Tests d`hypothèse

Tests d’hypothèse
Capacités attendues
X Déterminer la région de rejet de l’hypothèse nulle et énoncer la règle de décision.
X Utiliser les tests bilatéraux et unilatéraux relatifs à une proportion ou à une moyenne ainsi qu’à la
comparaison de deux proportions ou de deux moyennes.
X Analyser les risques d’erreur de première et de seconde espèce associés à la prise de décision.
Exemple introductif
Le ministre du travail a affirmé après calcul que « le salaire moyen des français est de 1000 euros par mois ».
Un statisticien est chargé de vérifier ces dires au vu d’un échantillon de la population.
Il procède donc à un prélèvement d’un échantillon aléatoire de taille 100 et calcule le salaire moyen x de
l’échantillon. Plusieurs cas peuvent se produire :
• si par exemple x = 500 euros, il semble évident de rejeter l’hypothèse du ministre que la véritable
moyenne m est de 1000, étant donné l’écart important existant entre x et la valeur hypothétique de m.
• si x = 1001, il semble en revanche raisonnable d’accepter l’hypothèse du ministre ;
• mais si x = 970 ou x = 1020, la moyenne sur l’échantillon n’est ni très grande ni très petite par rapport à
la valeur hypothétique, de telle sorte que la décision ne s’impose pas d’elle-même.
De plus, il reste toujours la possibilité d’avoir prélevé un échantillon ayant très peu de chances de se réaliser.
Comment être sur de prendre la « bonne » décision à partir d’un échantillon ? La réponse est : jamais.
Il semble toutefois raisonnable de rejeter les cas les plus improbables.
Conception d’un test d’hypothèse
Un test d’hypothèse est un procédé permettant de contrôler (rejeter ou non) la validité d’une hypothèse relative
à une population. Le principe consiste à poser une hypothèse de travail et à en prédire les conséquences pour
l’échantillon. On compare ces prédictions avec les observations et l’on conclut en rejetant ou non l’hypothèse
de travail à partir de règles de décisions objectives.
L’hypothèse nulle, notée H0 , est l’hypothèse que l’on désire contrôler : cette hypothèse est formulée dans le but
d’être rejetée. Elle devient une hypothèse de travail et permet de prédire des conséquences pour l’échantillon.
L’hypothèse alternative, notée H1 , est la négation de H0 : elle est équivalente à dire « H0 est fausse ».
Le seuil de probabilité α, ou risque, est la probabilité de rejeter H0 alors qu’elle est vraie : ce seuil est fixé à
l’avance, en général à 5% ou à 1%.
En supposant que H0 est vraie, on définit alors la zone critique au seuil de risque donné.
On calcule enfin les caractéristiques (moyenne, proportion) d’un échantillon et on peut alors prendre une
décision concernant l’hypothèse posée.
Règle de décision
On prélève un échantillon dans la population et l’on observe une valeur (moyenne ou fréquence).
Sous l’hypothèse nulle et pour un risque α (en général 5%) fixé :
• si la valeur observée est située dans la zone critique, on rejette H0 et on accepte H1 ;
• sinon, on ne peut pas rejeter H0 .
Attention, ne pas rejeter l’hypothèse nulle ne veut pas dire l’accepter : cela veut seulement dire que la
valeur observée n’est pas en contradiction flagrante avec l’hypothèse nulle.
TS Opticien Lunetier – 2016 / 2017
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Lycée Fresnel - Paris
1 – Test bilatéral relatif à une moyenne
Problème
Une machine produit des pièces dont l’épaisseur est une variable aléatoire X d’écart type 0, 3 mm. La machine
a été réglée pour obtenir des épaisseurs de 5 mm. Un contrôle portant sur un échantillon de 100 pièces a donné
5, 07 mm comme moyenne des épaisseurs de ces 100 pièces.
Peut-on affirmer que la machine est bien réglée au seuil de risque de 5% ?
Choix de la variable aléatoire
Soit m l’espérance mathématique de X, c’est-à-dire la moyenne des épaisseurs de toutes les pièces produites
par la machine ainsi réglée. Considérons la variable aléatoire X qui, à chaque échantillon de taille 100, associe
la moyenne des épaisseurs de ces pièces. La taille des échantillons étant suffisamment grande, on considère
que X suit la loi normale de moyenne m et d’écart type √0,3 .
