Espaces vectoriels normés — Topologie

ESPACES VECTORIELS NORMÉS — TOPOLOGIE Chapitre 1
Espaces vectoriels normés
Topologie sur un e.v.n. — Topologie de Rn
Résumé de cours — Chapitre 1 (Séance 1 & Séance 2)
Table des matières
1 Normes sur un espace vectoriel 1
1.1 Équivalence de normes ..................................... 2
2 Topologie sur un e.v.n. 3
2.1 Boules ouvertes, fermées, parties bornées .......................... 3
2.2 Suites : bornées, convergentes, de Cauchy .......................... 3
2.3 Ouverts et fermés ........................................ 4
2.4 Intérieur et adhérence ..................................... 5
2.5 Parties compactes ........................................ 6
2.6 Connexité par arcs ....................................... 6
Synthèse : les implications à connaître par cœur 7
1 Normes sur un espace vectoriel
Définition 1.1. Soit Eun R-espace vectoriel (en général E=Rn). On dit que Nest une norme
sur Esi N:E→R+vérifie :
(1) pour tout x∈E,N(x) = 0⇐⇒ x=0 ;
(2) pour tout λ∈R, pour tout x∈E,N(λx) = |λ|N(x);
(3) pour tous x,y∈E,N(x+y)≤N(x) + N(y)(inégalité triangulaire).
Le couple (E,N)est appelé espace vectoriel normé (e.v.n.).
Proposition 1.1. Soit (E,N)un e.v.n. L’application
d:E×E→R+,d(x,y) = N(x−y)
est une distance sur E, appelée distance induite par N.
Corollaire 1.1. La distance dinduite par Nvérifie, pour tous x,y,z∈Eet λ∈R:
(1) d(0, x) = N(x);
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(2) d(λx,λy) = |λ|d(x,y);
(3) d(x+z,y+z) = d(x,y)(invariance par translation).
Remarque 1.1. Toute norme induit une distance, mais toutes les distances ne dérivent pas d’une norme.
Exemple 1.1 (normes classiques sur Rn). Pour x = (x1, . . . , xn)∈Rnet p ≥1:
N1(x) =
n
∑
i=1|xi|(norme de Manhattan)
N2(x) = n
∑
i=1|xi|21/2 (norme euclidienne)
Np(x) = n
∑
i=1|xi|p1/p(norme de Minkowski)
N∞(x) = max
1≤i≤n|xi|(norme infinie / Tchebychev)
Exercice 1.1 (à retenir). N∞est la limite de Npquand p→+∞: il suffit de montrer que N∞(x)≤
Np(x)≤n1/pN∞(x).
x
y
p=1
x
y
p=2
x
y
p=∞
Boules unités BNp(0, 1)dans R2selon la valeur de p.
Proposition 1.2. Soit (E,N)un e.v.n. et x,y∈E. Alors
N(x)−N(y) ≤N(x−y).
1.1 Équivalence de normes
Définition 1.2. Deux normes Net N′sur Esont dites équivalentes (noté N∼N′) s’il existe
a,b>0 tels que
a N(x)≤N′(x)≤b N(x),∀x∈E.
Exemple 1.2. La norme de Tchebychev et la norme de Minkowski sont équivalentes (cf. Exercice 1.1).
Proposition 1.3. La relation ∼est une relation d’équivalence sur l’ensemble des normes de E.
Proposition 1.4. Sur Rn, toutes les normes sont équivalentes.
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Corollaire 1.2. Toutes les normes sont équivalentes sur un espace vectoriel de dimension finie.
À retenir : en dimension finie (en particulier dans Rn), peu importe la norme choisie pour parler
de convergence, de bornitude, d’ouverts/fermés ou de compacité : le résultat est le même. Ce
n’est plus vrai en dimension infinie (cf. l’exemple des polynômes, section 2.2).
