
Correction du problème –
Partie I – Étude des polynômes Pn
1. Étude des racines de Pnet de ses dérivées
(a) Le polynôme Pns’écrit Pn= (X−1)n(X+ 1)n, ainsi, Pnadmet deux racines 1et −1, chacune de
multiplicité n.
(b) Par conséquent, d’après la caractérisation de l’ordre de multiplicité d’une racine par les dérivées, on en
déduit que pour tout j∈[[0, n −1]],P(j)
n(1) = P(j)
n(−1) = 0.
(c) On utilise le théorème de Rolle dont on rappelle ci-dessous l’énoncé :
Soit fune fonction continue sur un intervalle [a, b], dérivable sur ]a, b[, et telle que f(a) = f(b). Alors il
existe c∈]a, b[tel que f′(c) = 0.
Ici, la fonction polynomiale Pnest continue sur [−1,1], dérivable sur ]−1,1[, et Pn(−1) = Pn(1) = 0,
d’après la question précédente. Ainsi, d’après le théorème de Rolle, il existe c∈]−1,1[ tel que P′
n(c) = 0.
(d) Soit, pour tout jdans [[1, n]], la propriété P(j):P(j)
nadmet au moins jracines dans ]−1,1[
La propriété P(1) est vraie d’après la question précédente.
Soit j∈[[1, n −1]] tel que P(j)soit vraie. Alors P(j)
nadmet jracines au moins dans ]−1,1[, que l’on
note r1,...,rj, tel que r1<···< rj. Posons r0=−1et rj+1 = 1. Alors on a r0< r1<···< rj+1,
et P(j)(r0) = ··· =P(j)(rj+1) = 0, d’après l’hypothèse de récurrence et la question I-1(b). Ainsi, en
appliquant le théorème de Rolle sur chaque intervalle [ri, ri+1],i∈[[0, j]], à la fonction polynomiale
P(j)
nqui est continue sur cet intervalle, dérivable sur l’intervalle ouvert, on en déduit l’existence de
si∈]ri, ri+1[tel que P(j+1)(si) = 0.
Or, −1 = r0< s0< r1< s1···< rj< sj< rj+1 = 1, donc −1< s0< s1<···< sj<1. Ainsi, les
racines side P(j+1)
nsont deux à deux distinctes, donc au nombre de j+ 1, et sont toutes dans ]−1,1[,
d’où P(j+ 1).
Par conséquent, P(1) est vraie, et pour tout jdans [[1, n −1]],P(j)entraîne P(j+ 1). D’après le principe
de récurrence, P(j)est vraie pour tout jdans [[1, n]].
(e) En particulier, pour j=nqui est bien dans [[1, n]], on obtient que P(n)
nadmet au moins nracines dans
]−1,1[.
Or, Pnest de degré 2n, donc, après ndérivations, P(n)
nest de degré 2n−n=n. Par conséquent, Pn
admet au plus nracines réelles (et exactement nracines complexes) comptées avec multiplicité. Ainsi,
comme on a déjà nracines distinctes dans ]−1,1[, ce sont les seules, et elles sont simples.
Vous remarquerez qu’il s’agit des seules racines réelles, mais aussi des seules racines dans C.
Ainsi, P(n)
nadmet exactement nracines (réelles) deux à deux distinctes, de multiplicité 1, et ces racines
sont dans ]−1,1[.
2. Calcul d’une intégrale auxiliaire
(a) Soit (p, q)∈N×N∗. On pose les fonctions uet vde classe C1sur [−1,1] (car polynomiales) telles que
pour tout t∈[−1,1],
u′(t) = (t−1)p
u(t) = 1
p+1 (t−1)p+1 et v(t) = (t+ 1)q
v′(t) = q(t+ 1)q−1
1
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Prof. Mamouni
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