100
Choix des hypothèses
On estime que la machine est bien réglée si la moyenne de toutes les pièces produites par la machine est 5 mm.
L’hypothèse nulle H0 s’écrit donc : « m = 5 ». L’hypothèse alternative est H1 : « m 6= 5 ».
Zone critique
Dons le cas où l’hypothèse H0 est vraie, la variable aléatoire X suit la loi normale de moyenne 5 et d’écart type
√0,3 . On détermine alors un intervalle de fluctuation de X au seuil de 95%.
100
Cet intervalle s’obtient par le calcul :
0, 3
0, 3
√
√
5 − 1, 96 ×
; 5 + 1, 96 ×
.
100
100
Avec 1, 96 ×
√0,3
100
= 1, 96 ×
√0,3
100
≃ 0, 06, l’intervalle de fluctuation de X au seuil de 95% est :
[4, 94 ; 5, 06].
L’ensemble des valeurs extérieures à cet intervalle forme la zone critique.
H0 n’est pas rejetée
Zone critique
Zone critique
H0 est rejetée
H0 est rejetée
H1 est acceptée
4, 94
H1 est acceptée
5
5, 06
Utilisation du test
La valeur observée dans l’échantillon (5,07 mm) est située dans la zone critique : on rejette donc H0 et on
accepte H1 . Au seuil de risque de 5%, on peut donc affirmer que la machine n’est pas bien réglée.
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Lycée Fresnel - Paris
2 – Test unilatéral relatif à une moyenne
Problème
La durée de vie (en heures) des ampoules électriques produites par une usine est une variable aléatoire X
d’écart type 120. Le fabricant annonce qu’en moyenne, les ampoules ont une durée de vie de 1120 heures. On
demande de rédiger une règle de décision pour vérifier l’affirmation du fabriquant, au seuil de risque de 5%,
en testant un échantillon de 36 ampoules.
Choix de la variable aléatoire
Soit m l’espérance mathématique de X, c’est-à-dire la durée de vie moyenne de toutes les ampoules produites
par l’usine. Considérons la variable aléatoire X qui, à chaque échantillon de 36 ampoules associe la de durée
de vie moyenne des 36 ampoules. La taille des échantillons étant suffisamment grande, on considère que X
120
= 20.
suit la loi normale de moyenne m et d’écart type √
36
Choix des hypothèses
On choisit pour hypothèse nulle H0 : « m = 1120 » (l’affirmation du fabricant est vraie).
L’acheteur ne se plaindra que si la durée de vie des ampoules est inférieure à 1120 heures ; dans le cas où la
moyenne m est supérieure à 1120, l’hypothèse du fabricant se trouve immédiatement confirmée.
L’hypothèse alternative Hl est donc m < 1120 (l’affirmation du fabricant est fausse).
Zone critique
La zone critique se trouve donc d’un seul côté de la moyenne. On dit alors que le test est unilatéral par
opposition au test bilatéral effectué au paragraphe précédent.
Dans le cas où hypothèse H0 est vraie, la variable aléatoire X suit la loi normale de moyenne 1120 et d’écart
type 20.
On cherche alors le nombre réel d tel que P( X < 1120 − d) = 0, 05.
À l’aide de la calculatrice, on trouve d = 1, 645 × 20 ≃ 33.
H0 n’est pas rejetée
Zone critique
H0 est rejetée
H1 est acceptée
1087
1120
Règle de décision
On prélève un échantillon de 36 ampoules.
Si la moyenne de l’échantillon observée est inférieure à 1087, on rejette l’hypothèse H0 et on accepte l’hypothèse
alternative H1 (l’affirmation du fabricant est fausse). Si la moyenne de l’échantillon observé est supérieure à
1087, on ne rejette pas l’hypothèse H0 .
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Lycée Fresnel - Paris
3 – Test unilatéral relatif à une proportion
Problème
Un joueur qui doit choisir au hasard une carte dans un jeu de 32 cartes obtient certains avantages s’il découvre
un roi. On constate qu’il a retourné 134 fois un roi sur 800 essais.
Peut-on présumer, au seuil de risque de 1%, que ce joueur est un tricheur ?
Choix de la variable aléatoire
Soit p la fréquence de rois que le joueur découvrirait s’il jouait une infinité de fois. Soit F la variable aléatoire
qui, à chaque échantillon de 800 essais, associe la fréquence d’apparition du roi. La taille des
qéchantillons étant
suffisamment grande, on considère que F suit la loi normale de moyenne p et d’écart type
p ( 1− p )
800 .