2 Topologie sur un e.v.n.
2.1 Boules ouvertes, fermées, parties bornées
Définition 1.3. Soit (E,N)un e.v.n., a∈E,r>0.
• Boule fermée :BN(a,r) = {x∈E|N(x−a)≤r};
• Boule ouverte :BN(a,r) = {x∈E|N(x−a)<r};
•Sphère :SN(a,r) = {x∈E|N(x−a) = r}.
Pour a=0, r=1 : boules/sphères unités. Une partie B⊂Eest dite bornée s’il existe une
boule (ouverte ou fermée) qui la contient.
Exemple 1.3 (dimension 1). Dans (R,|·|), pour a ∈R,r>0:
B(a,r) = [a−r,a+r],B(a,r) = ]a−r,a+r[,S(a,r) = {a−r,a+r}.
Remarque 1.2. Les boules ont des formes géométriques différentes selon la norme utilisée (cf. le schéma des
trois boules unités ci-dessus, pour p =1, 2, ∞).
2.2 Suites : bornées, convergentes, de Cauchy
Définition 1.4. (xn)n∈Nest bornée si {xn:n∈N}est borné, i.e. s’il existe M>0 tel que
N(xn)<M,∀n∈Nsoit {xn} ⊂ BN(0, M).
Exemple 1.4. Dans R: xn=(−1)n
n+1vérifie |xn| ≤ 1, donc (xn)est bornée ; xn=n n’est pas bornée car
|xn| → +∞.
Dans (R2,N2): xn=(−1)n
n+1,n n+1vérifie N(xn)≤√2: bornée. En revanche xn= (n,(−1)n)vérifie
N(xn) = √n2+1→+∞:non bornée (les points sortent de toute boule centrée en 0).
Définition 1.5. (xn)converge dans Evers l∈Esi lim
n→+∞N(xn−l) = 0, i.e.
∀ε>0, ∃n0∈N,∀n≥n0:N(xn−l)<ε(soit xn∈BN(l,ε)).
Exemple 1.5. 1
n,n n+1n∈N∗converge dans R2vers (0, 1)(norme N∞).
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Proposition 1.5. L’ensemble des suites bornées (resp. convergentes) d’un e.v.n. est un espace
vectoriel.
Proposition 1.6. La limite d’une suite, si elle existe, est unique.
Proposition 1.7. Si N1∼N2, toute suite convergente pour N1l’est aussi pour N2.
Corollaire 1.3. Dans Rn(normes toutes équivalentes), convergence pour une norme ⇒con-
vergence pour toutes les autres.
Corollaire 1.4. (xn)converge vers l= (l1, . . . , ln)dans (Rn,N)⇐⇒ convergence coordon-
née par coordonnée :xi
n→lipour tout i=1, . . . , n.
Définition 1.6. (xn)est de Cauchy si
∀ε>0, ∃N∈N,∀n,m≥N:N(xn−xm)<ε.
Proposition 1.8. Toute suite convergente est de Cauchy.
Exemple 1.6. xn=E(2n√2)
2nconverge vers √2 /∈Q:(xn)ne converge pas dans Q, mais elle est de
Cauchy dans Q(la réciproque de la Prop. 1.8 est donc fausse en général).
Définition 1.7. Un espace normé est complet si toute suite de Cauchy y est convergente.
Exemple 1.7. (R,|·|)est complet ; (Q,|·|)ne l’est pas (exemple ci-dessus).
Dimension finie : Pn={P∈R[X]: deg(P)≤n}, muni de N(P) = max0≤k≤n|ak|, est un e.v.n. de
dimension n +1; comme tout e.v.n. de dimension finie est complet, Pnest complet.
Dimension infinie – contre-exemple : P=R[X]muni de ∥P∥∞=supx∈[0,1]|P(x)|. La suite Pn(x) =
∑n
k=0
(−1)kxk+1
k+1converge uniformément sur [0, 1]vers log(1+x)/∈ P :(Pn)est de Cauchy mais ne
converge pas dans P, donc (P,∥ ·∥∞)n’est pas complet.
