Exercices : Raisonnement par récurrence et Suites Numériques

1 : Raisonnement par récurrence - Suites numériques : exercices - page 1 corrections : 
Raisonnement par récurrence
Ex 1-1  : Vrai ou faux
n
n=
n=
n=
n=
n=
n=
n=
n=
n
n=
n=
n
!
n=
n=
n
"
n=
n=
n
Ex 1-2  :
#$%%&
n
∑
k=1
n
( 2k−1 ) =n2
Ex 1-3  :
f
'%'(&
x∈(
f ( x ) ∈(
(
un
)
'
uo∈(
&
n
un+=f
(
un
)
#$%%&
n
un∈(

1 : Raisonnement par récurrence - Suites numériques : exercices - page 2 corrections : 
)&
f
%(#%
uo
u
(
un
)
*+
(
un
)
&
f
%(,
Comportement global d'une suite
Ex 1-4  : Vrai ou faux
-.%%
-/'%%
(
un
)
%
u⩾u⩾u⩾u⩾u
u⩾u⩾u⩾u⩾u
(
un
)
%
(
un
)
%
(
un
)
$
n
<un⩽
0
(
un
)
$
1
(
un
)
$
%
(
un
)
$
$.
(
un
)
(
un
)
1
'
(
un
)
$'$.
!-.$$.
"-$.2.$
3-%.$
-$.%
-%2$.
n
n+⩽un⩽n+
(
un
)
$
1
(
un
)
$.
%
(
un
)
$
(
un
)
'%
f
&
n∈ℕ
un=f
(
n
)
(
un
)
%
f
%
ℝ4
1
f
%
ℝ4
(
un
)
%
%
f
1
ℝ4
(
un
)
1
(
un
)
1
f
1
ℝ4
-%$
)$2
(
un
)
$
(
un
)
Ex 1-5  : Déterminer
un+
en fonction de
un
#%&%$'$%%
5&$$%
6$$$%%'.
5&$$07$%
un+=f
(
un
)
8
f ( x ) =x+
x+
un=!n−
un=n−

1 : Raisonnement par récurrence - Suites numériques : exercices - page 3 corrections : 
!
un=×××…×n
"
un=
n+
3
u="
u=
u=
u=!
u=
9
u=
u=
u=
u="
Ex 1-6  : Étudier la monotonie
#%&%$
(
un
)
u=
un+=un+n:−n+
un=n×
( )
n
un=++ …+n
u=
un+=un−n
un=×××…×n
un=n:
n
!
un=n−n+ n
;<0'%

1 : Raisonnement par récurrence - Suites numériques : exercices - page 4 corrections : 
"
un=n:−
n+
;<0'%
Ex 1-7  : Suites bornées
#%%%&$$.1
un=
( )
n
−
un=
( − )
n
+
un=n:
n+
un=− ( n )
un=n
−
un=−
√
−
n
;
n>
!
un=
(
−
n
)(
−
n
)
;
n>

1 : Raisonnement par récurrence - Suites numériques : exercices - page 5 corrections : 
"
un=+ n
− n
Limites de suites  : les différents cas possibles
Ex 1-8  : Vrai ou faux
2
]
 333= 
[
%$
(
un
)
2%
$
n→+∞
un=
%
L
%
un
2%
(
un
)
%6
'$
]
< =+∞
[
8
<∈ℝ
%$
$
un
%
n⩾
(
un
)
4
∞
'$
]
−∞= >
[
8
>∈ℝ
%
$
(
un
)
?%
(
un
)
−∞
(
un
)
$1'
(
un
)
%
-$
!%$4
∞
+
∞
Ex 1-9  : Logique
;@00A0&
−∞
$.0B
;@+0,
16%&;@+0,
;@00A0&4
∞
2
$.0B
;@+0,
16%&;@+0,
Ex 1-10  : Suite positive à partir d'un certain rang
C&&%%$
2%
Opérations sur les limites
Ex 1-11  : Utiliser les opérations sur les limites
D%&%%%
(
un
)
1 )
un=−n+
n
2 )
un=−n
√
3 )
un =
(
2+3
n
)
(
5−1
n3
)