Espaces probabilisés : Cours PSI

PSI Espaces probabilisé
Plan
1Ensemble fini- démembrement 1
1.1 Ensemble fini- Cardinale ......... 1
1.2 Cardinal de la réunion ........... 3
1.3 Cardinal du produit cartésien ...... 4
1.4 Nombre d’applications - Choix successif
avec répétition ............... 4
1.5 Nombre d’application injective - Arran-
gements ................... 5
1.6 Nombre d’application bijectives - Permu-
tation .................... 6
1.7 Nombre de parties - Combinaison .... 7
2Ensemble dénombrable 9
3Expérience aléatoire - evenement 10
3.1 Rappels : Union et intersection ..... 10
3.2 Expérience aléatoire ........... 11
3.3 Tribu sur un Univers Ω.......... 12
3.4 Evénements ................. 13
4Probabilité sur un espace probabilisable 14
4.1 Définition d’une probabilité et propriété
de base .................... 15
4.2 Continuité croissante - Continuité dé-
croissante .................. 16
4.3 Sous additivité ............... 17
5Espace probabilisé fini - Équiprobabilité 18
6Espace probabilisé dénombrable 19
7Conditionnement 22
7.1 Probabilité conditionnelle ......... 22
7.2 Formule des probabilités composées . . 23
7.3 Système complet d’événements ..... 24
7.4 Formule de probabilité totale ....... 25
7.5 Formule de Bayes ............. 26
8Indépendance 27
8.1 Indépendance de deux événements . . . 27
8.2 Indépendance d’une famille d’événements 29
∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗
Dans ce chapitre :
•Ωest un ensemble non vide , il désigne en générale l’univers d’une expérience aléatoire.
•Si Aest une partie de Ωon note Ale complémentaire de Adans Ω. C’est à dire A=Ω\A.
1Ensemble fini- démembrement
1.1 Ensemble fini- Cardinale
Définition 1.1. (Ensemble fini).
Un ensemble non vide est fini s’il existe un entier n∈N∗tel que Eest en bijection avec [[1,n]] .
Dans ce cas l ’ entier nest unique , on l’appelle cardinale de Eet on le note
Card(E) ou |E|
Par convention l’ensemble vide est fini de cardinale 0.
Un enensemble qui n’est pas fini est dit ensemble infini.
Exemples 1.1. 1. E={rouge,noir}est en bijection avec {1,2}et donc est de cardinal 2.
2. Nn’est pas un ensemble fini il est donc infini.
3. Si ,p,q∈Ntels que ,p≤qalors , Card [[p,q]] =q−p+1
Remarque 1.1. Si Eest fini de cardinal n≥1 et ϕ[[1,n]] →Eune application bijective , on note
pour k∈[[1,n]] xk=ϕ(k) ce qui permet d’écrire Esous la forme ensembliste
E={x1,x2,..., xn}
où les xksont deux à deux distincts
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Proposition 1.1. Toute partie Ad’un ensemble fini Eest fini et on a Card(A)≤Card(E) avec
égalité si et seulement si A=E
Proposition 1.2. Soit E,Fdeux ensembles finis et f:E→Fune application.
1. Si fest bijective alors Card E=Card F.
2. Si fest injective alors Card E≤Card F.
3. Si fest surjective alors Card E≥Card F.
Preuve :
1. Soient φ:[[1,n]] →Ebijective avec n=Card(E) alors f◦φest une bijection de [[1,n]] dans Fpar suite
Card(F)=Card(E)=n.
2. Supposons finjective. Notons F0=f(E)⊂Falors la restriction f1:E→F0(définie par f1(x)=f(x)) est une
bijection. Donc d’après (1) on a Card F0=Card E. Or F0⊂F, ainsi Card E=Card F0≤Card F.
3. Supposons fsurjective. Pour tout élément y∈F, il existe au moins un élément xde Etel que y=f(x) et
donc Card E≥Card F.
Corollaire 1.1. (principe des tiroirs).
Si l’on range dans ktiroirs, n>kpaires de chaussettes alors il existe (au moins) un tiroir conte-
nant (au moins) deux paires de chaussettes.
