Analyse Numérique Non Linéaire : Cours L3 Mathématiques

Analyse numérique non linéaire
Fabien Priziac
Licence 3 Spécialité Mathématiques, année universitaire 2021-2022

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Table des matières
1 Equations non linéaires 5
1.1 Introduction...................................... 5
1.2 Méthodededichotomie ............................... 6
1.3 Méthodedupointfixe ................................ 8
1.4 MéthodedeNewton ................................. 11
2 Interpolation polynomiale 15
2.1 Introduction...................................... 15
2.2 MéthodedeHorner.................................. 15
2.3 Interpolation polynomiale et méthode de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.4 MéthodedeNewton ................................. 18
2.5 Erreurd’interpolation ................................ 22
3 Méthode des moindres carrés 33
3.1 Introduction...................................... 33
3.2 Approximation au sens des moindres carrés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.3 Calcul de la solution au problème des moindres carrés . . . . . . . . . . . . . . 35
4 Intégration numérique 39
4.1 Introduction...................................... 39
4.2 Formulesdequadrature ............................... 39
4.3 Méthodescomposées................................. 43
4.4 Méthodes composées de Newton-Cotes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.5 Estimation de l’erreur d’intégration numérique et noyau de Peano . . . . . . . . 54
5 Résolution numérique des EDO d’ordre 161
5.1 Introduction...................................... 61
5.2 Méthode de résolution numérique à un pas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
5.3 Consistance, stabilité et convergence des méthodes à un pas . . . . . . . . . . . 66
5.4 Méthodes de Runge-Kutta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
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4TABLE DES MATIÈRES

Chapitre 1
Equations non linéaires
1.1 Introduction
Soient Iun intervalle de Ret f:IÑRsur fonction sur I. On souhaite résoudre numéri-
quement l’équation
pEqfpxq “ 0, x PI,
i.e. déterminer une approximation suffisamment proche pour une (chaque si possible) solution
de pEq.
Plus précisément, pour une erreur d’approximation tolérée de ϵPs0,`8r, si xPIest une
solution de pEq, on souhaite être capable de construire un nombre x0PItel que
•|x´x0| ď ϵ,
•|fpx0q| ď r ϵ,
où r ϵest un autre paramètre d’erreur : on souhaite que l’approximation considérée de la solution
xsoit “presque une solution” de pEq.
Une démarche classique consiste à construire à l’aide d’un algorithme une suite pxnqnPN
de nombres de Iconvergeant vers une solution xde pEq. On représente alors la “vitesse” de
convergence de la suite pxnqnPNvers xpar la notion d’ordre de convergence :
Définition 1.1.1. Soit kPs1,`8r. On dit que la convergence de la suite pxnqnPNvers xest
•linéaire (ou d’ordre 1) s’il existe CP r0; 1r,NPNzt0utels que, pour tout entier naturel
nau moins égal à N,|xn`1´x| ď C|xn´x|,
•d’ordre ks’il existe CP r0; `8r,NPNzt0utels que, pour tout entier naturel nau moins
égal à N,|xn`1´x| ď C|xn´x|k.
Remarque 1.1.2.•Une convergence d’ordre 2est également appelée convergence quadratique.
•Si la convergence de la suite pxnqnPNvers xest d’ordre kPs1,`8r, alors, avec les notations
ci-dessus, si NPN, on a, pour pPNzt0u,
|xN`p´x| ď C1`k`¨¨¨`kp´1|xN´x|kp
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