Cours Maths 04 - Faculté de Technologie

Maths 4: Probabilité et Statistiques
(2010/2011)
Zendagui
Dr Djawad ZENDAGUI
Maths 4 : Probabilités et Statistiques
Maître de conférences
Département de Génie Civil - Faculté des Sciences de l’IngénieurUniversité Aboubekr Belkaid Tlemcen
BP 230 (13000)
Tel/Fax : 043 28 56 85
Email : [email protected]
Sciences et Technologie
2ème année
Semestriel
UEM3 Méthodologie
Dr Djawad ZENDAGUI
45 heures
1h30 /semaine Cours
1h30 /semaine TD
4
Intitulé du domaine
Année
Annuel ou semestriel
Unité d’enseignement
Chargé du module
Volume horaire global
Nombre de crédits
Docteur d’Etat en Génie Civil
Certificate of Graduate Studies in
Engineering and Construction
Management
Magister en Génie Civil
(2*EMD+CC)/3
Notation
EMD= Epreuve de moyenne durée
CC= Contrôle continu=N1+N2+N3+N4+N5
•N1, N2 et N3: Notes de 03 interrogations
écrites de 10min max sur 04 points chacun
•N4: Note de présence sur 04 points
•N5: Note d’assiduité sur 04 points
Ingénieur d'Etat en Travaux Publics
Ecole Nationale Polytechnique
d’Alger (ENP)
Université Missouri Rolla
(UMR)
Juillet
2006
Juin
2003
Ecole Nationale Polytechnique
d’Alger (ENP)
Ecole Nationale des Travaux
Publics d’Alger (ENTP)
Juillet
1996
Juin
1992
Algérie
USA
Algérie
Algérie
1
Objectifs du cours
2
Partie A
Introduction générale et organisation du cours
Partie B
Traitement statistique de l’information
Le cours a pour but d’initier les étudiants
aux principes de base de la probabilité et statistique.
Chapitre1
Chapitre2 à Chapitre 5
Partie C
Traitement probabiliste de l’information
l information
Chapitre6 à Chapitre 9
Support pédagogique
Il est mis à la disposition des étudiants un support pédagogique
sur papier du cours et des Travaux Dirigés (TD).
Plateforme Elearn de l’université (elearn.univ-tlemcen.dz).
4
3
Maths 4: Probabilité et Statistiques
(2008/2009)
Zendagui
Chapitre 1:
Introduction générale et organisation du cours
L’incertain est-il notre quotidien????
Chapitre 1
Introduction g
générale et organisation
g
du cours
Ce qui est sûr, c’est que rien n’est sûr
5
6
1
Chapitre 1:
Introduction générale et organisation du cours
Chapitre 1:
Probabilité et Statistiques :
Introduction générale et organisation du cours
La conception d’un système donné nécessite trois étapes :
Outils au service de l’engineering
1. La compréhension du système : quelle est sa
fonction
Place du cours dans votre futur métier
2 La modélisation du système : quel est le modèle à
2.
développer pour décrire ce système avec
l’identification de l’input et l’output de ce modèle
- Analyse des données
- Prédictions
- Simulations (processus stochastiques)
- Décisions (probabilités d’occurrence et risque)
-…
3. Le recours aux données : l’utilisation de données
nécessaires pour l’utilisation du modèle. Ces
données sont l’input du modèle.
7
Chapitre 1:
Introduction générale et organisation du cours
8
Chapitre 1:
Introduction générale et organisation du cours
Etape 2
Considérons un exemple très simple……
Essayons maintenant de voir comment modéliser ce ressort.
L’input du modèle est:
•La force agissante, dans notre cas F
•Le ou les caractéristiques
q
du ressort, dans notre cas K
•L’output du modèle est par exemple la déformation du
ressort, dans notre cas X.
Une relation toute simple a été mise en place
(modèle mathématique).
Etape 1
Nul besoin de montrer le fonctionnement d’un ressort
dans un système mécanique (suspension de
voiture,…)
Chapitre 1:
F = K .X
X=
9
Introduction générale et organisation du cours
Chapitre 1:
F
K
10
Introduction générale et organisation du cours
Pourquoi ?
Etape 3
Donc en se basant sur ce modèle mathématique, il est
possible de connaître la déformation du ressort
connaissant F et K
1. Le premier problème qui se pose est tout
d’abord: Est ce que le modèle mis en place
est "exact" ?
En fait
fait, il est possible de dire que la connaissance de
l’output (Déformation du ressort) est acquise.
2. Le deuxième problème auquel on est
confronté est la validité de l’information de
l’Input. En d’autres termes peut-on dire avec
certitude dire que les valeurs de F et K sont
exactes et connues
Est-ce vrai ?
NON
11
12
2
Chapitre 1:
Introduction générale et organisation du cours
Chapitre 1:
Introduction générale et organisation du cours
Un autre exemple mais celui là est dramatique
13
Un petit exemple
Chapitre 1:
Introduction générale et organisation du cours
14
Chapitre 1:
La statistique est un ensemble de méthodes
permettant:
Introduction générale et organisation du cours
Les outils de la statistique et de la
probabilité permettent de répondre
à la question suivante:
9de recueillir des données “brutes”;
9de présenter, résumer ces données;
9de tirer des conclusions sur la population
étudiée (sa structure, sa composition), d’aider à
la prise de décision; en présence de données
dépendant du temps, de faire de la prévision.
Comment déterminer la valeur de
l’Output si l’Input et/ou le modèle
mathématique du phénomène étudié ne
sont pas connus
15
Maths 4: Probabilité et Statistiques
(2008/2009)
Zendagui
16
Maths 4: Probabilité et Statistiques
(2008/2009)
Zendagui
Partie B
Traitement statistique de l’information
Fin du Chapitre 1
Chapitre 2
Introduction g
générale et organisation
g
du cours
Collecte des données
17
18
3
Chapitre 2:
Collecte des données
Chapitre 2:
Collecte des données
•Population ou unité statistique et/ou échantillon
•Individu
•Caractère
•Modalitéss
-Population:
Employés d’une usine
-Individu:
Un employé de cette usine
-Caractère:
Salaire
-Modalités:
10000DA, 20000DA, 25000DA
-Population:
Ressorts
-Individu:
Un ressort parmi ces ressort
-Caractère:
Rigidité K
-Modalités:
K ∈ [10,20] N / m
19
Chapitre 2:
Collecte des données
Chapitre 2:
Caractère
On souhaite connaitre l’état des maisons
exprimée par
des nombres
(ex: une taille)
Exprimée par
une description
naturelle du
langage (ex:
une couleur)
Collecte des données
Exemple:
Quantitatif
Qualitatif
20
Choix entre les trois types de caractère
Réel
Discret
21
Chapitre 2:
Collecte des données
22
Chapitre 2:
Collecte des données
-Population:
Maisons (100)
-Population:
Maisons (100)
-Individu:
Une maison parmi ces 100 maisons
-Individu:
Une maison parmi ces 100 maisons
-Caractère:
L’état de la maison
-Caractère:
Nombre de pièces
-Modalités:
Petite, moyenne, grande
-Modalités:
1, 2, 3, 4, 5
Caractère qualitatif
Caractère quantitatif discret
23
24
4
Chapitre 2:
Collecte des données
Chapitre 2:
-Population:
Maisons (100)
-Individu:
Une maison parmi ces 100 maisons
-Caractère:
Surface (notée S)
-Modalités:
S∈[60, 200] m²
Collecte des données
Une compagnie achète 10 000 ampoules
électriques d’un fabricant qui affirme que
ses ampoules fonctionnent durant au moins
1 000 heures (1 mois et 11 jours, sans
arrêt). Cette compagnie vérifie 15 ampoules
et, suite à ces résultats doit décider si elle
garde ou non les 10 000 ampoules.
g
p
Identifier la population, l’individu, le
caractère et les modalités
Caractère quantitatif continu
25
Chapitre 2:
Collecte des données
26
Chapitre 2:
Une compagnie achète 10 000 ampoules
électriques d’un fabricant qui affirme que
ses ampoules fonctionnent durant au moins
1 000 heures (1 mois et 11 jours, sans
arrêt). Cette compagnie vérifie 15 ampoules
et, suite à ces résultats doit décider si elle
garde ou non les 10 000 ampoules.
Population
p
:
l’ensemble des 10 000 ampoules
p
achetées.
Échantillon
:
les 15 ampoules vérifiées.
Individu
:
une ampoule parmi les 15
Caractère
:
durée de fonctionnement de l’ampoule
Modalités
:
Durée en heures
Variable statistique (VS) continue
Chapitre 2:
Population
l’ensemble des 10 000 ampoules achetées.
les 15 ampoules vérifiées.
vérifiées
Échantillon
:
Individu
:
une ampoule parmi les 15
Caractère
:
l’état de l’ampoule
la durée de fonctionnement de l’ampoule
Modalités
:
Bon ou mauvais
Durée en heures
l’ensemble des 10 000 ampoules achetées.
Échantillon
:
les 15 ampoules vérifiées.
Individu
:
une ampoule parmi les 15
C
Caractère
è
:
l’ét t de
l’état
d l’l’ampoule
l
Modalités
:
Bon ou mauvais
27
28
Chapitre 2:
Un même individu peut il avoir
plusieurs caractères????
Oui
:
:
Caractère qualitatif
Collecte des données
Population
Collecte des données
Collecte des données
Par rapport à un caractère un individu
peut il avoir plusieurs modalités????
