Estimation ponctuelle 24-25

M1-HAX710X Année : 2024-2025
Estimation Ponctuelle
Ludovic Menneteau
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1 Généralités
Problématique 1 On considère une v.a. X: (;A;P)!(X;B)de loi PX
inconnue. On suppose que PXappartient à une famille de loi (P)2indexée
par un ensemble et entièrement spéci…ée, i.e. qu’il existe v2(v:vrai)
tel que PX=Pv:Notre objectif est d’étudier des procédures permettant à partir
de X; d’obtenir de l’information sur PXen estimant v(ou une fonction de v).
Comme vpeut prendre n’importe quelle valeur dans ;les procédures d’estimations
devront être évaluées uniformément en :
Dé…nition 2 On dit que X;B;(P)2est un modèle statistique si (X;B)
est un espace mesurable (i.e. Xest un ensemble, Best une tribu sur X) et
(P)2est une famille de probabilités sur (X;B)indéxée par un ensemble 
(appelé ensemble des paramètres du modèle).
Si X: (;A;P)!(X;B)est une v.a. telle que PXappartient à (P)2(i.e.
s’il existe v2, tel que PX=Pv), on dira que Xest associée au modèle
statistique X;B;(P)2:
Dé…nition 3 Soient X;B;(P)2un modèle statistique et (Y;D), un espace
mesurable.
1. On appelle statistique à valeurs dans (Y;D)toute fonction mesurable
s:X ! Y ne dépendant pas de :
2. Soit ':  !'() une fonction telle que '()  Y:Une statistique
b':X ! Y est appelée un estimateur de ('())2si on veut utiliser b'
pour estimer '(v)quelque soit la valeur de vdans :
Notations 4 Soit X;B;(P)2un modèle statistique.
1. Pour p1;on dit que h2 Lp(P)2si h2 Lp(P)pour tout 2:
2. Soient h:X ! Ret 2:
(a) Si h2 L1(P), on dé…nit :
E(h) := ZX h dP:
(b) Si h2 L2(P), on dé…nit :
V(h):=E(hE(h))2:
(c) Si get h2 L2(P), on dé…nit :
Cov(g; h) := E((gE(g)) (hE(h))) :
3. Soient X: (;A;P)!(X;B)une v.a. associée au modèle statistique
X;B;(P)2et 2:
2

(a) Si h2 L1(P), et si on suppose que v=; alors l’espérance de
h(X) : E(h(X)) := Rh(X)dPsera notée E(h(X)).
(b) Si h2 L2(P), et si on suppose que v=; alors la variance de
h(X) : V(h(X)) := E(h(X)) E(h(X))2sera notée V(h(X)).
(c) Si get h2 L2(P), et si on suppose que v=; alors la covariance
de g(X)et h(X) :
Cov (g(X); h (X)) := E((g(X)) E(g(X)) (h(X)) E(h(X)))
sera notée Cov(g(X); h (X)).
4. NB : Par le Théorème de transfert, il est clair que :
E(h(X)) = E(h);V(h(X)) = V(h) et Cov(g(X); h (X)) = Cov(g; h):
Dé…nition 5 Soit X;B;(P)2un modèle statistique.
Pour n1;le modèle produit
X;B;(P)2n:= Xn;Bn;Pn
2
est appelé modèle d’échantillonage (d’ordre n) associé à X;B;(P)2:
Rappels 6 Soient (X;B)est un espace mesurable et et deux mesures -
…nies sur (X;B):
1. On dit que est absolument continue par rapport à et on note
si l’une des deux conditions équivalentes (par le Théorème de Radon
Nycodym) suivantes est véri…ée :
i) [N2 B et (N) = 0] )[(N) = 0] :
ii) Il existe f:X ! R+mesurable telle que =f:; i.e. pour tout B2 B :
(B) = ZX 1B(x)f(x)d (x):
On dit que fest une densité de par rapport à :
2. En général, fn’est pas unique puisque toutes autre fonction mesurable
positive pp égale à fconvient aussi. On note parfois d
d la classe
d’équivalence des densités de par rapport à ; on écrira f2d
d pour dire
que fest une densité de par rapport à :
3. Si et les mesures sont dites équivalentes et on note .
Il est facile de voir que cela revient à dire que d
d contient une version f
strictement positive (et qu’alors 1
fest une version de d d ).
3

