Algorithme de Gauss & Formes Quadratiques: Guide Complet

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ALGORITHME DE REDUCTION DE GAUSS
• Il renvoie des sommes/différences de formes linéaires indépendantes au carré
• Si 2 variables : 
o S’il y a des termes carrés () :
i. Choisir la variable à réduire et prendre les termes associés (exemple : )
ii. Mettre sous la forme 
iii. Résoudre avec 
iv. Simplifier
o S’il n’y en a pas (tous les termes ) :
i. Mettre sous forme 
ii. Appliquer 
• Si 3 variables (ou +) : 
o S’il y a des termes carrés () : Utiliser la méthode pour 2 variables
o S’il n’y en a pas (tous les termes ) :
i. Choisir les variables à réduire et prendre les termes associés
ii. Appliquer la formule 
•  : la variable choisie
•  : la constante devant 
•  : dans le terme qui ne contient pas , on a 
•  : dans le terme qui ne contient pas , on a 
iii. Mettre sous forme 
 et faire l’étape pour 2 var avec 
FORMES QUADRATIQUES
Signature d’une forme quadratique :
1. Mettre la forme quadratique sous forme de sommes/différences de formes linéaires indépendantes au carré
(algo de Gauss)
2. Ranger les formes suivant leur signe : 
3.  : nombre de formes linéaires positives (nb de )
 : nombre de formes linéaires négatives (nb de )
4. La signature s’écrit : 
Signe d’une forme quadratique :
1. Prendre la signature 
2. Si que  ()  forme quadratique positive
Si que  ()  forme quadratique négative
Si les 2  forme quadratique changeant de signe

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Savoir si une forme quadratique est sous forme de carrés de formes linéaires (linéairement) indépendantes :
• Soit 
1. Vérifier que  (sinon ça ne l’est pas)
2. Mettre les  sous forme de produit scalaire
3. 2 possibilités :
• Mq les 
 pour chaque  ne sont pas parallèles
• Mq le déterminant de la matrice associée aux  n’est pas nul
Critère de Sylvester / des déterminants mineurs principaux :
• Soit une forme quadratique 
1. Trouver la matrice  associée à , sous forme   
2. Trouver tous les mineurs de  (on les note )
• Ainsi, Si les  sont   forme quadratique positive
Si 
  forme quadratique négative
Sinon  forme quadratique changeant de signe