Non
29
30
5
Chapitre 2:
Collecte des données
Chapitre 2:
Collecte des données
Les notes des étudiants
•Classification des données
8,75 6,00 3,75 11,25 11,50 7,00
11,75 8,75 16,25 12,00 10,50 15,25
12,50 4,00 16,00 7,50 9,00 11,00
5,50 9,00 9,25 0,00 8,75 10,75
15,25 11,50 10,75 5,25 11,50 9,25
10,50 11,00 4,75 13,25 11,50 12,00
9 00 9,50
9,00
9 50 13
13,25
25 15,25
15 25 8,00
8 00 12,25
12 25
14,75 15,50 10,50 10,25 13,50 9,50
6,50 1,25 14,75 16,50 11,75 5,75
6,50 2,00 14,00 13,50 11,00 10,75
6,50 7,00 8,75 7,75 16,75 11,50
•Visualisation graphique
•Quantification à l'aide de paramètres
statistiques
11,75
12,50
13,50
6,50
9,75
12,00
10 75
10,75
5,00
4,50
9,50
8,50
10,50
11,00
8,00
7,00
9,75
12,00
7 25
7,25
5,50
7,50
0,00
10,25
5,00 6,75 7,50
9,50 7,75 8,50
13,00 10,75 12,75
12,00 7,00 9,50
14,75 6,00 15,25
9,00 4,25 7,00
9 50 7,50
9,50
7 50 10,25
10 25
9,50 5,50 5,75
16,25 6,50 17,75
15,50 10,75 4,50
12,75 10,00 2,75
31
Chapitre 2:
Collecte des données
Chapitre 2:
Les notes des étudiants
8,75 6,00 3,75 11,25 11,50 7,00
11,75 8,75 16,25 12,00 10,50 15,25
12,50 4,00 16,00 7,50 9,00 11,00
5,50 9,00 9,25 0,00 8,75 10,75
15,25 11,50 10,75 5,25 11,50 9,25
10,50 11,00 4,75 13,25 11,50 12,00
9 00 9,50
9,00
9 50 13
13,25
25 15,25
15 25 8,00
8 00 12,25
12 25
14,75 15,50 10,50 10,25 13,50 9,50
6,50 1,25 14,75 16,50 11,75 5,75
6,50 2,00 14,00 13,50 11,00 10,75
6,50 7,00 8,75 7,75 16,75 11,50
Population
Individu
Caractère
Modalités
Chapitre 2:
:
:
:
:
11,75
12,50
13,50
6,50
9,75
12,00
10 75
10,75
5,00
4,50
9,50
8,50
10,50
11,00
8,00
7,00
9,75
12,00
7 25
7,25
5,50
7,50
0,00
10,25
5,00 6,75 7,50
9,50 7,75 8,50
13,00 10,75 12,75
12,00 7,00 9,50
14,75 6,00 15,25
9,00 4,25 7,00
9 50 7,50
9,50
7 50 10,25
10 25
9,50 5,50 5,75
16,25 6,50 17,75
15,50 10,75 4,50
12,75 10,00 2,75
l’ensemble des étudiants (121)
un étudiant parmi les 121.
la note de l’examen
les valeurs de la note [0,20]
32
Collecte des données
Soit P une population formée de n
individus (xi, i=1,..n).
Soit C un caractère ayant k modalités c1,
c2,…,ck . Ce caractère peut être
qualitative quantitative (discret ou
qualitative,
continu)
Remarquez que n≠k
Pourquoi????
33
Collecte des données
34
Chapitre 2:
Collecte des données
Le résultat obtenu est la série statistique
La collecte de l’information relative au
caractère C auprès de la population P
consiste
i t à observer
b
pour chaque
h
individu de P la modalité qui lui
correspond.
35
L’individu n°1 identifié par x1 présente une modalité
parmi les k modalités (avec par exemple k=10). Les
autres individus vont avoir les modalités suivantes:
x1 = c3
x2 = c10
x3 = c3
.
.
.
xn = c8
36
6
Chapitre 2:
Collecte des données
Chapitre 2:
Le traitement de cette information élémentaire
consiste à dénombrer pour chaque modalité
cj, le nombre d’individus de la population P nj
qui présentent cette modalité.
Collecte des données
Notion de fréquence
Le nombre nj est dit effectif ou fréquence
absolue de la modalité ci. Il est clair que :
j =k
n = ∑ nj
La di
L
distribution
ib i statistique
i i
est d
donc fformée
é par
les couples
(c , n )
j
j
Le nombre fj est dit fréquence de la
modalité cj.
j =k
j = 1,2,..., k
37
Chapitre 2:
Collecte des données
Quantitatif
Exprimée par
une
description
naturelle du
langage (ex:
une couleur)
j
=
n
∑f
j
j =1
n
j
=1
38
Collecte des données
Jours du mois de Janvier
Population
Climat
Caractère
Ensoleillé, pluvieux, orageux
Modalité
exprimée par
des nombres
(ex: une taille)
n=31.
k=3 modalités
c1=Ensoleillé
c2=Pluvieux
c3=Orageux
Réel
Discret
k modalités c1, c2,…,ck
Chapitre 2:
f
Chapitre 2:
Caractère ou variable statistique
Qualitatif
j =1
Remarquez que n≠k
39
Collecte des données
Chapitre 2:
41
Série statistique
Tableau statistique
40
Collecte des données
42
7
Chapitre 2:
Collecte des données
Chapitre 2:
Les 10 séismes recensés durant une année au
niveau d’une région
Population
Intensité
Caractère
Intensité I à XII
Modalité
Collecte des données
Série statistique
n=10.
k=12 modalités
c1=1
c2=2
c12=12
43
Chapitre 2:
Collecte des données
44
Chapitre 2:
Collecte des données
Les 10 séismes recensés durant une année au
niveau d’une région
Population
Magnitude de Richter
Caractère
Valeur de la Magnitude
Modalité
L valeurs
Les
l
de
d la
l magnitude
it d sontt réels
é l
n=10.
k=????
Comment construire le tableau statistique???
Tableau statistique
Chapitre 2:
45
Collecte des données
46
Chapitre 2:
Collecte des données
Série statistique
Du moment que le caractère
est quantitatif continu alors
ll’idée
idée consiste à établir des
classes et ce pour mettre en
place le tableau statistique
47
48
8
Chapitre 2:
Collecte des données
Chapitre 2:
Collecte des données
Est-ce qu’il y a un seul tableau statistique ?
NON
49
Chapitre 2:
Collecte des données
50
Chapitre 2:
Collecte des données
Donc
•Pour un pas de 1 on a 7 classes
•Pour un pas de 1.5 on a 5 classes
•Pour un pas de 3 on a 3 classes
Questions :
•Est-ce que le choix du pas a une importance dans le
traitement des données ?
•Quel pas choisir ? Cette question peut être posée
autrement
•Quel est le nombre de classes que l’on doit choisir
51
Chapitre 2:
Collecte des données
52
Chapitre 2:
Collecte des données
Soit k le nombre de classes
k = 2.54 n
3
k (Sturge)
k (Yule)-k (Sturge)
2
10 0
1
0
0
-1
0
53
Nbre classe (Yule)-Nb
bre classe (Sturge)
YULE
k = 1+ 3.3 log10 (n )
k (Yule)
Nombre de
e classes
STURGE
4
20
400
800
Nombre d'individus
1200
54
9
Chapitre 2:
Collecte des données
Maths 4: Probabilité et Statistiques
(2008/2009)
Zendagui
k = 1 + 3.3 log10 (10 ) = 4.3
Fin du Chapitre 2
k =5
Collecte des données
55
Maths 4: Probabilité et Statistiques
(2008/2009)
Zendagui
56
Chapitre 3:
Distribution statistique à un caractère
Chapitre 3
Distribution statistique à un caractère
•Classification des données
3.1 Description graphique
•Visualisation graphique
3.2 Description numérique
3.2.1 Caractéristique de tendance centrale
•Quantification à l'aide de paramètres
statistiques
3.2.2 Caractéristique de dispersion
3.3 Caractéristiques de formes
57
Chapitre 3:
Distribution statistique à un caractère
3.1
Description graphique
3.1.1
Variable quantitative continue
58
Chapitre 3:
Distribution statistique à un caractère
Histogramme
Longueur (m)
10,00
9,00
8,00
La série statistique
7,00
6,00
5,00
4,00
3,00
2,00
1,00
0,00
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Poutre
Exploitation difficile
59
60
10
Chapitre 3:
Distribution statistique à un caractère
Chapitre 3:
Distribution statistique à un caractère
Histogramme
Histogramme
12
10,00
9,00
10
8
Lo
ongueur (m)
7,00
6,00
5,00
,
4,00
6
4
3,00
2
0
1,00
1
11
21
31
41
51
61
71
81
91
101
111
121
131
141
151
161
171
181
191
201
211
221
231
241
251
261
271
281
291
301
311
321
331
341
351
361
371
381
391
401
411
421
431
441
451
461
471
481
491
501
511
521
531
541
551
561
571
581
591
2,00
Poutre
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
0,00
Avec un nombre d’individu qui avoisine les 600 individus, l’exploitation
Poutre
L’Exploitation devient plus difficile si le nombre d’individu augmente
Chapitre 3:
devient pratiquement impossible
61
Dans le présent cas de 15 à 62
62
Distribution statistique à un caractère
Chapitre 3:
k (Yule)-k (Sturge)
2
10
1
0
0
Distribution statistique à un caractère
7
6
5
4
3
2
1
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
3
k (Sturge)
Nombre
e de classes
k (Yule)
Nbre classe (Yule)-Nb
bre classe (Sturge)
4
20
Nombre de
e classes
Longu
ueur (m)
8,00
Nombre d'individu
-1
0
400
800
Nombre d'individus
1200
63
Chapitre 3:
Distribution statistique à un caractère
Établissement du tableau (ou
distribution) statistique
64
Chapitre 3:
Distribution statistique à un caractère
n = 15
k = 1 + 3.3 log10 (15)
= 4.88
k =5
Pas =
P =
Pas
Vmax = 8.9 m
Vmax − Vmin
k
8.9 − 1.5
= 1.48 m
5
Pas = 1.50 m
Vmin = 1.50 m
65
66
11
Chapitre 3:
Distribution statistique à un caractère
Chapitre 3:
Distribution statistique à un caractère
0.4
0.4
Fréquence
0.3
0.2
0.2
0.2
0.133
0.1
0.07
.
