Exercice A8 - XMaths

http://xmaths.free.fr/ 1èreS − Étude de fonction − Exercices page 1 / 2
Exercice A8
1°) a) f(x) = ax + b + c
x - 2 ⇔ f(x) = (ax + b)(x - 2) + c x - 2 ⇔ f(x) = ax
2
- 2ax + bx - 2b + c
x - 2
⇔ f(x) = ax
2
+ (b - 2a)x + (c - 2b)
x - 2 ⇔ x
2
x - 2 = ax
2
+ (b - 2a)x + (c - 2b)
x - 2
Pour que l'on ait f(x) = ax + b + c
x - 2 pour tout réel x de I, il suffit donc d'avoir :
a = 1
b - 2a = 0
c - 2b = 0
⇔
a = 1
b = 2a
c = 2b ⇔
a = 1
b = 2
c = 4
Pour tout réel x de I, on peut donc écrire f(x) = ax + b + c
x - 2 avec a = 1 ; b = 2 et c = 4
c'est-à-dire f(x) = x + 2 + 4
x - 2 pour tout x ∈ I .
b) f est une fonction rationnelle, sa limite en +∞ est donc égale à la limite du quotient des termes de plus
haut degré de son numérateur et de son dénominateur.
x → +∞
lim x
2
x - 2 =
x → +∞
lim x
2
x =
x → +∞
lim x = +∞ donc
x → +∞
lim f(x) = +∞ .
D'autre part :
x → 2
x
>
2
lim x
2
= 4 et
x → 2
x
>
2
lim x - 2 = 0 par valeurs positives (si x > 2 , x - 2 > 0)
On en déduit
x → 2
x
>
2
lim x
2
x - 2 = +∞ , donc
x → 2
x
>
2
lim f(x) = +∞ .
c)
x → 2
x
>
2
lim f(x) = +∞ , donc ( C
f
) a pour asymptote la droite d'équation x = 2 .
On sait que f(x) = x + 2 + 4
x - 2 , donc f(x) - (x + 2) = 4 x - 2 pour tout x ∈ I .
x → +∞
lim x - 2 = +∞, donc
x → +∞
lim 4
x - 2 = 0 , donc
x → +∞
lim f(x) - (x + 2) = 0 .
On en déduit que :
( C
f
) a pour asymptote oblique la droite d'équation y = x + 2 quand x tend vers +∞ .
d) f est une fonction rationnelle, elle est dérivable sur I.
f(x) = x + 2 + 4
x - 2 donc f'(x) = 1 - 4
(x - 2)
2
= (x - 2)
2
- 4
(x - 2)
2
= (x - 2 - 2)(x - 2 + 2)
(x - 2)
2
donc f'(x) = x(x - 4)
(x - 2)
2
pour tout x de I .
Pour x ∈ I on a x > 0 et (x - 2)
2
> 0 , donc f'(x) est du signe de (x - 4) .
On peut alors dresser le tableau de variation de f sur l'intervalle I.
On a
f(4) = 4
2
4 - 2 = 16
2 = 8
e) La fonction f étant décroissante sur ]2 ; 4[ et croissante sur ]4 ; +∞[ , on en déduit que :
f admet un minimum qui est f(4) = 8 .
x 2 4 +∞
f'(x) - 0 + 0
+∞
+∞
f
8

http://xmaths.free.fr/ 1èreS − Étude de fonction − Exercices page 2 / 2
2°) a) Le cône contenant la sphère, la hauteur h du cône
est supérieure au diamètre de la sphère.
On a donc h > 2 .
b) Dans le triangle AIO, rectangle en I, on peut écrire :
tan OAI = OI
AI
Dans le triangle AHJ, rectangle en H, on peut écrire
tan HAJ = HJ
AH
On a OAI = HAJ , donc OI
AI = HJ AH .
OI est le rayon de la sphère, donc OI = 1
HJ est le rayon du cône , donc HJ = r
AH est la hauteur du cône, donc AH = h
Dans le triangle AIO, rectangle en I le théorème de
Pythagore permet d'écrire :
AI
2
+ OI
2
= AO
2
On a OI = 1 et AO = AH - OH = h - 1
Donc AI
2
= AO
2
- OI
2
= (h - 1)
2
- 1
2
= h
2
- 2h + 1 - 1 = h
2
- 2h.
L'égalité OI
AI = HJ AH s'écrit alors 1
h
2
- 2h
= r
h donc r = h
h
2
- 2h
On en déduit r
2
= h
2
h
2
- 2h = h
x h
h(h - 2) donc r
2
= h
h - 2 .
c) L'aire de la base du cône C est B = π r
2
.
Donc le volume du cône C est V(h) = 1
3 h
x π r
2
= 1
3 h
x π x h
h - 2 = π
3
x h
2
h - 2
On a donc V(h) = π
3
x h
2
h - 2 .
d) On peut écrire V(h) = π
3
x f(h) où f est la fonction de la première question.
π
3 étant un réel strictement positif, on déduit du 1°) que V(h) est minimal lorsque h = 4 .