Comptage des racines par les formes quadratiques

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Comptage des racines par les formes quadratiques
Soit P∈R[X]de degré net α1, . . . , αnles racines de Pcomptées avec multiplicité. Pour i∈N,
on note si=
n
P
k=1
αi
kla i-ème somme de Newton.
Observation 1 : les sisont réels. En effet, si=Ni(α1, . . . , αn)est un polynôme symétrique
en les racines de Poù Ni(X) =
n
P
k=1
Xi
k∈R[X1, . . . , Xn]Sn. Il existe alors un unique polynôme
Q∈R[T1, . . . , Tn]tel que Ni=Q(Σ1,...,Σn)ce qui nous donne
Ni(α1, . . . , αn) = Q(Σ1(α1, . . . , αn),...,Σn(α1, . . . , αn))
où les Σjsont les polynômes symétriques élémentaires vérifiant Σj(α1, . . . , αn)∈Rd’après les
relations coefficients racines.
Théorème 1. Soit Qla forme quadratique réelle définie sur Rnpar :
Q(x) = Q(x0, . . . , xn−1) = P
0≤i,j≤n−1
si+jxixj
Notant (s, t)la signature de Q, on a :
•le nombre de racines complexes distinctes de Pvaut s+t=rg(Q).
•le nombre de racines réelles distinctes de Pvaut s−t.
Démonstration. :
Etape 1 : montrons que le nombre de racines complexes distinctes de Pest r=s+t=rg(Q).
Remarquons d’abord que l’on peut étendre naturellement la définition de QàCnen posant :
∀x∈Cn, Q(x) = Q(x0, . . . , xn−1) = P
0≤i,j≤n−1
si+jxixj
Alors, Qest représentée dans les bases canoniques de Rnet Cnpar la même matrice A, d’après les
expressions analytiques précédentes. Le rang d’une forme quadratique étant le rang de n’importe
qu’elle matrice la représentant, il vient :
rg(Q) = rg(A)est le rang de Qvue comme forme quadratique sur Cnou Rn.
Méthode : On note rle nombre de racines complexes distinctes de P. On aura démontré le
résultat si l’on prouve l’existence de rformes linéaires indépendantes l1, . . . , lr∈(Cn)∗et r
complexes non nuls λ1, . . . , λrtels que :
Q=λ1l2
1+. . . +λrl2
r.
En effet, en complétant la famille libre (l1, . . . , lr)en une base de (Cn)∗et en considérant la base
antéduale noté B, on aura trouvé une base de Cndans laquelle la matrice de Qait diagonale
avec exactement rcoefficients diagonaux non nuls i.e :
MatB(Q) = Diag(λ1, . . . , λr,0,...,0) =⇒rg(Q) = r
Recherche des rformes C-linéaires indépendantes : Pour x= (x0, . . . , xn−1)∈Cn,ona:
Q(x) = P
0≤i,j≤n−1n
P
k=1
αi+j
kxixj=P
0≤i,j≤n−1
n
P
k=1
αi
kαj
kxixj=
n
P
k=1 P
0≤i,j≤n−1
αi
kαj
kxixj
soit :
Q(x) =
n
P
k=1 n−1
X
i=0
αi
kxi!
| {z }
lk(x)
n−1
X
j=0
αj
kxj
| {z }
lk(x)
Notant (e∗
1, . . . , e∗
n)la base duale de la base canonique de Cn, on définit nformes linéaires
l1, . . . , lnpar :
lk(x) =
n−1
P
i=0
αi
kxi=
n−1
P
i=0
αi
ke∗
i+1(x)ce qui donne Q(x) =
n
P
k=1
lk(x)2.
Quitte à réordonner, on peut supposer que α1, . . . , αrsont les rracines complexes distinctes de
Pet on note m1, . . . , mrleurs multiplicités. On a ainsi pour x∈Cn:

