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ÉCOLE NATIONALE SUPÉRIEURE
DE STATISTIQUE ET D’ÉCONOMIE APPLIQUÉE
ENSEA – ABIDJAN
INSTITUT SOUS-RÉGIONAL DE STATISTIQUE
ET D’ÉCONOMIE APPLIQUÉE
ISSEA – YAOUNDÉ
ÉCOLE NATIONALE DE LA STATISTIQUE
ET DE L’ANALYSE ÉCONOMIQUE
ENSAE – SÉNÉGAL
AVRIL 2017
CONCOURS INGÉNIEURS STATISTICIENS ÉCONOMISTES
ISE Option Mathématiques
ORDRE GÉNÉRAL
(Durée de l’épreuve : 4 heures)
Les candidats traiteront au choix l’un des trois sujets suivants.
Sujet n° 1
« C’est en gardant le silence, alors qu’ils devraient protester, que les hommes deviennent
lâches ». Ella Wheeler Wilcox (1850-1919) auteure et poète américaine, tiré de Poems of problems
paru en 1914. Qu’en pensez-vous ? Illustrez vos propos.
Sujet n° 2
Peut-on souffrir des tragédies vécues par nos ancêtres ? Argumentez et illustrez.
Sujet n° 3
Comment faire pour cultiver la paix ? Expliquez et illustrez.

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ECOLE NATIONALE SUP´ ERIEURE
DE STATISTIQUE ET D’´ ECONOMIE APPLIQU´ EE
ENSEA - ABIDJAN
INSTITUT SOUS-R´ EGIONAL DE STATISTIQUE
ET D’´ ECONOMIE APPLIQU´ EE
ISSEA - YAOUND´ E
´
ECOLE NATIONALE DE LA STATISTIQUE
ET DE L’ANALYSE ´ ECONOMIQUE
ENSAE - S´ EN´ EGAL
AVRIL 2017
CONCOURS ING´ ENIEURS STATISTICIENS ´ ECONOMISTES
ISE Option Math´ematiques
1`ere COMPOSITION DE MATH´ EMATIQUES
(Dur´ee de l’´epreuve : 4 heures)
Le sujet est constitu´e de deux probl`emes ind´ependants. Tout r´esultat donn´e dans l’´enonc´e
pourra ˆetre admis dans les questions suivantes. Le plus grand soin sera apport´e `a la r´edaction et `a
la pr´esentation des r´esultats.
1 Probl`eme 1
Dans tout le probl`eme, on note Nl’ensemble des entiers naturels {0,1,2, . . .},Rl’ensemble des
nombres r´eels, et Cl’ensemble des nombres complexes. On note Fla fonction de R×C`a valeurs
dans Cd´efinie par :
∀(x, z)∈R×C, F (x, z) = exp −zx −x2
2
et fla fonction de R`a valeurs dans Rd´efinie par :
∀x∈R, f(x) = F(x, 0) = exp −x2
2.
Rappel : Si Xanet Xbnsont deux s´eries de nombres complexes absolument convergentes,
alors la s´erie de terme g´en´eral cn=
n
X
k=0
akbn−k(n∈N) est absolument convergente et
+∞
X
n=0
cn= +∞
X
k=0
ak! +∞
X
`=0
b`!
1

Partie 1
1. Soit z∈Cun nombre complexe fix´e.
(a) Ecrire les d´eveloppements en s´erie enti`ere de la variable r´eelle xdes fonctions x7→
exp(−zx) et x7→ exp −x2
2. On pr´ecisera les rayons de convergence des s´eries enti`eres
obtenues.
(b) En effectuant un produit, `a l’aide de la question pr´ec´edente, montrer que l’on peut ´ecrire,
pour tout x∈R:
F(x, z) =
+∞
X
n=0
An(z)xn
o`u Anest une fonction polynomiale de degr´e n.
Pour tout n∈N, on d´efinit la fonction polynomiale Hnpar Hn= (−1)nn!An.
Donner les expressions de H0(z) et de H1(z) en fonction de z.
(c) Calculer la d´eriv´ee de la fonction x7→ F(x, z) `a l’aide de F.
En d´eduire que pour tout n∈Net tout z∈Con a Hn+2(z) = zHn+1(z)−(n+ 1)Hn(z).
Donner les expressions de H2(z), H3(z) et H4(z) en fonction de z.
2. (a) Montrer que pour tout x∈Ron a f00(x) + xf 0(x) + f(x) = 0.
En d´eduire que pour tout n∈Net tout x∈Ron a :
dn+2f
dxn+2 (x) + xdn+1f dxn+1 (x)+(n+ 1)dnf dxn(x)=0.
(b) Pour tout n∈Non pose Kn=(−1)n
fdnf dxn.
Montrer que pour tout n∈Net tout x∈Ron a Kn+2(x)−xKn+1(x)+(n+1)Kn(x) = 0.
Exprimer K0(x) et K1(x) pour tout x∈R. En d´eduire que Hn=Knpour tout n∈N.
3. (a) Montrer que pour tout n∈Net tout x∈Ron a H0
n+1(x) = (n+ 1)Hn(x).
(b) En d´eduire que pour tout n∈Net tout x∈Ron a H00
n(x)−xH0 n(x) + nHn(x) = 0.
4. Pour tout n∈Non d´efinit la fonction ϕnde la variable r´eelle xpar :
∀x∈R, ϕn(x)=(−1)nHn(x) exp −x2
4.
Montrer que pour tout x∈Ron a ϕ00
n(x)−x2
4ϕn(x) = λnϕn(x), o`u λnest un nombre r´eel
que l’on d´eterminera.
5. Pour tout couple (p, q)∈N2on pose :
Ip,q =Iq,p =Z+∞
−∞
ϕp(x)ϕq(x)dx= (−1)p+qZ+∞
−∞
Hp(x)Hq(x)f(x)dx.
(a) Montrer que l’int´egrale Ip,q est bien d´efinie pour tout couple (p, q)∈N2. On admettra
d´esormais que I0,0=Z+∞
−∞
f(x)dx=√2π.
2