0.0
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5
4.0
4.5
5.0
5.5
X (m)
6.0
6.5
7.0
7.5
8.0
8.5
9.0
67
Chapitre 3:
Distribution statistique à un caractère
68
Chapitre 3:
Distribution statistique à un caractère
69
Chapitre 3:
Distribution statistique à un caractère
70
Chapitre 3:
71
9.5
Distribution statistique à un caractère
72
12
Chapitre 3:
Distribution statistique à un caractère
Chapitre 3:
Distribution statistique à un caractère
Fré
équence
Symétrique
Modalité
73
Chapitre 3:
Distribution statistique à un caractère
74
Chapitre 3:
Asymétrique
Distribution statistique à un caractère
Fré
équence
Fré
équence
Tendance à gauche
Modalité
Modalité
75
Chapitre 3:
Distribution statistique à un caractère
76
Chapitre 3:
Fré
équence
Fré
équence
Tendance à droite
Modalité
Distribution statistique à un caractère
Tendance unimodale
Modalité
77
78
13
Distribution statistique à un caractère
Chapitre 3:
Aplatie
Fré
équence
Fré
équence
Chapitre 3:
Modalité
Distribution statistique à un caractère
Uniforme
Modalité
79
Chapitre 3:
Distribution statistique à un caractère
80
Chapitre 3:
Quel est le nombre d’individus ayant
une valeur (modalité) inférieure à une
certaine valeur (par exemple 6)
Distribution statistique à un caractère
Il suffit pour cela de sommer le nombre de séismes
dont la magnitude est inférieure à 6.
Ce nombre divisé p
par le nombre d’individus de la
population s’appelle Fréquence cumulée.
Fonction cumulative
81
Chapitre 3:
Distribution statistique à un caractère
82
Chapitre 3:
Pour chaque valeur, il existe une
fréquence cumulée.
Distribution statistique à un caractère
Le tracé des couples (valeur,fréquence cumulée)
donne ce qu’on appelle la Fonction cumulative.
83
84
14
Chapitre 3:
Distribution statistique à un caractère
Chapitre 3:
Distribution statistique à un caractère
Question :
Déterminer le nombre de séismes dont la magnitude
est inférieure à 4.5.
Déterminer le nombre de séismes dont la magnitude
est inférieure à 6.0.
8 sur 10
soit 0.80 ou
80%
5 sur 10
soit 0.50 ou
50%
85
Chapitre 3:
Distribution statistique à un caractère
86
Chapitre 3:
Distribution statistique à un caractère
Question :
Déterminer le nombre de séismes dont la magnitude
est inférieure à 5.0.
7 sur 10
soit 0.70 ou
70%
Soit 0.60 ou 60%
7 sur 10 soit
0.70 ou 70%
87
Chapitre 3:
Distribution statistique à un caractère
3.1
Description graphique
3.1.2
Variable quantitative discrète
88
Chapitre 3:
Distribution statistique à un caractère
La distribution statistique
La série statistique
89
90
15
Chapitre 3:
Intensité
(Modalité)
Effectif
Fréquence
de la modalité
Fréquence
cumulée
1
1
0.1
0.1
2
2
0.2
0.3
3
0
0
0.3
4
1
0.1
0.4
5
2
02
0.2
06
0.6
6
2
0.2
0.8
7
1
0.1
0.9
8
1
0.1
1
9
0
0
1
10
0
0
1
11
0
0
1
12
0
0
1
10
1
1
0
6
7
8
9
10
11
12
Représentation par bâtonnet
91
Chapitre 3:
1
0.6
0.50
0.4
04
0.4
0.30
0.3
0.3
0.1
0.0
Intensité
93
Chapitre 3:
Distribution statistique à un caractère
3.1
Description graphique
3.1.3
Variable qualitative
1
Fonction cumulative
0.70
0.10
1
0.8
0.6
0.2
1
0.9
0.90
0.8
1
Ce nombre divisé par le nombre d’individus de la
population s’appelle Fréquence cumulée.
1
1.0
3
Le nombre de séismes dont l’intensité est inférieure
à 5.
Distribution statistique à un caractère
2
Distribution statistique à un caractère
Fréquen
nce cumulée
Chapitre 3:
92
12
5
11
4
Intensité du séisme (Modalité)
10
3
9
2
7
1
6
0
5
Effe
ectif
2
Distribution statistique à un caractère
8
Distribution statistique à un caractère
4
Chapitre 3:
94
Chapitre 3:
Distribution statistique à un caractère
Ensoleillé
9
29%
Pluvieux
15
48%
Orageux
7
23%
Représentation par diagramme
Représentation Diagrammes circulaires
95
96
16
Chapitre 2:
Collecte des données
Chapitre 3:
Distribution statistique à un caractère
Les notes des étudiants
40
35
30
25
Est-ce la description
graphique est suffisante ?
20
15
10
5
0
1.25
3.75
6.25
8.75
11.25
13.75
16.25
18.75
97
Chapitre 3:
Distribution statistique à un caractère
98
Chapitre 3:
Distribution statistique à un caractère
3.2 Description numérique
3.2.1 Caractéristique de tendance centrale
Exemple: X=F/K
Les modèles mathématiques
nécessitent l’introduction
d’une valeur et non
l’appréciation sur la variation
des modalités
F: Force (mesurée en Newton) et K: Raideur: Connue=10 N/cm
F: Force (mesurée en Newton)
10 10.3 22.1 23 26 15.2 12.3 18 18.3 14.5
99
Chapitre 3:
Distribution statistique à un caractère
100
Chapitre 3:
Distribution statistique à un caractère
k = 1 + 3.3 log10 (10 ) = 4.33
n = 10
Force
Individus (Modalité) N
1
10
2
10.3
3
22.1
4
23
5
26
6
15.2
7
12.3
8
18
9
18.3
10
14.5
k =5
Vmin = 10 N
Vmax = 26 N
26 − 10
= 3 .2 N
5
Pas = 4 N
Pas =
101
102
17
Chapitre 3:
Distribution statistique à un caractère
Chapitre 3:
Distribution statistique à un caractère
40
35
Fréque
ence (%)
30
25
20
15
10
5
0
10
12
14
16
18
20
22
24
26
28
30
Force (N)
103
Chapitre 3:
Distribution statistique à un caractère
104
Chapitre 3:
Distribution statistique à un caractère
10 valeurs de F sont observées.
Que recherche le concepteur
Question:
•Réduire un ensemble de données
•Conserver une partie de l'information
Quelle valeur de F doit-on
utiliser dans l’équation
l équation
X=F/K
Résumer l'ensemble des valeurs par
une seule valeur
Parfois c’est difficile à accepter
La plus petite ?
La plus grande?
La plus significative
105
Chapitre 3:
Distribution statistique à un caractère
106
Chapitre 3:
Distribution statistique à un caractère
Caractéristique de tendance centrale
(paramètres de position)
Choisir
•Série statistique
q
•Tableau statistique
1. Mode
2. Médiane
Caractéristique de tendance centrale
3. Moyenne (s)
Elle décrit l’ordre de grandeur des valeurs et aussi la valeur
centrale autour de laquelle se regroupent les observations.
4. Quantile
107
108
18
Chapitre 3:
Distribution statistique à un caractère
Chapitre 3:
Distribution statistique à un caractère
Variable qualitative
Mode
Le mode, noté Mo, est la modalité qui admet la plus grande fréquence :
Il est parfaitement défini pour une variable qualitative ou une variable
quantitative discrète.
Pour une variable quantitative continue nous parlons de classe modale : c'est
la classe dont la densité de fréquence est maximum.