Proposition 1.3. Soient Eet Fdeux ensembles finis et Aune partie de Eet soit fune ap-
plication de Edans FAlors : f(A) est fini et Card(f(A)) ≤Card(A) avec égalité lorsque fest
injective
Preuve : L’application f1:A→f(A) définie par f1(x)=f(x) est surjective donc Card(f(A)) ≤Card(A).
Si de plus fest injective alors f1est bijective donc Card( f(A)) =Card(A).
Théorème 1.1. Soient Eet Fdeux ensembles finis tels que Card(E)=Card(F) et soit fune
application de Edans Falors
finjective ⇐⇒ fsurjective ⇐⇒ fbijective
Preuve : Le schéma de la preuve est le suivant : nous allons montrer successivement les implications :
(i)=⇒ (ii)=⇒ (iii)=⇒ (i)
ce qui prouvera bien toutes les équivalences.
— (i)=⇒ (ii). Supposons finjective. Alors Card f(E)=Card E=Card F. Ainsi f(E) est un sous-ensemble de F
ayant le même cardinal que F; cela entraîne f(E)=Fet donc fest surjective.
— (ii)=⇒ (iii). Supposons fsurjective. Pour montrer que fest bijective, il reste à montrer que fest injective.
Raisonnons par l’absurde et supposons fnon injective. Alors Card f(E)<Card E(car au moins 2 éléments
ont la même image). Or f(E)=Fcar fsurjective, donc Card F<Card E. C’est une contradiction, donc fdoit
être injective et ainsi fest bijective.
— (iii)=⇒ (i). C’est clair : une fonction bijective est en particulier injective.
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1.2 Cardinal de la réunion
Proposition 1.4. Soit Eet Fdeux ensembles finis tels que E∩F=∅. Alors
Card(E∪F)=CardE+CardF
Preuve : Si E=∅ou F=∅, c’est trivial. Supposons que (E,F)6= (∅,∅), soit n=CardE,p=CardF,ϕ:
[[1,n]] −→ Ebijective et ψ:[[1,p]] −→ Fbijective. Alors :
f:[[1,n+p]] −→ E∪F
k7−→ (ϕ(k)si 1 ÉkÉn
ψ(k−n)si n+1ÉkÉn+p
—fest bien définie.
—fest surjective : soit x∈E∪F.
— Si x∈E,∃k∈[[1,n]]/x=ϕ(k)=f(k).
— Si x∈F,∃l∈[[1,p]]/x=ψ(l)=f(n+l).
—fest injective : soient k,l∈[[1,n+p]] avec k<l.Montrons que f(k)6= f(l).
— Si 1 Ék<lÉn, on a f(k)=ϕ(k)6= ϕ(l)=f(l)car ϕest injective.
— Si n+1Ék<lÉn,f(k)=ψ(k−n)6= ψ(l+n)=f(l)car ψest injective.
— Si k<n<l, on ne peut pas avoir ϕ(k)=ψ(l)car ϕ(k)∈Eet ψ(l)∈Fet E∩F=∅.
Corollaire 1.2. 1. Soit n∈N∗et E1,E2,...,Endes ensembles finis tels que Ei∩Ej=∅pour
i6= j. Alors
n
G
i=1
Eiest fini et
Card
n
G
i=1
Ei=
n
X
i=i
CardEi
En particulier si (E1,E2, .. ., En) est une partition d’un ensemble Ealors
CardE=
n
X
i=i
CardEi
2. Soit Eun ensemble fini et A⊂E. Alors on a
Card(E\A)=CardE−CardA
Preuve :
1. •Par récurrence sur n
•En particulier , si A1,A2,. . ., Ansont des parties de Etelles que Ai∩Aj=∅pour i6= jet E=
n
[
i=1
Ai, alors
CardE=
n
X
k=1
CardAk
2. Aet E\Asont des parties de Edonc sont finies et on a E=E∪(E\A)et A∩(E\A)=∅d’où CardE=
CardA+CardE\A.
Proposition 1.5. Soient Aet Bdes ensembles finis.Alors
Card(A∪B)=Card(A)+Card(B)−Card(A∩B)
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Preuve :
La preuve utilise la décomposition
A∪B=A∪¡B\(A∩B)¢
Les ensembles Aet B\(A∩B) sont disjoints, donc
Card(A∪B)=Card A+Card¡B\(A∩B)¢=Card A+Card B−Card(A∩B)
par la proposition 1.4, puis le corollaire 1.2.