Dé…nition 7 Soit X;B;(P)2un modèle statistique.
1. On dit que le modèle est dominé s’il existe une mesure -…nie sur
(X;B)telle que ;82 : P:
est appelée une mesure dominante du modèle.
Pour 2, on note fune version de la densité dP
d et on appelle fonc-
tion de vraisemblance du modèle par rapport à la mesure dominante
la fonction :
f: (x; )2 X  7! f(x)2R+:
2. On dit que le modèle est homogène si toutes les mesures Psont équivalentes:
Remarques 8 1) Comme les f,fdépend non seulement du modèle mais aussi
de : De plus, comme les densités, la fonction de vraisemblance n’est pas unique
en tant que fonction puisque si gest une fonction dé…nie sur X  telle que
pour tout 2; g (:; ) = f(:; )p:p: (en x);alors gest aussi une fonction
de vraisemblance du modèle par rapport à (fet gsont deux versions de la
même vraisemblance). Dans la suite, lorsque l’on écrit soit fla vraisemblance
(resp. la densité), il faut comprendre "une version de la vraisemblance (resp. la
densité)".
2) Sans perte de généralité, on peut supposer (si besoin) que est une probabil-
ité. En e¤et, comme est -…nie, on peut trouver fAk:k2Kgune partition
mesurable de Xtelle que Kest dénombrable et 8k2K;  (Ak)2]0;1[:
Il est facile de voir que, si (pk)k2Kest une famille de réels strictement positifs
telle que Pk2Kpk= 1;la mesure
:B2 B 7! X
k2K
pk
(Ak\B)
(Ak)
est une probabilité équivalente à et peut donc être choisie comme une mesure
dominante du modèle.
Proposition 9 Soit X;B;(P)2un modèle statistique dominé par une mesure
: Alors, pour tout n1;le modèle statistique d’échantillonage X;B;(P)2n
est dominé par n:De plus si, pour 2; P=falors Pn
=f;n n
avec
f;n : (x1; :::; xn)2 Xn7! Y
1jn
f(xj):
Preuve. On suppose que P=f:.
4

Pour (B1; :::; Bn)2 Bn;
Pn
0
@Y
1jn
Bj1
A=Y
1jn
P(Bj)
=Y
1jnZBj
f(xj)d (xj)
=ZQ1jnBj0
@Y
1jn
f(xj)1
A
| {z }
:=f;n (x1;:::;xn)
dn((x1; :::; xn))
Les mesures …nies Pn
et f;n:ncoïncidant sur le système nQ1jnBj: (B1; :::; Bn)2 Bno;
elles coïncident aussi sur Bn=nQ1jnBj: (B1; :::; Bn)2 Bno:
Le résultat suivant montre que, si X;B;(P)2est un modèle dominé,
il existe des mesures dominantes particulières pouvant s’exprimer comme des
combinaisons convexes dénombrables des éléments de (P)2;ce qui aura un
intérêt pour établir certains résultats (par exemple le Théorème 21):
Théorème 10 Soit X;B;(P)2un modèle statistique dominé. Alors :
1. Il existe un sous ensemble dénombrable Ttel que :
[B2 B et 8t2T:Pt(B) = 0] =)[82 : P(B) = 0] :
2. On pose
P:= X
t2T
c(t)Pt
où (c(t))t2Test une famille de nombres strictement positifs telle que
Pt2Tc(t)=1:Alors, pour tout 2et pour toute mesure dominant
le modèle, on a :
PP;
(i.e. Pest une probabilité qui domine le modèle et est dominée par ).
Pest appelée une mesure dominante privilégiée du modèle.
(NB : Pest un suprémum de (P)2pour le semi ordre partiel induit
par sur l’espace des mesures -…nies sur (X;B)):
Preuve. 1) a) Construction de l’ensemble T:
Soit 0une mesure dominante du modèle. Sans perte de généralités (c.f. la
Remarque 8-2) , on peut supposer que 0est une probabilité (une mesure bornée
su¢ rait pour l’argument que l’on va développer). Pour tout 2, on considère
fune densité de Ppar rapport à 0. Soit
C0=fff>0g:2g
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