Mo= Pluvieux
109
Chapitre 3:
Distribution statistique à un caractère
110
Chapitre 3:
Variable quantitative discrète
Distribution statistique à un caractère
Variable quantitative continue
40.00
0.4
35.00
Fréquence
Frréquence (%)
0.3
0.3
30.00
25.00
20.00
15.00
0.2
0.2
0.2
0.15
0.15
01
0.1
10.00
0.0
5.00
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5
4.0
4.5
5.0
5.5
6.0
6.5
7.0
7.5
8.0
8.5
9.0
9.5
Magnitude de Richter
0.00
0
1
2
3
4
5
Nombre de pièces dans une maison
6
7
Milieu de la classe dont la fréquence est la plus grande
Mo=6.75
Mo=3 pièces
111
Chapitre 3:
Distribution statistique à un caractère
112
Chapitre 3:
Variable quantitative continue
0.4
0.4
0.3
0.2
0.2
0.3
0.3
Fréquence
0.3
Fréquence
Distribution statistique à un caractère
Variable quantitative continue
0.2
0.15
0.15
01
0.1
0.2
0.2
0.2
0.15
0.15
01
0.1
0.0
0.0
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5
4.0
4.5
5.0
5.5
6.0
6.5
7.0
7.5
8.0
8.5
9.0
9.5
1.5
Magnitude de Richter
2.0
2.5
3.0
3.5
4.0
4.5
5.0
5.5
6.0
6.5
7.0
7.5
8.0
8.5
9.0
9.5
Magnitude de Richter
Milieu de la classe dont la fréquence est la plus grande
Mo=6.75
Milieu de la classe dont la fréquence est la plus grande
Mo=6.75
113
114
19
Chapitre 3:
Distribution statistique à un caractère
Chapitre 3:
Variable quantitative continue
Distribution statistique à un caractère
40
35
0.4
Fréquence
Fréquence (%)
30
0.3
0.3
0.25
0.25
25
20
15
10
0.2
5
0
0.1
01
0.1
0.1
10
12
14
16
18
20
F
Force
(N)
22
24
26
28
40
30
35
Fréquence (%)
30
0.0
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5
4.0
4.5
5.0
5.5
6.0
6.5
7.0
7.5
8.0
8.5
9.0
9.5
Magnitude de Richter
25
20
15
10
Mo=6.75
Mode
5
0
Le même résultat a été obtenu
pourtant les deux distributions ne sont pas identiques
10
12
14
16
18
20
22
24
26
28
Chapitre 3:
30
Force (N)
115
Distribution statistique à un caractère
116
Chapitre 3:
Distribution statistique à un caractère
0.4
0.3
Fréquence
0.3
0.2
0.2
0.2
0.15
0.15
01
0.1
0.0
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5
4.0
4.5
5.0
5.5
6.0
6.5
7.0
7.5
8.0
8.5
9.0
9.5
Magnitude de Richter
117
Chapitre 3:
Distribution statistique à un caractère
118
Chapitre 3:
Distribution statistique à un caractère
Mode
40
0.4
35
0.3
0.25
30
Fréquence (%)
Fréquence
0.3
0.25
0.2
0.1
01
0.1
0.1
25
20
15
10
5
0.0
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5
4.0
4.5
5.0
5.5
6.0
6.5
7.0
7.5
8.0
8.5
9.0
0
9.5
Magnitude de Richter
10
12
14
16
18
20
Force (N)
22
24
26
28
30
F=12 N
119
X=12/10=1.2cm
120
20
Chapitre 3:
Distribution statistique à un caractère
Chapitre 3:
Médiane
Distribution statistique à un caractère
Quantitative discret
La médiane Me est telle que l'effectif
des observations dont les modalités
sont inférieures à Me est égal à l'effectif
des observations dont les modalités
sont supérieures à Me.
Utilise la notion de fonction cumulative
121
Chapitre 3:
Distribution statistique à un caractère
122
Chapitre 3:
Distribution statistique à un caractère
Fréquence (%)
Quantitative continue
100
95
90
85
80
75
70
65
60
55
50
45
40
35
30
25
20
15
10
5
0
100
90
70
50
30
0
10
12
14
16
18
20
Force (N)
22
24
26
28
30
F=18 N
X=18/10=1.8cm
123
Chapitre 3:
Distribution statistique à un caractère
Chapitre 3:
Distribution statistique à un caractère
Fréquence (%)
Médiane
Avantage:
•simple à calculer
•Prend en compte
p une p
partie des valeurs
Inconvénient:
ne tient pas compte de la distribution des modalités supérieures à la médiane
100
95
90
85
80
75
70
65
60
55
50
45
40
35
30
25
20
15
10
5
0
100
90
70
50
30
0
10
125
124
12
14
16
18
20
Force (N)
22
24
26
28
30
126
21
Distribution statistique à un caractère
Fréquence (%)
Chapitre 3:
100
95
90
85
80
75
70
65
60
55
50
45
40
35
30
25
20
15
10
5
0
Chapitre 3:
Distribution statistique à un caractère
Valeur de tendance centrale
100
Médiane=18 N
Mode=12
Mode
12 Nm
70
60
50
30
0
10
12
14
16
18
20
Force (N)
22
24
26
28
30
127
Chapitre 3:
Distribution statistique à un caractère
128
Chapitre 3:
Distribution statistique à un caractère
Quantile
Quantile
Le quantile α est la valeur Pα qui
laisse α% des observations endessous
et
(1−α)%
des
observations
obse
at o s au
au-dessus
dessus d
d’elle.
e e
α%
Les deux “quartiles” les plus
importants sont P25 (qui laisse 25 %
des observations en-dessous) et P75.
Pα
129
Chapitre 3:
Distribution statistique à un caractère
130
Chapitre 3:
Moyenne (s)
Distribution statistique à un caractère
Moyenne arithmétique dite par abréviation MOYENNE
Individus
La moyenne ne se définit que
pour une variable statistique
p
q quantitative.
q
131
Force
(Modalité) N
1
10
2
10.3
3
22.1
4
23
5
26
6
15.2
7
12.3
8
18
9
18.3
10
14.5
10
∑ Fi
10 ⎛ 1
⎞
= ∑ ⎜ Fi ⎟
10 i =1 ⎝ 10 ⎠
= 16.97 N
F=
i =1
132
22
Chapitre 3:
Distribution statistique à un caractère
Limites des classes (N)
j =1
j=2
j =3
j=4
j =5
F
fj
Chapitre 3:
Distribution statistique à un caractère
f j Fj
Limite inf
Limite sup
j
Centre
de classe (N)
Effectif
Fréquence (%)
10
14
12
3
30
3.6
14
18
16
2
20
3.2
18
22
20
2
20
4
22
26
24
2
20
4.8
26
30
28
1
10
2.8
Série statistique:
Moyenne arithmétique=16.97 N
q
Tableau statistique:
Moyenne
y
arithmétique=18.40
q
N
DIFFERENCE ?????????????
5
F = ∑ f j Fj
j =1
= (3.6 + 3.2 + 4 + 4.8 + 2.8)
= 18.4 N
133
Chapitre 3:
Distribution statistique à un caractère
134
Chapitre 3:
Distribution statistique à un caractère
Valeur de tendance centrale
Existe-t-il une seule moyenne
[
⎛
R
FR = ⎜⎜ ∑ f j (F j )
⎝ j =1
j =k
F = 18.4 N
F = 16.97 N
Chapitre 3:
[
[
]
136
Chapitre 3:
R=1----Æ Moyenne arithmétique
Distribution statistique à un caractère
R=0----Æ Moyenne géométrique
1
1
⎞
⎟
⎟
⎠
⎞
⎟
⎟
⎠
⎠
135
Distribution statistique à un caractère
⎛ j =k
1
F1 = ⎜⎜ ∑ f j (F j )
⎝ j =1
⎛ j=k
F1 = ⎜⎜ ∑ f j F j
⎝ j =1
]⎞⎟⎟
1
R
[
⎛
0
F0 = ⎜⎜ ∑ f j (F j )
⎝ j =1
j =k
]
]⎞⎟⎟
1
0
⎠
j =k
log(F0 ) = ∑ f j log(F j )
137
j =1
138
23
Chapitre 3:
Distribution statistique à un caractère
Chapitre 3:
R=-1----Æ Moyenne harmonique
[
⎛ j =k
−1
F−1 = ⎜⎜ ∑ f j (F j )
⎝ j =1
F−1 =
]
⎞
⎟
⎟
⎠
R=2----Æ Moyenne quadratique
1
−1
⎡ 1⎤
⎢fj ⎥
∑
j =1 ⎣
⎢ F j ⎦⎥
j =k
18.40
14.06
∑ [ f (F ) ]
2
j
j =1
Chapitre 3:
Distribution statistique à un caractère
Démontrer que
j =k
∑ [ f (F
20.26
j =1
18.00
j =k
j
j
]
−F) =0
[
j =1
j =k
[
2
= ∑ f j (F j − a )
Chapitre 3:
R=-2
R=-1
Moyenne
R=0
R=1
R=2
R=3
Mode
Médiane
]
φ (a ) = ∑ f j (F j − F ) + (F − a )
15 02
15.02
12.00
R=-3
j
140
Etude comparative entres les moyennes et la moyenne réelle obtenue
directement du tableau brut
17.29
⎠
139
Quelle moyenne choisir????
16.97
]⎞⎟⎟
1
2
j =k
F2 =
Distribution statistique à un caractère
19.39
[
⎛
2
F2 = ⎜⎜ ∑ f j (F j )
⎝ j =1
j =k
1
Chapitre 3:
16.13
Distribution statistique à un caractère
j =1
141
Distribution statistique à un caractère
Chapitre 3:
2
2
]
142
Distribution statistique à un caractère
On souhaite donner un prix:
Meilleur classe
Est-ce la réduction d’un ensemble de
valeurs à un seule valeur est une étape
suffisante
Critère de classement: Moyenne
•Réduire un ensemble de données
Pour faire simple, on suppose que deux
classes sont candidates pour ce prix et
que chacune des deux classes est
composée de 10 élèves
•Conserver une partie de l'information
143
144
24
Chapitre 3:
Distribution statistique à un caractère
Chapitre 3:
Question
Est-ce que les caractéristiques de tendance centrale sont suffisantes pour
identifier une valeur de F à utiliser
12 13 08 07 11 09 10,5 9,5 10 10
Tableau n°1
CLASSE –A-
17 13 03 07 19 18 01
Distribution statistique à un caractère
02 16 04
Tableau n°2
n 2
CLASSE –BLes deux tableaux présentent la même moyenne
arithmétique=16.97 N
MOYENNE=10
Qui mérite de recevoir le prix? ???