Choix des hypothèses
4
Si le joueur n’est pas un tricheur, la valeur de p est 32
= 0, 125. L’hypothèse nulle H0 est donc : « p = 0, 125 ».
Si p < 0, 125, on considérera que le joueur n’est pas un tricheur non plus donc l’hypothèse alternative H1 est :
« p > 0, 125 » (le joueur est un tricheur).
Zone critique
Dans le cas où l’hypothèse H0 est vraie, la variable aléatoire F suit la loi normale de moyenne p = 0, 125 et
d’écart type égal à :
r
r
p(1 − p)
0, 125(1 − 0, 125)
=
≃ 0, 0117 .
800
800
On cherche alors le nombre réel d tel que P( X > 0, 125 + d) = 0, 01.
À l’aide de la calculatrice, on trouve d = 0, 027.
H0 n’est pas rejetée
Zone critique
H0 est rejetée
H1 est acceptée
0, 125
0, 152
Utilisation du test
134
L’échantillon observé a une fréquence égale à 800
= 0, 1675. D’après la règle de décision, puisque 0, 1675 est
dans la zone critique (car 0, 1675 > 0, 152), on rejette l’hypothèse H0 et on accepte l’hypothèse H1 : on décide
que le joueur est un tricheur.
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4
Lycée Fresnel - Paris
4 – Test de comparaison de deux moyennes
Problème
Une entreprise fabrique des sacs en plastique pour déchets. Afin de surveiller la production, elle effectue des
contrôles réguliers portant sur le poids maximum que les sacs peuvent supporter.
À une première date t1 , le contrôle de 100 sacs a donné une moyenne de 58 kg et un écart type de 3 kg.
À la seconde date t2 , le contrôle de 144 sacs a donné une moyenne de 56 kg et un écart type de 5 kg.
Peut-on considérer, au risque de 5%, que la qualité des sacs a évolué entre les deux dates ?
Choix de la variable aléatoire
Appelons E1 (resp. E2 ) l’ensemble de tous les sacs produits par l’entreprise à la date t1 (resp. t2 ).
• Soit M1 la variable aléatoire qui, à chaque échantillon de 100 sacs issus de la population E1 , associe sa
moyenne. Une estimation ponctuelle de la moyenne et de l’écart-type à la date t1 est : m1 = 58 et σ1 = 3.
σ1
= N (58 ; 0, 3).
La taille des échantillons étant suffisamment grande, M1 suit la loi N m1 ; √
100
• Soit M2 la variable aléatoire qui, à chaque échantillon de 150 sacs issus de la population E2 , associe sa
moyenne. Une estimation ponctuelle de la moyenne et de l’écart-type à la date t2 est : m2 = 56 et σ2 = 5.
σ2
La taille des échantillons étant suffisamment grande, M2 suit la loi N m2 ; √
= N (56 ; 0, 5).
144
• La variable aléatoire D = M1 − M2 est la variable
aléatoire de décision. Elle suit une loi normale de
q
√
2
paramètres µ D = µ1 − µ2 = m1 − m2 et σD = σ1 + σ22 = 0, 32 + 0, 52 ≃ 0, 53.
Choix des hypothèses
L’hypothèse nulle H0 est m1 = m2 (la qualité n’a pas évolué).
L’hypothèse alternative H1 est m1 6= m2 (la qualité a évolué).
Zone critique.
Supposons que l’hypothèse H0 soit vraie, on a alors m1 − m2 = 0 ; alors D suit la loi normale N (0 ; 0, 53).
On cherche alors le réel d tel que P(−d 6 D 6 d) = 0, 95. On trouve d = 1, 96 × σD soit d ≃ 1, 14.
H0 n’est pas rejetée
Zone critique
Zone critique
H0 est rejetée
H0 est rejetée
H1 est acceptée
−1, 14
H1 est acceptée
0
1, 14
Règle de décision.
Si la différence des moyennes des deux échantillons est inférieure à −1, 14 ou supérieure à 1, 14, alors on rejette
H0 et on accepte H1 .
Si la différence des moyennes des deux échantillons est comprise entre −1, 14 et 1, 14, on ne rejette pas H0 .
Utilisation du test
La différence des moyennes des deux échantillons est 58 − 56 = 2.
D’après la règle de décision, on rejette H0 et on décide que la qualité des sacs a évolué entre les dates t1 et t2 .