(b) Soit (p, q)∈N2. A l’aide d’une int´egration par parties, montrer que
Ip+1,q+1 = (p+ 1)Ip,q = (q+ 1)Ip,q .
En d´eduire la valeur de Ip,q pour tout couple (p, q)∈N2. On distinguera les cas q6=pet
q=p.
Partie 2 Soit ˆ fla fonction de la variable r´eelle νd´efinie par :
ˆ
f(ν) = Z+∞
−∞
F(t, 2iπν)dt=Z+∞
−∞
exp −2iπνt −t2
2dt
1. Montrer que ˆ fest d´efinie et continue sur R.
2. Montrer que ˆ fest de classe C1sur R.
(a) Montrer que ˆ f0(ν) = −4π2νˆ f(ν) pour tout ν∈R.
(b) Calculer ˆ f(0) et en d´eduire l’expression de ˆ f(ν) en fonction de ν.
2 Probl`eme 2
Dans tout le probl`eme, Eet Fd´esignent deux espaces vectoriels euclidiens chacun de dimension
au moins ´egale `a 2. Pour chacun de ces espaces, le produit scalaire de deux vecteurs xet yet la
norme d’un vecteur xsont respectivement not´es (x|y) et kxk.
L(E, F ) d´esigne l’ensemble des applications lin´eaires de Edans F.
La matrice transpos´ee d’une matrice Aest not´ee tA.
Les candidats pourront utiliser sans le red´emontrer qu’un projecteur d’un espace
euclidien est un projecteur orthogonal si, et seulement si, il est sym´etrique.
L’objet de la premi`ere partie est de caract´eriser la compos´ee de deux projections orthogonales
qui commutent. La seconde partie propose une r´esolution approch´ee d’une ´equation lin´eaire n’ayant
pas de solution en introduisant la notion de pseudo-solution.
Partie I
I.1 Soient xet ydeux vecteurs de E,Bune base orthonormale de E,Xet Yles matrices
respectives de xet ydans la base B.
Montrer que (x|y) = tXY =tY X.
I.2 Soit Hun sous-espace vectoriel de Ftel que 1 6dim H < dim F. Soit (e1, e2, ..., ek) une
base orthonormale de Het ple projecteur orthogonal de Fsur H.
a) Pour tout z∈F, exprimer (sans justification) p(z) dans la base (e1, e2, . . . , ek).
b) Soit Cune base orthonormale de F. Relativement `a cette base C, on note Zla matrice d’un
vecteur de z∈F,M(p) la matrice de pet pour tout i∈ {1,2, ..., k},Eila matrice de ei.
i) Montrer que pour tout z∈F,M(p)Z=
k
X
i=1
Ei
tEiZ.
ii) En d´eduire M(p) =
k
X
i=1
Ei
tEi.
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c) Montrer que pour tout z∈F,kp(z)k6kzk.
I.3 Exemple : On note Mla matrice d´efinie par M=1
2
1 0 −1 0
010−1
−1 0 1 0
0−1 0 1
a) Montrer que Mest la matrice dans la base canonique de R4, muni du produit scalaire usuel,
d’un projecteur orthogonal de R4.
b) Donner une base orthonormale du noyau et une base orthonormale de l’image de ce projec-
teur.
I.4 Soit Kun second sous-espace vectoriel de F,rle projecteur orthogonal de Fsur K,λune
valeur propre non nulle de p◦ret uun vecteur propre associ´e.
a) Montrer que uest ´el´ement de Het que r(u)−λu est ´el´ement de H⊥.
b) ´ Etablir l’´egalit´e : λkuk2=kr(u)k2.
c) En d´eduire que toutes les valeurs propres de p◦rsont dans le segment [0,1].
I.5 On suppose dans cette question que pet rcommutent.
a) Montrer que p◦rest un projecteur orthogonal.
b) Dans le cas o`u p◦rest non nul, d´eterminer son spectre.
c) Montrer que : Ker(p◦r) = Ker(p) + Ker(r) et Im(p◦r) = Im(p)∩Im(r).
I.6 On pose m= dim Fet on choisit une base orthonormale de Ftelle que les matrices de pet
rdans cette base soient respectivement les matrices d´ecompos´ees en blocs :
P=Ik0
0 0et R=A B
C Do`u Ikest la matrice unit´e d’ordre k,Aune matrice carr´ee
d’ordre ket Dune matrice carr´ee d’ordre m−k.
a) Montrer que les matrices v´erifient les relations :
A2+BC =A,AB +BD =B,CB +D2=D,tA=A,tB=Cet tD=D.
b) Montrer que les quatre conditions suivantes sont ´equivalentes :
(i) Le spectre de p◦rest inclus dans {0,1}.
(ii) tCC = 0.
(iii) C= 0.
(iv) pet rcommutent.
Partie II
Dans cette partie, sont donn´es un ´el´ement fde L(E, F ) et un ´el´ement vde F.
II.1 En consid´erant la projection orthogonale de vsur l’image de f, montrer qu’il existe un
´el´ement x0de Etel que :
kf(x0)−vk= min
x∈Ekf(x)−vk
Dans la suite x0sera appel´ee une pseudo-solution de l’´equation :
f(x) = v(1)
II.2 Montrer que si fest injective, alors l’´equation (1) admet une pseudo-solution unique.
II.3 Montrer que x0est pseudo-solution de l’´equation (1) si, et seulement si, pour tout x
appartenant `a E: (f(x)|f(x0)−v) = 0.
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