145
Chapitre 3:
Distribution statistique à un caractère
146
Chapitre 3:
Distribution statistique à un caractère
3.2 Description numérique
Question: Est-ce que les deux tableaux sont identiques
3.2.2 Caractéristique de dispersion
Caractéristique de dispersion
Choisir
Trouver une valeur qui reflète
•Série statistique
au mieux
q
•Tableau statistique
La dispersion des valeurs de notre échantillon
1. Etendue
2. L’intervalle inter-quartiles
Valeur de dispersion
3. Ecart moyen
4. Ecart type
147
Chapitre 3:
Distribution statistique à un caractère
148
Chapitre 3:
Distribution statistique à un caractère
Caractéristiques de dispersion
Tableau n°1
Mesurer la différence qui existe entre
la valeur max et min
ETENDUE
Tableau n°1
35
30
25
20
ETENDUE=20.35-11.2=9.15 N
15
Tableau n°2
10
5
Tableau 2
Tableau 1
Moyenne
ETENDUE=26-10=16.0 N
Tableau n°2
149
150
25
Chapitre 3:
Distribution statistique à un caractère
Chapitre 3:
Caractéristiques de dispersion
Distribution statistique à un caractère
Tableau n°1
Moyenne= 16.97 N et ETENDUE=20.35-11.2=9.15 N
ETENDUE (Tableau 1)= 9.15 N
ETENDUE (Tableau 2)= 16.0 N
Tableau n°2
ETENDUE (Tableau 2)>ETENDUE (Tableau 1)
Moyenne= 16.97 N et ETENDUE=26-10=16.0 N
C’est logique mais attention
cette valeur peut vous fausser
l’interprétation car elle se base
sur les valeurs extrêmes
Tableau n°3
Moyenne= 16.97 N et ETENDUE=26-10=16.0 N
151
Chapitre 3:
Distribution statistique à un caractère
Tableau n°1
152
Chapitre 3:
Moyenne= 16.97 N et ETENDUE=20.35-11.2=9.15 N
Distribution statistique à un caractère
Tableau n°2
35
35
30
30
25
25
20
20
15
15
10
10
5
5
Moyenne= 16.97 N et ETENDUE=26-10=16.0 N
153
Chapitre 3:
Distribution statistique à un caractère
Tableau n°3
154
Chapitre 3:
Distribution statistique à un caractère
Moyenne= 16.97 N et ETENDUE=26-10=16.0 N
35
Tableau 1
35
30
30
Tableau 2
Tableau 3
25
25
20
20
15
10
15
5
10
5
155
156
26
Chapitre 3:
Distribution statistique à un caractère
Chapitre 3:
Caractéristiques de dispersion
Mesurer la dispersion des valeurs par rapport à la moyenne
Estimer la différence entre
les valeurs observées
Et
15
30
45
60
75
90
P75=80
0
P25=37.5
Fréquence
e
1.00
0.95
0.90
0.85
0.80
0.75
0.70
0.65
0.60
0.55
0.50
0.45
0.40
0.35
0.30
0.25
0.20
0.15
0.10
0.05
0.00
Caractéristiques de dispersion
H = P75 − P25
L’intervalle inter-quartiles
Distribution statistique à un caractère
Chapitre 3:
105
120
135
150
la moyenne
157
Distribution statistique à un caractère
Chapitre 3:
158
Distribution statistique à un caractère
Valeur de dispersion
Cette valeur DOIT être très petite
35
30
25
20
F = 16,97
1
2
3
4
5
6
7
8
9
V = (F1 − F ) + (F2 − F ) + ... + (F10 − F )
10
15
5
V = (F1 + F2 + ... + F10 − 10 F )
F10=14,50
10
F1=10
F1 − F
V = (10 F − 10 F ) = 0
F5 − F
159
Chapitre 3:
Distribution statistique à un caractère
160
Chapitre 3:
Distribution statistique à un caractère
Valeur de dispersion
Valeur de dispersion
Cette valeur DOIT être très petite
V = F1 − F + F2 − F + ... + F10 − F
V = (F1 − F ) + (F2 − F ) + ... + (F10 − F ) = 0
Cette valeur permet d’estimer la différence
Or cette valeur est en fait nulle et ne peut donc mesurer la
dispersion
La valeur absolue est une fonction mathématique
difficilement dérivable
Autre méthode
161
162
27
Chapitre 3:
Distribution statistique à un caractère
Chapitre 3:
Distribution statistique à un caractère
Valeur de dispersion
Valeur de dispersion
V = (F1 − F ) + (F2 − F ) + ... + (F10 − F )
2
2
Mesurer la dispersion des valeurs par rapport à la moyenne
2
V = ∑ (Fi − F ) et R pair
10
Cette valeur est toujours positif et permet d’estimer la
différence entre les valeurs observées et leur moyenne
R
i =1
163
Chapitre 3:
164
Distribution statistique à un caractère
Série statistique
Chapitre 3:
Distribution statistique à un caractère
Série statistique
Tableau statistique
Moyenne
Variance
j =k
F = ∑ f j Fj
Fi
i =1 n
F =∑
(σ F )
2
j =1
Écart moyen
= ∑[f
j =k
⎡1
⎤
EM F = ∑ ⎢ Fi − F ⎥
i =1 ⎣ n
⎦
10
Tableau statistique
EM F
j =1
j
⎡ (Fi − F )2 ⎤
= ∑⎢
⎥
i =1 ⎢
n
⎥⎦
⎣
F −F ]
(σ F )2 = ∑ [ f j (F j − F )2 ]
j =k
j =1
Ecart type
σF
j
165
Chapitre 3:
166
Distribution statistique à un caractère
Série statistique
Chapitre 3:
Distribution statistique à un caractère
Tableau statistique
Exercice: Déterminer l’Ecart Moyen et l’Ecart type
Différence d’ordre R
Limites des classes (N)
⎛ i =n ⎡ 1
R⎤⎞
VR = ⎜⎜ ∑ ⎢ (Fi − F ) ⎥ ⎟⎟
⎦⎠
⎝ i =1 ⎣ n
1
R
[
⎛ j =k
R
VR = ⎜⎜ ∑ f j (F j − F )
⎝ j =1
]
⎞
⎟
⎟
⎠
167
1
R
Limite inf
Limite sup
Centre
de classe (N)
Effectif
Fréquence (%)
10
14
12
3
30
14
18
16
2
20
18
22
20
2
20
22
26
24
2
20
26
30
28
1
10
168
28
Chapitre 3:
Distribution statistique à un caractère
Chapitre 3:
Distribution statistique à un caractère
169
Chapitre 3:
Distribution statistique à un caractère
170
Chapitre 3:
Distribution statistique à un caractère
171
Chapitre 3:
Distribution statistique à un caractère
172
Chapitre 3:
Distribution statistique à un caractère
j =k
V = ∑ f j F j − F = 4 .8 N
j =1
j =k
∑ [ f (F
j =1
j
j
]
−F) =0
Ecart Moyen= 4.8 N
173
174
29
Chapitre 3:
Distribution statistique à un caractère
Chapitre 3:
Distribution statistique à un caractère
175
Chapitre 3:
Distribution statistique à un caractère
Chapitre 3:
(σ )
j =k
Distribution statistique à un caractère
3.3 Caractéristiques de formes
Tableau n°1
2
176
1. Coefficient de variation
= ∑ f j (F j − F ) = 6.28 N ²
2
2. Coefficient de symétrie
3. Coefficient d’aplatissement
j =1
Tableau n°2
n 2
(σ )
2
j =k
Coefficient de variation (noté CV)=Ecart type / Moyenne
= ∑ f j (F j − F ) = 29.44 N ²
2
j =1
177
Chapitre 3:
Distribution statistique à un caractère
178
Chapitre 3:
Distribution statistique à un caractère
Coefficient de symétrie (Cœfficient of Skewness)
1 (Fi − F )
η =∑
(σ F )3
i =1 n
3
i =n
j =k
η = ∑ fj
j =1
179
(F
−F)
3
j
(σ F )3
180
30
Chapitre 3:
Distribution statistique à un caractère
Chapitre 3:
Distribution statistique à un caractère
Coefficient d’aplatissement (Cœfficient of Kurtosis)
généralement comparé à la valeur de 3 qui est celui de la distribution
Coefficient de symétrie (Cœfficient of Skewness)
1 (Fi − F )
κ =∑
(σ F )4
i =1 n
4
i =n
j =k
κ = ∑ fj
(F
−F)
4
j
(σ F )4
j =1
182
181
Chapitre 3:
Distribution statistique à un caractère
Chapitre 3:
Coefficient d’aplatissement (Cœfficient of Kurtosis)
généralement comparé à la valeur de 3 qui celle d’une distribution normale
Distribution statistique à un caractère
Exemple:
κ − 3 = −0,5 < 0
183
Chapitre 3:
Distribution statistique à un caractère
184
Chapitre 2:
Collecte des données
Les notes des étudiants
Exemple: La distribution normale est symétrique
40
35
30
25
20
15
10
5
0
κ −3 = 2 > 0
1.25
185
3.75
6.25
8.75
11.25
13.75
16.25
18.75
186
31
Maths 4: Probabilité et Statistiques
(2008/2009)
Zendagui
Maths 4: Probabilité et Statistiques
(2008/2009)
Zendagui
Chapitre 4
Distribution statistique à deux caractères
Fin du Chapitre 3
Distribution statistique à un caractère
4.1 Introduction
3.1 Description graphique
4.2 Description numérique
3.2 Description numérique
4.3 Principe de la méthode des moindres carrées "Least Square method »
3.2.1 Caractéristique de tendance centrale
4.4 Covariance
3.2.2 Caractéristique de dispersion
3.3 Caractéristiques de formes
187
Chapitre 4:
Distribution statistique à deux caractères
188
Chapitre 4:
Distribution statistique à deux caractères
4.1 Introduction
Caractère ou variable statistique
Un même individu peut il avoir plusieurs caractères????