1.3 Cardinal du produit cartésien
Proposition 1.6. Si Eet Fsont finis
Card(E×F)=Card(E)×Card(F)
Remarque 1.2. Plus généralement on montre par récurrence que si E1, ..., Epsont des ensembles
finis alors
p
Y
i=1
Eiest fini et on a
Card(
p
Y
i=1
Ei)=
p
Y
i=1
Card(Ei)
Remarque 1.3. La version combinatoire de ce résultat est connue sous le nom du principe du
produit donné par :
Si une expérience consiste à faire rchoix : C1et C2et ... et Cr
tels que chaque choix Cipeut se faire avec nifaçons, alors l’expérience peut se réaliser avec
n1×... ×nrfaçons.
Exemples 1.2. Une armoire contient 5 T-Shirt, 4 pantalons et 2 paires de chaussures. De combien
de façon peut-on s’habiller ?
Solution : Ceci revient à compter le nombre de triplet (Ti,Pj,Ck) avec (i,j,k)∈[[1,5]] ×[[1,4]] ×[[1,2]]. On a donc
5×4×2 possibilités
1.4 Nombre d’applications - Choix successif avec répétition
Proposition 1.7. Soit Eest de cardinal net Fde cardinal p.Le nombre d’applications différentes
de Edans Fest :
Card(F(E,F))=Card(F)Card(E)=pn
Autrement dit Card³FE´=(Card F)Card Ece qui justifie la notation FE.
Preuve : Méthode ensembliste : Posons E={a1, ..., an}une application f∈FEest entièrement détermi-
née par la donnée de (f(a1),..., f(an)) ainsi l’application
FE−→ Fn
f7−→ (f(a1),..., f(an))
est bijective donc Card³FE´=Card(Fn)=(Card F)Card E
Méthode combinatoire : Pour construire une application de Edans Fil faut :
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— Choisir f(a1) par pfaçons .
et
— Choisir f(a2) par pfaçons .
.
.
.
— Choisir f(an−1) par pfaçons .
et
— Choisir f(an) par pfaçons .
donc le nombre d’applications possible est p×p... ×p
| {z }
n f oi s
=pn
Exemple 1.1. En particulier le nombre d’applications de Edans lui-même est nn. Par exemple
si E={1,2,3,4,5}alors ce nombre est 55=3125.
Remarque 1.4. le nombre d’application s’applique dans les problèmes de choix successif de p
éléments d’un ensemble à néléments avec répétition .
Exemples 1.3. 1. Combien peut-on former de mots à 3 lettres ?
2. Une urne contient 26 boules numérotées dans l’ordre ; on en tire trois successivement en
les remettant dans l’urne après chaque tirage. Combien y a-t-il de tirages ?
Solution : Ceci revient à dénombrer le nombre d’application d’un ensemble à trois éléments vers un
ensembles à 26 éléments. Il y en a donc 263.
1.5 Nombre d’application injective - Arrangements
Théorème 1.2. Soit Eet Fdeux ensembles fini tels que Card(E)=pet Card(F)=n. Le nombre
d’injections de Edans Fest :
Ap
n=
n!
(n−p)! =n(n−1). .. (n−p+1) si p∈[[0,n]],
0 sinon.
Preuve :
— Si p>nil n’y a pas d’injection de Edans F.
— Si p≤n,supposons E={a1,a2, .. . , ap}; pour l’image de a1nous avons nchoix. Une fois ce choix fait, pour
l’image de a2il reste n−1 choix (car a2ne doit pas avoir la même image que a1). Pour l’image de a3il y a n−2
possibilités. Ainsi de suite : pour l’image de akil y a n−(k−1) choix... Il y a au final n×(n−1)×···×(n−(p−1))
applications injectives.
Définition 1.2. On appelle arrangement de péléments parmi navec p≤ntoute injec-
tion d’un ensemble à pélément vers un ensemble à néléments.
Ainsi Le nombre des arrangement de péléments parmi nest Ap
n
Remarque 1.5. Les arrangement s’utilisent dans les situations des choix successif de péléments
d’un ensemble Eànéléments sans répétition.
Exemples 1.4. 1. Une urne contient 15 boules numérotées de 1 à 15 ; on en tire trois successi-
vement (sans remise). Combien y a-t-il de tirages ?
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