ∈ F
mais x ∈
/ F : contradiction avec l’hypothèse. Donc F est fermé.
2.4 Intérieur et adhérence
Définition 1.10. V ⊂ E est un voisinage de x s’il existe ε > 0 tel que B( x, ε) ⊂ V.
Définition 1.11. x est intérieur à A si A est un voisinage de x. Int( A) = ensemble des points
intérieurs à A.
Exemple 1.11. Int(Q) = ∅ dans R (tout intervalle ] x − ε, x + ε[ contient un irrationnel). Int(]0, 1]) =
]0, 1[.
Proposition 1.12. Int( A) est le plus grand ouvert inclus dans A.
Corollaire 1.5. A est ouvert ⇐⇒ Int( A) = A.
Définition 1.12. x est adhérent à A si ∀ε > 0, B( x, ε) ∩ A ̸= ∅. Adh( A) (ou A) = ensemble des
points adhérents à A.
Proposition 1.13. E \ Adh( A) = Int( E \ A).
Proposition 1.14. Adh( A) est le plus petit fermé contenant A.
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Chapitre 1
Proposition 1.15. x ∈ Adh( A) ⇐⇒ ∃( xn ) ⊂ A, limn→+∞ N ( xn − x ) = 0.
Corollaire 1.6. A est fermé ⇐⇒ A = Adh( A).
Exemple 1.12. Adh(Q) = R ; Adh(]0, 1]) = [0, 1].
Définition 1.13. A est dense dans E si Adh( A) = E.
Exemple 1.13. Q est dense dans R ; Qn est dense dans Rn .
2.5 Parties compactes
Définition 1.14. K est compact si toute suite ( xn ) de points de K admet une sous-suite convergente de limite dans K.
Théorème 1.1. Si K est compact, alors K est fermé et borné.
Théorème 1.2 (Bolzano–Weierstrass). Toute suite bornée de Rn admet une sous-suite convergente.
Corollaire 1.7. Dans Rn : K compact ⇐⇒ K fermé et borné.
Attention : l’équivalence compact ⇐⇒ fermé et borné n’a lieu que dans Rn (dimension finie) ;
en dimension infinie elle est fausse en général.
2.6 Connexité par arcs
Définition 1.15. C ⊂ E est connexe par arcs si pour tous A, B ∈ C, il existe γ : [0, 1] → C
continue avec γ(0) = A, γ(1) = B.
Non connexe par arcs
Connexe par arcs
Proposition 1.16. Pour A ⊂ R : A est un intervalle ⇐⇒ A est connexe par arcs.
Exemple 1.14. L’épigraphe {( x, y) ∈ R2 : y > f ( x )} d’une fonction continue f : R → R est connexe par
arcs. La réunion du disque fermé de centre (−1, 0) et de rayon 1 avec le disque ouvert de centre (1, 0) et de
rayon 1 (disques tangents) est connexe par arcs.
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Chapitre 1
Synthèse : les implications à connaître par cœur
Suite
convergente
toujours
réciproque fausse (ex.
Suite de
Cauchy
√
toujours
Suite
bornée
2 dans Q)
toujours vrai (Thm 1.1)
Compact
Fermé et borné
vrai seulement dans Rn (Cor. 1.7)
• Dimension finie (Rn ) : toutes les normes sont équivalentes ⇒ convergence, bornitude,
ouverts/fermés et compacité ne dépendent pas de la norme choisie.
• Dimension infinie : rien de tout cela n’est garanti (ex. (P , ∥ · ∥∞ ) non complet).
• Méthode-clé : pour montrer qu’une partie de Rn est fermée, on prend une suite quelconque
de cette partie qui converge, et on montre que la limite reste dans la partie (Prop. 1.11).
• A ouvert ⇐⇒ Int( A) = A
;
A fermé ⇐⇒ Adh( A) = A.
Résumé rédigé à partir du support du Chapitre 1 (Espaces vectoriels normés. Topologie sur un EVN) et de la Séance N°02
(Topologie de Rn ).
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