Oui
Quantitatif
Qualitatif
exprimée par
des nombres
(ex: une taille)
Exprimée par
une
description
naturelle du
langage (ex:
Individu
Maison
Caractère 1
Surface habitable (notée X)
Caractère 2
Surface non habitable ((notée Y))
Surface non habitable: Le jardin et autres…
Réel
Discret
une couleur)
Ce qui est recherché c’est
k modalités c1, c2,…,ck
Chapitre 4:
De possibles relations entre le caractère 1 et le
caractère 2.
189
Distribution statistique à deux caractères
Chapitre 4:
190
Distribution statistique à deux caractères
80
Maison X (m²) Y (m²)
200,1
75,3
2
121,3
41,2
3
160,7
40,2
4
112,3
13,2
65
60
55
Y (m²)
1
75
70
50
45
40
35
5
190
12
6
120,5
40
7
160
60
25
8
185
25
20
9
126,3
32,1
10
142,8
35,3
30
15
10
110
120
130
140
150
160
170
180
190
200
210
X (m²)
191
192
32
Chapitre 4:
Distribution statistique à deux caractères
200.1
La distribution des valeurs (X et Y)
75
75.3
60
160
70
65
185
35.3
32.1
30
15 13.2
110
120
130
140
150
160
X (m²)
170
180
35.3
32.1
41.2
40
13.2
30
12
10
160
160.7
35
190
20
45
40
25
112.3
25
40.2
60
142.8
160.7
40.2
50
126.3
35
Y (m²)
41.2
41
2
40
40
142.8
1
120.5
121.3
126..3
45
25
120.5
121.3
60
55
50
75.3
12
55
112.3
60
Y (m²)
Voilà ce que prévoit les codes de l’urbanisme
(Y=0.30*X)
65
185
80
200.1
Distribution statistique à deux caractères
190
Chapitre 4:
190
200
110
210
120
130
140
150
160
X (m²)
170
180
190
200
210
193
Chapitre 4:
Distribution statistique à deux caractères
194
Chapitre 4:
Distribution statistique à deux caractères
4.2 Description numérique
Tableau statistique
Individu
X
Y
1
x1
y1
2
..
.
x2
..
.
y2
..
.
e
..
.
n
xe
..
.
xn
ye
..
.
yn
Classe Y
(1)
[CY1, CY2[
Classe X
Y1
Yj
YK
(1)
[CX1, CX2[
.
.
.
X1
n11
n1j
n1k
(i)
[CXi, CXi+1[
.
.
.
Xi
ni1
nij
nik
[CXm, CXm+1[
Xm
nm1
nmj
nmk
(m)
Il est possible de passer de la série statistique vers le
tableau statistique
n11: l’ensemble des individus ayant la modalité X1 de X et Y1 de Y
i =m j =k
n = ∑ ∑ nij
Comment?
i =1 j =1
195
Chapitre 4:
Distribution statistique à deux caractères
Chapitre 4:
Classe Y
(1)
[CY1, CY2[
(k)
(j)
... [CYj, CYj+1[ … [CYk, CYk+1[
Y1
Yj
YK
(1)
[CX1, CX2[
.
.
.
X1
f11
f1j
f1k
(i)
[CXi, CXi+1[
.
.
.
Xi
fi1
fij
fik
[CXm, CXm+1[
Xm
fm1
fmj
fmk
(m)
e= n
X=∑
e =1
f11: Fréquence des individus ayant la modalité x1 de X et y1 de Y
f ij =
σX =
nij
n
197
196
Distribution statistique à deux caractères
Tableau statistique
Classe X
(k)
(j)
... [CYj, CYj+1[ … [CYk, CYk+1[
xn
n
Individu
X
Y
1
x1
y1
2
..
.
x2
..
.
y2
..
.
e
..
.
n
xe
...
xn
ye
...
yn
e=n
Y =∑
e =1
(
)
2⎤
⎡1
∑ ⎢ xi − X ⎥
e =1 ⎣ n
⎦
e=n
σY =
(
yn
n
)
2⎤
⎡1
∑ ⎢ yi − Y ⎥
e =1 ⎣ n
⎦
e= n
198
33
Chapitre 4:
Distribution statistique à deux caractères
Chapitre 4:
Distribution statistique à deux caractères
Fréquence marginale
Y1
X1
Yj
YK
f11
…
f1j
f1k
f1.
fi1
fij
fik
fj.
fm1
fmj
fmk
fm.
f.1
f.j
f.k
.
.
.
Xi
..
.
Xm
Fréquence conditionnelle
Répond à la question suivante:
Quelle la fréquence des individus ayant la modalité x1
de X sachant que Y=y1
i =m
f.1 = ∑ f i1
f.1: Fréquence des individus ayant la modalité y1 de Y
i =1
199
Chapitre 4:
Distribution statistique à deux caractères
Y1
X1
f11
…
Yj
YK
f1j
f1k
.
.
.
Xi
fi1
fij
fik
..
.
Xm
fm1
fmj
fmk
f.1
f.j
f.k
200
Chapitre 4:
Distribution statistique à deux caractères
Y1
f1.
X1
…
f11
.
.
.
fj.
Xi
fi1
..
.
fm.
Xm
fm1
f.1
201
Chapitre 4:
Distribution statistique à deux caractères
202
Chapitre 4:
Distribution statistique à deux caractères
•4.3 Principe de la méthode des moindres carrées "Least Square method »
n11
f11
n
= i=mn = i =m11
f.1 ∑ n
∑ ni1
i1
i =1
i =1
n
203
204
34
Distribution statistique à deux caractères
80
75
70
65
60
55
50
45
40
35
30
25
20
15
10
Chapitre 4:
Y (m²)
Y (m²)
Chapitre 4:
Distribution statistique à deux caractères
80
75
70
65
60
55
50
45
40
35
30
25
20
15
10
110
110
120
130
140
150
160
X (m²)
170
180
190
200
210
120
130
140
150
160
X (m²)
170
180
190
200
210
206
Y (m²)
Chapitre 4:
Distribution statistique à deux caractères
Chapitre 4:
Distribution statistique à deux caractères
Problème étudié:
Chercher une relation de corrélation entre deux
variables statistiques X et Y.
80
75
70
65
60
55
50
45
40
35
30
25
20
15
10
Quelles sont nos données:
On connaît l’ensemble des couples (xi,yi) i=1,..,n
Comment faire:
Utiliser la méthode des moindres carrés
110
120
130
140
150
160
X (m²)
170
180
190
200
210
207
Chapitre 4:
Distribution statistique à deux caractères
208
Chapitre 4:
Distribution statistique à deux caractères
En considérant une régression linéaire:
La méthode des moindre carrés vous
permet d’écrire la relation:
80
75
70
65
60
Y (m²)
55
50
(xi , yˆi )
y=ax+b
(xi , y i )
Et de ce fait vous permet de déterminer
les coefficients a et b (la démonstration
sera donnée au niveau du cours)
45
40
35
30
25
20
15
10
110
120
130
140
150
eri = yi − yˆi
160
X (m²)
170
180
190
200
210
Soit très petite
209
Une corrélation n’a de valeurs que s’il y’a
détermination du coefficient de corrélation
210
35
Chapitre 4:
Distribution statistique à deux caractères
Maths 4: Probabilité et Statistiques
(2008/2009)
Zendagui
•4.4 Covariance
(
i=m j =k
)(
Cov ( X , Y ) = ∑ ∑ f ij xi − X y j − Y
i =1 j =1
i =n
)
Fin du Chapitre 4
Distribution statistique à deux caractères
4.1 Introduction
4.2 Description numérique
(
)(
1
Cov ( X , Y ) = ∑ xi − X yi − Y
i =1 n
)
4.3 Principe de la méthode des moindres carrées "Least Square method »
4.4 Covariance
211
Maths 4: Probabilité et Statistiques
(2008/2009)
Zendagui
212
Maths 4: Probabilité et Statistiques
(2008/2009)
Zendagui
Partie C
Traitement probabiliste de l’information
Chapitre 6
Théorie de la probabilité
Chapitre 5
Distribution statistique à plusieurs caractères
6.1 Espace de probabilité
6 2 Axiome de probabilité
6.2
6.3 Propriétés des évènements
6.4 Quelques notions supplémentaires
213
Chapitre 6:
6.1
Théorie de la probabilité
Chapitre 6:
Espace de probabilité
On lance un dé , l’ensemble de tous les résultats
possibles est identifié par
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Un résultat possible de ll’expérience
expérience est noté ω.
ω
Ainsi, ω ‫ א‬Ω
D’autres exemples:
On lance une pièce:
Durée de vie d’une pièce
214
Ω = {P,F}
Ω = [0,+∞[
215
Théorie de la probabilité
Une expérience aléatoire se décrit
mathématiquement par la donnée d’un
espace Ω dont les points notés ω sont les
résultats possibles de l’expérience, ainsi que
d’une probabilité P sur Ω.
Un événement A lié à l’expérience Ω est
représenté par une partie de Ω noté A.
Chaque événement possède une probabilité
P[A] qui est un nombre compris entre 0 et 1.