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5 – Test de comparaison de deux proportions
À l’issue d’un examen, il y a 23 reçus et 17 ajournés dans une classe et 15 reçus et 25 ajournés dans une autre
classe. La différence observée entre les deux pourcentages de réussite est-elle significative d’une différence de
niveau entre les deux classes, au seuil de 5% ?
Choix de la variable aléatoire
On suppose que la première classe est issue d’une population C1 pour laquelle la fréquence de succès est p1 ,
et que la deuxième classe est issue d’une population C2 pour laquelle la fréquence de succès est p2 .
• Soit F1 la variable qui, à chaque échantillon de 40 élèves de la population C1 , associe sa fréquence de
succès. Une estimation ponctuelle
r de la fréquence et de l’écart-type pour la population C1 est :
23
0, 575(1 − 0, 575)
= 0, 575 et σ1 =
≃ 0, 078.
p1 =
40
40
La taille des échantillons étant suffisamment grande, on considère que F1 suit la loi N ( p1 ; 0, 078).
• Soit F2 la variable qui, à chaque échantillon de 40 élèves de la population C2 , associe sa fréquence de
succès. Une estimation ponctuelle
r de la fréquence et de l’écart-type pour la population C2 est :
15
0, 375(1 − 0, 375)
p2 =
= 0, 375 et σ2 = ×
= 0, 077.
40
40
La taille des échantillons étant suffisamment grande, on considère que F1 suit la loi N ( p2 ; 0, 077).
• La variable aléatoire de décision
D = F1 − F2 suit une loi normale de paramètres
q
√
µ D = p1 − p2 et σD = σ12 + σ22 = 0, 0772 + 0, 0782 ≃ 0, 11.
Choix des hypothèses
L’hypothèse nulle H0 est p1 = p2 (les deux populations ont le même niveau),
l’hypothèse alternative H1 est p1 6= p2 (les deux populations n’ont pas le même niveau).
Zone critique
Supposons que l’hypothèse H0 soit vraie : p1 − p2 = 0 ; alors D suit la loi normale N (0 ; 0, 11).
On déterminer le réel d tel que P(−d 6 D 6 d) = 0, 95 : d = 1, 96σD ≃ 0, 22.
H0 n’est pas rejetée
Zone critique
Zone critique
H0 est rejetée
H0 est rejetée
H1 est acceptée
−0, 22
H1 est acceptée
0
0, 22
Règle de décision
Si la différence des moyennes des deux échantillons est inférieure à −0, 22 ou supérieure à 0, 22, alors on rejette
H0 et on accepte H1 . Sinon, on ne rejette pas H0 .
Utilisation du test
15
23
− 40
= 0, 2.
La différence des fréquences de succès des deux échantillons est égale à p1 − p2 = 40
D’après la règle de décision, on en conclut qu’au seuil de risque de 5%, on ne peut pas rejetter H0 : la différence
observée entre les deux échantillons n’est pas significative d’une différence de niveau entre les deux classes.
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6 – Risque d’erreur
Lors d’un test statistique, il existe deux possibilités de se tromper :
• rejeter H0 alors qu’elle est vraie ;
• ne pas rejeter H0 alors que c’est H1 qui est vraie.
La probabilité de rejeter H0 alors qu’elle est vraie est le seuil de probabilité α du test. Cette probabilité s’appelle
encore le seuil de signification du test ou encore le risque de première espèce, noté α.
Comme α est fixé à l’avance (5% ou 1% en général), le risque de première espèce est contrôlé.
Le risque de deuxième espèce, noté β, est la probabilité de ne pas rejeter H0 alors que c’est H1 qui est vraie.
Le risque de deuxième espèce dépend de α et ne peut se calculer qu’en spécifiant des valeurs du paramètre
inconnu.
Définitions
Le risque de première espèce α est la probabilité de rejeter H0 alors que H0 est vraie.
Le risque de deuxième espèce β est la probabilité de ne pas rejeter H0 alors que H1 est vraie.
α = PH0 est vraie (rejeter H0 )
β = PH1 est vraie (ne pas rejeter H0 ) .
Exemple
On cherche à tester l’hypothèse qu’une pièce de monnaie n’est pas « truquée ». Pour cela, on lance la pièce 100
fois et on note X le nombre de « faces » obtenu. On fixe le seuil de risque du test à α = 5%.
