Fonctions polynômes du second degré : forme canonique et démonstration

Fonctions polynômes
du second degré
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© Hachee Livre 2019, Barbazo 1re
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Propriétés et dénition
Toute fonction polynôme f de degré 2 de forme développée ax2 + bx + c, admet une écriture
de la forme a (x – α)2 + β, où α = – b
2a et β = f (α).
Cette écriture est la forme canonique de la fonction polynôme.
Démonstration
Pour tout x réel, ax2 + bx + c = a
(
x2 + b
a x
)
+ c
= a
(
x2 + 2 × b
2a x
)
+ c
= a
(
x2 + 2 × b
2a x + b2
(2a)2 – b2 (2a)2
)
+ c
= a
(
x + b
2a
)
2
– a × b2
(2a)2 + c
= a
(
x + b
2a
)
2
– b2 – 4ac
4a
Ainsi ax2 + bx + c = a(x – α)2 + β, α = – b
2a et β = f (α) = b2 – 4ac 4a .