Travaux dirigés sur les suites - Exercices de mathématiques

Travaux dirigés sur les suites
Exercice 1
On considère la suite définie par u0=−3 et
∀n∈N,un+1=3+un
2.
1. Montrer que un≤3,∀∈N. En déduire que (un) est majorée.
2. Montrer que la suite (un) est croissante. (on pourrait évaluer le signe de un+1−un)
3. En déduire que (un) est convergente et admet une limite l.
4. On veut déterminer dans cette question la valeur de la limite lde la suite. Pour cela, on pose
vn=un=−3.
(a) Montrer que (un) est une suite géométrique. Préciser la raison et le premier terme de
cette suite.
(b) Exprimer vnen fonction de n. En déduire unen fonction de n.
(c) En déduire la limite de (un).
Exercice 2
Soit u0≤u1, deux réels fixés tels que u0=2
3et u1=1. On souhaite étudier la suite (un) définie par :
∀n∈N,un+2=1
2(un+1+un).
1. Première méthode : on pose vn=un+1−un. Montrer que cette suite (vn) est géométrique.
En déduire une expression de unen fonction de n.
2. Deuxième méthode : on pose wn=un+1+1
2un. Montrer que cette suite (wn) est constante.
Retrouver l’expression de unen fonction de n.
3. Troisième méthode : utiliser la méthode de l’équation caractéristique pour retrouver l’ex-
pression de unen fonction de n.
Exercice 3
Soient 0 <a<b, (un)n∈Net (vn)n∈Ndéfinie par u0=a,v0=bet
un+1=2
1
un+1 vn
(moyenne harmonique),
vn+1=un+vn
2(moyenne arithmétique).
Le but de cet exercice est de montrer que (un)n∈Net (vn)n∈Nsont deux suites adjacentes, de limite
pab.
1. Montrer, par récurrence que un>0 et vn>0, pour tout n∈N.
2. Montrer que un−vn≤0, pour tout n∈Net en déduire que (vn)n∈Nest décroissante.
3. Montrer que (un)n∈Nest croissante.
4. Vérifier, par récurrence que
0≤|un−vn|≤ b−a
2n,
et en déduire que (un)n∈Net (vn)n∈Nsont adjacentes.
5. Montrer qu’elles convergent vers pab.
6. Donner une valeur approchée de p2 à 10−4près.
Exercice 4
Soient aet bdeux réels non nuls tels a+b̸=0.
On pose u1=a+bet pour n≥1,un+1=a+b−ab
un.
1

1. on suppose que a=b.
(a) Calculer u1,u2, et u3en fonction de a.
(b) En déduire la forme générale de unen fonction de n.
(c) Quelle est la limite de la suite (un)?
2. On suppose que a̸=b.
(a) Montrer par récurrence que, pour n≥1, on a un=an+1−bn+1
an−bn.
(b) Si a<b, écrire unen fonction de a
bet n. En déduire limite de la suite (un).
(c) Procéder de la même manière lorsque a>b.
Exercice 5
On considère la suite (Un)n∈Ndéfinie par :
(U0>0
Un+1=ln(1+Un); ∀n∈N.
1. Montrer que : 0 <Un;∀n∈N.
2. On pose f(x)=ln(1+x)−x. Étudier les variations de fsur ]0,+∞[ et préciser son signe sur
]0,+∞[.
3. En déduire la monotonie de (Un)n∈N.
4. En déduire que (Un)n∈Nest convergente puis calculer sa limite.
2