216
36
Chapitre 6:
Théorie de la probabilité
Chapitre 6:
6.2
Par exemple, considérons le jeu de dé:
Théorie de la probabilité
Axiome de probabilité
0≤P[A] ≤1
Un événement A peut décrit comme suit:
• Obtenir un nombre pair
• Obtenir 4
1.Soit un évènement A alors
A chaque évènement correspond une probabilité notée P[A]
3.Si A et B sont deux évènements
mutuellement exclusive alors
2.P[Ω]=1= événement certain
P[A]: Probabilité d’avoir l’évènement A
(Ω, A, P) espace de probabilité
P[AUB]=P[A]+P[B]
217
Chapitre 6:
6.3
Théorie de la probabilité
218
Chapitre 6:
Propriétés des évènements
Soit A et B deux évènements qui ne sont nécessairement
mutuellement exclusive alors
Théorie de la probabilité
6.4
Quelques notions supplémentaires
-1-
Probabilité conditionnelle :
Probabilité d’avoir l’évènement A sachant que l’évènement B s’est produit
Ne pas confondre entre évènements mutuellement exclusive et indépendants
Voilà un petit exemple en statistique
P[A∪B]=P[A]+P[B]-P[A∩B]
Population:
Individu :
Caractères:
Modalités :
Maisons (20)
Une maison parmi les 20
X (Surface habitable), Y (Surface non habitable)
Valeurs de X et Y
P[A / B ] =
P[A ∩ B ]
P[B ]
219
Chapitre 6:
Théorie de la probabilité
220
Chapitre 6:
-2-
Théorie de la probabilité
Théorème de la probabilité Totale
Je l’appelle le théorème de la Vie
Y1
Y2
Y3
X1
f11=0.05
f12=0.05
f13=0.3
f1. =0.4
X2
f21=0.3
f22=0.1
f23=0.2
f2. =0.6
f.1=0.35
f.2=0.15
f.3=0.5
Considérons Bi (i=1,…,n) évènements ME et CE alors:
f11 0.05
=
= 0.143
f.1 0.35
221
222
37
Chapitre 6:
-3-
Théorie de la probabilité
Maths 4: Probabilité et Statistiques
(2008/2009)
Zendagui
Théorème de Bayes
Fin du Chapitre 6
P [B / Ai ]P [ Ai ]
P [ Ai / B ] =
∑ P [B / Ak ]P [ Ak ]
Théorie de la probabilité
6.1 Espace de probabilité
6 2 Axiome de probabilité
6.2
k
6.3 Propriétés des évènements
6.4 Quelques notions supplémentaires
223
Maths 4: Probabilité et Statistiques
(2008/2009)
Zendagui
224
Chapitre 7:
7.1
Chapitre 7
Variable aléatoire
Définitions
Une variable aléatoire est une fonction qui à
chaque évènement élémentaire d’une expérience
aléatoire associe un nombre réel ou entier.
Variable aléatoire
7.1 Définitions
7.2 Variable aléatoire discrète
Soit X une variable aléatoire et k un réel ou entier,
l’évènement noté (X = k) est l’antécédent de k
par la fonction
7.3 Variable aléatoire continue
7.4 Caractéristiques de tendance centrale
7.5 Caractéristiques de dispersion
X : c’est l’ensemble de tous les événements
élémentaires dont l’image par X est égale à k.
225
Chapitre 7:
7.2
Variable aléatoire
226
Chapitre 7:
Variable aléatoire
Variable aléatoire discrète
Les évènement A et B sont
k est un nombre entier
•Mutuellement exclusive(ME)
•Collectivement exhaustive (CE)
Soit une épreuve qui ne comporte que deux résultats
possibles, incompatibles.
Exemples:
•Arrivée d’un avion:
•Pièce de monnaie:
Pourquoi???
A l’heure ou non
Pile ou face
Car:
Si l’évènement A se produit alors l’évènement B ne
peut pas se produire et inversement
ÆME
A évènement décrit par:
L’avion arrive à l’heure
B évènement décrit par:
L’avion n’arrive pas à l’heure prévue
Car on ne peut avoir que les évènements A ou B. On
ne peut avoir un autre évènement
ÆCE
227
228
38
Chapitre 7:
Variable aléatoire
Chapitre 7:
On note PX(x) la loi de probabilité de la
variable aléatoire X.
Cette dernière peut prendre deux valeurs:
La probabilité de réalisation de l’événement A est
p
La probabilité de réalisation de l’événement B est
q
x=1
x
1 ou x
x=0
0
Alors p+q=1
La fonction PX(x), dite Fonction de
Probabilité de masse (FPM) dépend de x:
Dans le cas d’une pièce de monnaie
p=0.5
q=0.5
229
Chapitre 7:
Variable aléatoire
A évènement décrit par
B évènement décrit par
Variable aléatoire
PX(x=1) écrite aussi PX(x) est la probabilité
pour que l’évènement x=1 se réalise
230
Chapitre 7:
Variable aléatoire
Considérons une VA X qui peut prendre
plusieurs valeurs xi, (i=1,…,n)
x=1
x=0
PX(x1)+PX(x2)+…+PX(xn)=1
Du moment que les deux évènements A
et B sont ME et CE alors
PX(x1)+PX(x2)+…+P
)+ +PX(xn)=1
n
∑ P (x ) = 1
P[A]+P[B]=1
PX(1)+PX(0)=1
i =1
X
i
0 ≤ PX ( xi ) ≤ 1
∀xi
231
Chapitre 7:
Variable aléatoire
232
Chapitre 7:
Variable aléatoire
Fonction de répartition ou Cumulative Distribution Functions
233
234
39
Chapitre 7:
Variable aléatoire
Chapitre 7:
Variable aléatoire
Quelques exemples de loi de probabilité de VA discrète
VA de BERNOULLI
Une variable aléatoire qui prend comme valeur seulement
0 et 1 est appelé une variable indicatrice, ou une variable
aléatoire de Bernoulli, ou un essai de Bernoulli
Soit X une VA discrète de type Bernoulli
⎧ p
PX ( x) = ⎨
⎩q = 1 − p
x =1
x=0
235
Chapitre 7:
Variable aléatoire
236
Chapitre 7:
Variable aléatoire
Ce qui est recherché c’est la loi de probabilité de la VAD Y.
Loi binomiale
Soit X la VAD qui décrit l’arrivée ou non d’un avion à l’heure
P ( y)
Y
Considérons uniquement 3 avions (donc 3 essais).
X suit une loi de type Bernoulli car on a soit succès ou
échec.
On ss’intéresse
intéresse maintenant non pas à un seul avion mais à
plusieurs (m et m>1). Il est introduit une nouvelle VAD Y qui
décrit le nombre d’avions qui arrivent à l’heure (succès).
En fait c’est comme si une pièce de monnaie est jeté m fois.
Si le résultat de l’essai est Pile c’est un succès et si le
résultat de l’essai est Face c’est un échec
237
Chapitre 7:
Variable aléatoire
0 ≤ PY ( yi ) ≤ 1
Les évènements Y=0, Y=1, Y=2, Y=3 sont des évènements
ME et CE
238
Variable aléatoire
PY ( y ) = Cny p y (1 − p )
∑ P (y ) =1
i =1
0 succès donc tous les avions n’arrivent pas à l’heure
1 succès donc sur les trois avions un seul va arriver à l’heure
2 succès donc sur les trois avions deux vont arriver à l’heure
3 succès donc les trois avions vont arriver à l’heure
Chapitre 7:
4
Y
Quelles sont les possibilités.
Y=0,, 1,, 2,, 3.
n− y
i
Du moment qu’il y a indépendance entre les
trois essais alors
PY (0) = q.q.q = q 3 = (1 − p )
3
y = 0,1,2,..., n
Cny =
n!
y!(n − y )!
PY (3) = p. p. p = p 3
PY (1) = ??
239
240
40
Chapitre 7:
7.3
Variable aléatoire
Variable aléatoire continue
0 1
1 2
2 3
3 4
4 5
5 6
6 7
7 8
8 9
9 10
10 11
11 12
Chapitre 7:
Variable aléatoire
k est un nombre réel
Centre de classe Fréquence (%)
0,5
2
1,5
3
2,5
4
3,5
10
4,5
13
55
5,5
18
6,5
14
7,5
13
8,5
12
9,5
6
10,5
4
11,5
1
0 1
1 2
2 3
3 4
4 5
5 6
6 7
7 8
8 9
9 10
10 11
11 12
Centre de classe Fréquence (%)
0,5
2
1,5
3
2,5
4
3,5
10
4,5
13
55
5,5
18
6,5
14
7,5
13
8,5
12
9,5
6
10,5
4
11,5
1
0 2
2 4
4 6
6 8
8 10
10 12
Centre de classe Fréquence (%)
1
5
3
14
5
31
7
27
9
18
11
5
241
Chapitre 7:
0 2
2 4
4 6
6 8
8 10
10 12
Variable aléatoire
242
Chapitre 7:
0 2
2 4
4 6
6 8
8 10
10 12
Centre de classe Fréquence (%)
1
5
3
14
5
31
7
27
9
18
11
5
Variable aléatoire
Centre de classe Fréquence (%)
1
5
3
14
5
31
7
27
9
18
11
5
0 4
4 8
8 12
Centre de classe Fréquence (%)
2
19
6
58
10
23
243
Chapitre 7:
0 4
4 8
8 12
Variable aléatoire
244
Chapitre 7:
Variable aléatoire
Centre de classe Fréquence (%)
2
19
6
58
10
23
245
246
41
Chapitre 7:
Variable aléatoire
Chapitre 7:
Variable aléatoire
247
Chapitre 7:
Variable aléatoire
248
Chapitre 7:
Variable aléatoire
Surface=2 X 2.5=5
249
Chapitre 7:
Variable aléatoire
250
Chapitre 7:
Variable aléatoire
Fréquence des individus ayant des modalités comprises entre 0 et 4
Surface=4 X 4.75=19
251
252
42
Chapitre 7:
Variable aléatoire
Chapitre 7:
Variable aléatoire
Fréquence des individus ayant des modalités comprises entre 0 et 4
Surface=4 X 4.75=19
=
253
Chapitre 7:
f X (x )
Variable aléatoire
254
Chapitre 7:
Fonction de densité de probabilité de la VA X
Variable aléatoire
Conditions
f X ( x )dx = P[ x ≤ X ≤ x + dx]
Surface de la courbe
f X (x )
entre
x et x + dx
255
Chapitre 7:
Variable aléatoire
FX (x )
256
Chapitre 7:
Variable aléatoire
1 seul essai
Fonction de distribution cumulative de la VA X
Succès
FX (− ∞ ) = 0
Echec
Loi de Bernoulli
FX (+ ∞ ) = 1
p
⎧
PX ( x) = ⎨
⎩q = 1 − p
257
x =1
x=0
258
43
Chapitre 7:
Variable aléatoire
Chapitre 7:
Variable aléatoire
n essais
Loi binomiale
Succès
Echec
Succès
p X ( x ) = Cnx p x (1 − p )
n− x
Echec
x = 0,1,2,..., n avecCnx =
n!
x!(n − x )!