2.3 Ouverts et fermés
Définition 1.8. U⊂Eest ouvert si ∀x∈U,∃r>0 : B(x,r)⊂U(chaque point est centre
d’une boule ouverte incluse dans U). Par convention, ∅est ouvert.
Exemple 1.8. Les intervalles ouverts sont des ouverts de R;Rn’est pas un ouvert de C.
Proposition 1.9. Soit (Oi)i∈Iune famille d’ouverts de E(I̸=∅). Alors :
(1) ∅et Esont des ouverts ;
(2) [
i∈I
Oiest un ouvert (union quelconque) ;
(3) si Iest fini,\
i∈I
Oiest un ouvert.
Remarque 1.3 (attention, hypothèse de finitude essentielle). Si I est infini, Ti∈IOin’est pas forcément
ouvert. Contre-exemple : I =N∗, Ok= ] −1
k,1 k[donne Tk∈N∗Ok={0}, qui n’est pas ouvert.
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Définition 1.9. F⊂Eest fermé si E\Fest ouvert.
Exemple 1.9. Si a ≤b, [a,b]est fermé.
Proposition 1.10. ∅et Esont fermés ; une intersection quelconque de fermés est fermée ; une
union finie de fermés est fermée.
Proposition 1.11 (caractérisation séquentielle). Une partie non vide F⊂Rnest fermée ⇐⇒
toute suite de points de Fconvergente dans Rna sa limite dans F.
Méthode générale (montrer que Fest fermé) : (1) prendre une suite (xn)de points de Fcon-
vergeant vers l; (2) montrer que l∈F.
Exemple 1.10 (démonstration modèle). L’hyperbole {xy =1}est fermée dans R2: si (xn,yn)→(a,b)
avec xnyn=1pour tout n, alors par continuité des projections lim xn=a, lim yn=b, donc ab =
lim xnyn=1: la limite est bien sur l’hyperbole.
Preuve détaillée de la Prop. 1.11 (technique à maîtriser, très utilisée en TD/examen) :
(⇒)Soit Ffermé et (xk)⊂Favec xk→x∈Rn. Si x/∈F, alors x∈Fcqui est ouvert : il existe
r>0 tel que B(x,r)⊂Fc. Or xk→xdonne N∈Ntel que k≥N⇒xk∈B(x,r)⊂Fc,
contredisant xk∈F. Donc x∈F.
(⇐)Supposons la propriété séquentielle vraie et, par l’absurde, Fnon fermé : Fcn’est pas
ouvert, donc il existe x∈Fctel que pour tout r>0, B(x,r)̸⊂ Fc, i.e. B(x,r)∩F̸=∅. En
prenant r=1
k, on choisit xk∈F∩B(x,1 k): alors ∥xk−x∥<1 k→0, donc xk→xavec xk∈F
mais x/∈F: contradiction avec l’hypothèse. Donc Fest fermé.
2.4 Intérieur et adhérence
Définition 1.10. V⊂Eest un voisinage de xs’il existe ε>0 tel que B(x,ε)⊂V.
Définition 1.11. xest intérieur àAsi Aest un voisinage de x. Int(A)= ensemble des points
intérieurs à A.
Exemple 1.11. Int(Q) = ∅dans R(tout intervalle ]x−ε,x+ε[contient un irrationnel). Int(]0, 1]) =
]0, 1[.
Proposition 1.12. Int(A)est le plus grand ouvert inclus dans A.
Corollaire 1.5. Aest ouvert ⇐⇒ Int(A) = A.
Définition 1.12. xest adhérent àAsi ∀ε>0, B(x,ε)∩A̸=∅. Adh(A)(ou A) = ensemble des
points adhérents à A.
Proposition 1.13. E\Adh(A) = Int(E\A).
Proposition 1.14. Adh(A)est le plus petit fermé contenant A.
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