L’hypothèse nulle est H0 : « la pièce n’est pas truquée ». L’hypothèse alternative est H1 : « la pièce est truquée ».
Sous l’hypothèse nulle, X suit une loi binomiale de paramètres n = 100 et p = 0, 5.
√
Son espérance vaut E( X ) = np = 50 et son écart-type σ( X ) = npq = 5.
En approchant cette loi binomiale par la loi normale N (50 ; 5), on a P(50 − d 6 X 6 50 + d) = 0, 95 pour
d = 1, 95 × 5 ≃ 10. H0 ne sera donc pas rejetée si X ∈ [40 ; 60].
Supposons maintenant que H1 soit vraie et que la probabilité de tomber sur face soit égale à 0,6.
Alors X suit une loi binomiale de paramètres n = 100 et p = 0, 6.
√
Son espérance vaut E( X ) = np = 60 et son écart-type σ( X ) = npq ≃ 4, 9.
On approche cette loi binomiale par la loi normale N (60 ; 4, 9).
Le risque de deuxième espèce la probabilité de ne pas rejetter H0 , soit P(40 6 X 6 60) ≃ 0, 5.
Dans ce cas, le risque de deuxième espèce est égal à β = 0, 5.
Supposons maintenant que H1 soit vraie et que la probabilité de tomber sur face soit égale à 0,65.
Alors X suit une loi binomiale de paramètres n = 100 et p = 0, 65.
√
Son espérance vaut E( X ) = np = 60 et son écart-type σ( X ) = npq ≃ 4, 8.
On approche cette loi binomiale par la loi normale N (60 ; 4, 8).
Le risque de deuxième espèce la probabilité de ne pas rejetter H0 , soit P(40 6 X 6 60) ≃ 0, 15.
Dans ce cas, le risque de deuxième espèce est égal à β = 0, 15.
Sur ces deux exemples, on se rend compte que plus la pièce est truquée (p est éloigné de 0,5), moins l’on a de
chance de ne pas rejeter H0 à tort. On dit que le test est plus puissant dans le second cas.
Définition
La puissance d’un test est la probabilité de rejeter H0 sachant que H1 est vraie. Elle est égale à 1 − β.
Puissance d’un test = PH1 est vraie (rejeter H0 ) = 1 − β .
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Exercices
Exercice 1 – (2010)
Un site de vente par correspondance commercialise des flacons. À la suite d’une série de réclamations, le
gestionnaire du site décide de mettre en oœuvre un test unilatéral, pour décider si, au seuil de signification de
5 %, le volume moyen des flacons qui lui sont livrés est inférieur à 250 millilitres.
On note Z la variable aléatoire qui, à tout flacon prélevé au hasard dans la livraison, associe le volume de
liquide contenu, exprimé en millilitres. La variable aléatoire Z suit la loi normale de moyenne inconnue µ et
d’écart type 2, 5.
On désigne par Z la variable aléatoire qui, à chaque échantillon aléatoire de 25 flacons prélevés dans la livraison,
associe la moyenne des volumes de liquide contenus dans les flacons de cet échantillon. La livraison est assez
importante pour que l’on puisse assimiler ces prélèvements à des tirages avec remise.
L’hypothèse nulle est H0 : µ = 250. L ’hypothèse alternative est H1 : µ < 250.
Le seuil de signification du test est fixé à 0, 05.
1. Sous l’hypothèse H0 , on admet que la variable aléatoire Z suit la loi normale de moyenne 250 et d’écart
type 0, 5.
On admet également que : P Z > 249, 2 = 0, 95. Ce résultat n’a pas à être démontré. Énoncer la règle
de décision permettant d’utiliser ce test.
2. Le gestionnaire prélève un échantillon aléatoire de 25 flacons et observe que, pour cet échantillon, le
volume moyen de liquide est x = 249, 4 millilitres.
Peut-on, au seuil de 5 %, conclure que le volume moyen des flacons livrés est inférieur à 250 millilitres ?
Exercice 2 – (2006)
Une entreprise est approvisionnée en « palets » pour la fabrication de lentilles.
Les palets utilisés pour la fabrication des lentilles doivent avoir un diamètre de 9,80 millimètres.
Dans cette partie, on se propose de contrôler la moyenne µ de l’ensemble des diamètres de palets d’une
importante livraison reçue par l’entreprise.
On note Z la variable aléatoire qui, à chaque palet prélevé au hasard dans la livraison, associe son diamètre.