2
n=m1+. . . +mravec mi∈N∗et Q(x) = m1l1(x)2+. . . +mrlr(x)2(∇).
Objectif : montrer que les formes linéaires (li)1≤i≤rsont linéairement indépendantes. Ecrivons
la matrice de cette famille de rformes linéaires dans la base e∗= (e∗
1, . . . , e∗
n)duale de la base
canonique de Cn:
Mate∗(l1, . . . , lr) = 
1 1 . . . 1
α1α2. . . αr
α2
1α2 2. . . α2
r
.
.
..
.
..
.
.
αn−1
1αn−1 2. . . αn−1
r
On remarque alors que la matrice extraire r×rdes rpremières lignes est la matrice de Vander-
monde V(α1, . . . , αr)dont le déterminant est :
det(V(α1, . . . , αr)) = Q
1≤i<j≤r
(αj−αi)6= 0, les αiétant distincts pour i∈[[1, r]].
On en déduit donc que les rformes linéaires complexes sont indépendantes =⇒rg(Q) = r.
Conclusion : r=rg(Q) = s+tpar définition de la signature.
Etape 2 : démontrons que le nombre de racines réelles,distinctes est s−t. Comme Pest un
polynôme à coefficients réels, αracine complexe non réelle de P=⇒αégalement racine de P.
Soit ple nombre de racines réelles distinctes de P, quitte à réordonner on peut supposer que :
•α1, . . . , αpsont les racines réelles distinctes de P.
•On note alors αp+1,αp+1, αp+2, αp+2, . . . , αp+c, αp+cles racines complexes non réelles dis-
tinctes de P.
De l’étape 1, on déduit p+ 2c=rg(Q) = s+test le nombre de racines complexes distinctes de
P. La relation (∇)est en particulier vrai pour tout x∈Rnet notant lα1, . . . , lαrles restrictions
àRndes formes linéaires complexes l1, . . . , lr, on a (∗):
Q(x) = m1lα1(x)2+. . . +mrlαr(x)2=⇒Q=
p
P
k=1
mkl2
αk+
p+c
P
k=p+1
mk(l2
αk+l2 αk)où lαk=lαk.
On définit alors les formes linéaires réelles vket wkpour k∈[[p+ 1, p +c]] par :
vk=lαk+lαk
2et wk=lαk−lαk 2i
de sorte que notant (e∗
1, . . . , e∗
n)la base duale de la base canonique de Rnon a :
vk=
n−1
P
i=0
Re(αi
k)e∗
i+1 ∈(Rn)∗et wk=
n−1
P
i=0
Im(αi
k)e∗
i+1 ∈(Rn)∗.
Ainsi, pour k∈[[p+ 1, p +c]],l2
αk+lαk
2= 2(v2
k−w2 k)et
Q=
p
P
k=1
mkl2
αk+ 2
p+c
P
k=p+1
mk(v2
k−w2 k) =
p
P
k=1
mkl2
αk+ 2
p+c
P
k=p+1
mkv2
k−2
p+c
P
k=p+1
mkw2
k
Alors, (lα1, . . . , lαp, vp+1, . . . , vp+c, wp+1, . . . , wp+c)est une famille de p+ 2c=rformes linéaires
sur R,indépendantes. En effet, si ce n’était pas le cas, on pourrait exprimer une des formes
linéaires comme combinaison linéaire non triviale des autres formes linéaires et ainsi écrire Q
sous la forme :
Q=µ1g2
1+. . . +µeg2
eoù µi∈R∗, avec e≤r−1et les giindépendantes
et on en déduirait alors que rg(Q) = e≤r−1, absurde d’après l’étape 1. Ainsi, en considérant
la famille (√m1lα1,...,√mplαp,p2mp+1vp+1,...,p2mp+cwp+c)notée (g1, . . . , gp+2c)qui est
également libre, on obtient :
Q=
p+c
P
k=1
g2
k−
p+2c
P
k=p+c
g2
k=⇒p+c=set t=csoit p=s−c=s−t.
par définition de la signature d’une forme quadratique réelle.

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Details supplémentaires :
•(∗)pour x∈Rn:lαk(x) =
n−1
P
i=0
αkixi=
n−1
P
i=0
αi
kx=lαk(x)avec pour k∈[[p+ 1, p +c]],αk
racine de même multiplicité que αk.
Remarque 1. L’application Qdu théorème est bien une forme quadratique réelle, car polynôme
homogène de degré 2en les composantes x0, . . . , xn−1de x∈Rn.
Rappel 1. Le rang d’une forme quadratique est le rang de n’importe quelle matrice la repré-
sentant. Deux matrices représentant une même forme quadratique étant congruentes, elles sont
bien de même rang.
Rappel 2. Soit qune forme quadratique réelle définie sur un R-espace vectoriel de dimension
finie n. Alors il existe une base de Edans laquelle la matrice de qsoit diagonale de la forme :
Diag(1,...,1
| {z }
s
,−1,...,−1
| {z }
t
,0,...,0
| {z }
n−r
)
où rest le rang de la forme quadratique q. Le couple (s, t)est unique et ne dépend pas du choix
de la base. Il s’appelle la signature de la forme quadratique réelle q.
Rappel 3. Deux formes quadratiques réelles qet q0définies sur deux R-espaces vectoriels E, E0
de même dimension finie nsont dites équivalentes s’il existe un isomorphisme d’espace vectoriel
u:E−→ E0tel que :
∀x∈E,q0(u(x)) = q(x)
Ceci est encore équivalent à dire que les formes quadratiques qet q0sont représentées par la
même classe de congruence de matrices symétriques associées. En particulier :
•Les formes quadratiques réelles sont entièrement classifiées par la signature.
•Les formes quadratiques complexes sont entièrement classifiées par le rang.
Rappel 4. Réduction de Gauss analytique.
Soit Kun corps tel que car(K)6= 2 et Eun K-espace vectoriel de dimension finie n. Soit qune
forme quadratique définie sur E, alors il existe nformes linéaires indépendantes l1, . . . , lnqui
forment donc une base de l’espace dual E∗=L(E, K)et nscalaires λ1, . . . , λn∈Ktels que :
q=λ1l2
1+. . . +λnl2
n.
Dans la base antéduale de l1, . . . , lnie dans la base (e1, . . . , en)telle que li(ej) = δi,j on a alors :
q(x) = q(α1e1+. . . +αnen) = λ1α2
1+. . . +λnα2
n
et en particulier dans cette base, la matrice de qest diagonale de la forme Diag(λ1, . . . , λn). Le
rang de qest alors le nombre de λinon nuls.