La variable aléatoire Z suit la loi normale de moyenne inconnue µ et d’écart type σ = 0, 13.
On désigne par Z la variable aléatoire qui, à chaque échantillon aléatoire de 100 palets prélevé dans la livraison,
associe la moyenne des diamètres de ces palets (la livraison est assez importante pour que l’on puisse assimiler
ces prélèvements à des tirages avec remise).
L’hypothèse nulle est H0 : « µ = 9, 80 ». Dans ce cas les palets de la livraison sont conformes pour le diamètre.
L’hypothèse alternative est H1 ´ µ 6= 9, 80 ».
Le seuil de signification du test est fixé à 0, 05.
1. Justifier le fait que, sous l’hypothèse nulle, Z suit la loi normale de moyenne 9, 80 et d’écart type 0, 013.
2. Sous l’hypothèse nulle, déterminer le nombre réel h positif tel que :
P(9, 80 − h 6 Z 6 9, 80 + h) = 0, 95.
3. Énoncer la règle de décision permettant d’utiliser ce test.
4. On prélève un échantillon de 100 palets et on observe que, pour cet échantillon, la moyenne des diamètres
est z = 9, 79.
Peut-on, au seuil de risque de 5 %, conclure que les palets de la livraison sont conformes pour le diamètre ?
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Exercice 3 – (2005)
Dans une grande chaîne de magasins d’optique, on s’intéresse aux stocks de montures de lunettes. On veut
contrôler la moyenne µ de l’ensemble des poids des montures constituant une livraison.
On se propose de construire un test d’hypothèse bilatéral.
On note Y la variable aléatoire qui, à chaque monture tirée au hasard dans la livraison, associe son poids, en
grammes.
On admet que la variable aléatoire Y suit la loi normale de moyenne inconnue µ et d’écart type σ = 0, 5. On
désigne par Y la variable aléatoire qui, à chaque échantillon aléatoire de 100 montures prélevé dans la livraison,
associe la moyenne des poids de ces montures (la livraison est assez importante pour que l’on puisse assimiler
ces prélèvements à des tirages avec remise).
L’hypothèse nulle est H0 : µ = 100. Dans ce cas les montures de la livraison sont conformes. L’hypothèse
alternative est H1 : µ 6= 100.
Le seuil de signification du test est fixé à 0, 05.
1. Justifier que, sous l’hypothèse nulle H0 , Y suit la loi normale de moyenne 100 et d’écart type 0, 05.
2. Sous l’hypothèse nulle H0 , déterminer le nombre réel positif h tel que : P(100 − h 6 Y 6 100 + h) = 0, 95.
3. Énoncer la règle de décision permettant d’utiliser ce test.
4. On prélève un échantillon de 100 montures et on observe que, pour cet échantillon, la moyenne des poids
est y = 100, 032.
Peut-on, au seuil de signification de 0, 05, conclure que les montures de la livraison sont conformes pour
le poids ?
Exercice 4 – (2001)
Le gérant du célèbre magasin d’optique OPTIPRIX dépose des chèques à sa banque.
On s’intéresse au stock des chèques déposés à la banque au cours du dernier mois.
On note Z la variable aléatoire qui, à chaque chèque prélevé au hasard dans le stock, associe son montant en
euros. On considère que cette variable aléatoire Z suit la loi normale de moyenne inconnue m et d’écart-type 30.
On désigne par Z la variable aléatoire qui, à chaque échantillon aléatoire et avec remise de 100 chèques, associe
le montant moyen de ces 100 chèques. On se propose de construire un test d’hypothèse pour accepter ou
refuser l’affirmation du comptable : « le montant moyen des chèques déposés au cours du dernier mois est de
120 euros ».
L’hypothèse nulle H0 est : m = 120.
L’hypothèse alternative H1 est m 6= 120.
Le seuil de signification du test est fixé à 0, 05.
1. Justifier que, sous hypothèse nulle H0 , Z suit la loi normale de moyenne 120 et d’écart-type 3.
2. Sous l’hypothèse nulle H0 , déterminer, en la justifiant, la valeur du réel h tel que
P(120 − h 6 Z < 120 + h) = 0, 95.
3. Énoncer la règle de décision permettant d’utiliser ce test.
4. Pour un échantillon de 100 chèques, on obtient une moyenne z = 125.
Peut-on accepter, au seuil de risque 5 %, l’affirmation du comptable ?
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