259
Chapitre 7:
Variable aléatoire
260
Chapitre 7:
Variable aléatoire
p X (x ) =
(λt )x e − λt x = 0,1,2,..., ∞
x!
261
Chapitre 7:
Variable aléatoire
262
Chapitre 7:
Variable aléatoire
La probabilité de ne pas avoir de séismes durant le laps de
temps t est égale à
PX (0)
Donc le premier succès
p X (x ) =
(λt )x e − λt x = 0,1,2,..., ∞
x!
1 − FT (t ) = p X (0 ) =
263
(λt )0 e − λt
0!
264
44
Chapitre 7:
Variable aléatoire
Chapitre 7:
Variable aléatoire
e − λt = 1 − FT (t )
FT (t ) = 1 − e − λt
f T (t ) = λe − λt
265
Chapitre 7:
Variable aléatoire
266
266
Chapitre 7:
Le nombre de météores dans un intervalle
de 30 secondes est de 1.81. Supposez
que l’apparition des météores est aléatoire
et indépendante
(
λt )0 e − λt −λt
PX (0 ) =
=e
0!
Quelle est la probabilité de ne pas avoir de
météores dans un intervalle d’une minute?
PX
Variable aléatoire
PX (0 ) = e −3.62
(
λt )x e − λt
(x ) =
x = 0,1,2,..., ∞
x!
267
Chapitre 7:
Variable aléatoire
268
Chapitre 7:
Variable aléatoire
Le nombre moyen de collisions se produisant en semaine pendant les
mois d'été à une intersection particulière est de 2.00. Supposez que les
conditions de la distribution de Poisson sont satisfaites.
1.2
1
a) Quelle est la probabilité de ne pas avoir de collisions en une semaine
particulière ?
b) Quelle est la probabilité qu'il y aura exactement une collision en
semaine ?
c) Quelle est la probabilité d’avoir exactement deux collisions en semaine
?
d) Quelle est la probabilité de trouver pas plus de deux collisions en
semaine ?
x − λt
0.8
0.6
0.4
PX (x ) =
0.2
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
(λt ) e
x!
x = 0,1,2,..., ∞
λ = 2 / semaine
12
269
270
45
Chapitre 7:
Variable aléatoire
Chapitre 7:
Quelle est la probabilité de ne pas avoir de collision en une semaine
particulière ?
(
λt )0 e − λt
PX (0) =
Variable aléatoire
Quelle est la probabilité qu'il y aura exactement une collision en semaine ?
PX (0 ) = e − λt
PX
0!
(
λt )1 e − λt
(1) =
PX (1) = e − λ λ
1!
PX (0) = e −2*1
PX (1) = e −2*1 2
PX (0 ) = 0.135
PX (1) = 0.271
271
Chapitre 7:
Variable aléatoire
272
Chapitre 7:
Quelle est la probabilité qu'il y aura exactement deux collisions en semaine ?
Variable aléatoire
Quelle est la probabilité de trouver pas plus de deux collisions en semaine ?
Soit F l’évènement décrit pas: Pas plus de deux collisions en semaine
PX (2 ) =
(λt )2 e −λt
PX (2 ) =
2!
−λ
e λ
2
2
Ce qui est recherché c’est la probabilité de F
Soit A l’évènement décrit pas:
Soit B l’évènement décrit pas :
Soit C l’évènement décrit pas:
PX (2 ) = 0.271
0 collision en une semaine
1 collision en une semaine
2 collisions en une semaine
Pas plus de deux collisions en semaine cela veut dire
0 ou 1 ou 2 collisions par semaine
F = AUBUC
P[F] =P[AUBUC]
Les évènements A, B et C sont ME donc:
P[F] =P[A]+P[B]+P[C]
273
Chapitre 7:
Variable aléatoire
274
Chapitre 7:
Variable aléatoire
Quelle est la probabilité de trouver plus de deux collisions en semaine ?
P[ F ] = PX (0 ) + PX (1) + PX (2 )
Soit F l’évènement décrit pas: Pas plus de deux collisions en semaine
Soit FC l’évènement décrit pas: plus de deux collisions en semaine
P[ F ] = 0.135 + 0.271 + 0.271
Les évènement F et FC sont complémentaires
P[ F ] = 0.677
P[FC]=1-P[F]=1-0.677=0.323
275
276
46
Chapitre 7:
Variable aléatoire
Chapitre 7:
Variable aléatoire
7.4
7.5
Quelle est la probabilité qu'il y aura exactement deux collisions en deux
semaine ?
Caractéristiques de tendance centrale
Caractéristiques de dispersion
VA discrète
En statistique
X
(
λt )2 e − λt
PX (2 ) =
Variable statistique: Intensité d’un séisme
t=2
2!
PX (2 ) = 0.147
277
Chapitre 7:
Variable aléatoire
278
Chapitre 7:
Variable aléatoire
X
VAD Intensité d’un séisme
PX ( x = 1) ≡ f1
12
X = ∑ fi X i
X
La moyenne est notée en statistique
E[X ]
Espérance mathématique de la VA D X
i
La moyenne est notée en probabilité
12
X = ∑ fi X i
i
σ X2 = ∑ f i (X i − X )
12
E[X ] =
2
i =∞
∑ P (x )x
i = −∞
279
X
i
i
280
i
Chapitre 7:
Variable aléatoire
Chapitre 7:
Variable aléatoire
σ X2 = ∑ f i (X i − X )
12
Loi de Bernoulli
p
⎧
PX ( x) = ⎨
⎩q = 1 − p
La variance est notée en statistique
x =1
σ
La variance est notée en probabilité
x=0
σ X2 =
E [X ] = p
E [X ] = 0.5 si p = q = 0.5
281
i
2
X
X
Variance de VA D
E [X ] = ∑ PX (xi )xi = p *1 + q * 0
2
i =∞
∑ P (x )(x − E[X ])
i = −∞
2
X
i
i
282
47
Chapitre 7:
Variable aléatoire
Chapitre 7:
Loi de Bernoulli
x =1
x=0
p
⎧
PX ( x) = ⎨
⎩q = 1 − p
E [X ] = p
Caractéristiques de tendance centrale
Caractéristiques de dispersion
VA continue
0.4
0.3
σ = ∑ PX ( xi )( xi − p ) = p(1 − p ) + q(0 − p )
2
2
Fréquencee
0.3
2
2
X
Variable aléatoire
7.4
7.5
σ X2 = p(1 − p )2 + (1 − p ) p 2 = (1 − p ) p(1 − p + p )
0.2
0.2
0.2
0.30/1.5
0.15
0.20/1.5
0.1
0.15
0.20/1.5
0.15/1.5
0.15/1.5
= (1 − p ) p = qp
0.0
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5
4.0
Chapitre 7:
Variable aléatoire
4.5
5.0
5.5
6.0
6.5
7.0
7.5
8.0
8.5
Magnitude de Richter
283
Chapitre 7:
9.0
9.5
284
Variable aléatoire
0.4
0.2
0.3
Frééquence
Fréqu
uence/1.5
0.3
0.130.2
0.2
0.13
0.2
01
0.1
0 10.15
0.1
0.15
0.1
0.0
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5
4.0
4.5
5.0
5.5
6.0
6.5
7.0
7.5
8.0
8.5
9.0
9.5
Magnitude de Richter
285
Chapitre 7:
Variable aléatoire
Chapitre 7:
Moyenne arithmétique dite par abréviation MOYENNE
Individus
10
2
10.3
3
22.1
4
23
5
26
6
15.2
7
12.3
8
18
9
18.3
10
14.5
10
∑ Fi
Variable aléatoire
Limites des
classes (N)
Force
(Modalité) N
1
286
⎛1 ⎞
F = i =1 = ∑ ⎜ Fi ⎟
10 i =1 ⎝ 10 ⎠
= 16.97 N
10
Limite
sup
Centr
e
de
class
e (N)
Effectif
Fréquence
(%)
10
14
12
3
30
3.6
14
18
16
2
20
3.2
18
22
20
2
20
4
22
26
24
2
20
4.8
26
30
28
1
10
2.8
Limi
te
inf
f k Fk
5
F = ∑ f k Fk
k =1
= (3.6 + 3.2 + 4 + 4.8 + 2.8)
287
= 18.4 N
288
48
Chapitre 7:
Variable aléatoire
Chapitre 7:
[
k
F = ∑ f j Fj
V = ∑ f k Fk − F
j =1
E [F ] = ∫
∞
−∞
Variable aléatoire
( f F ( f )df ) f
E [F ] = ∫ ff F ( f )df
∞
]
∞
EM X = ∫ x − E[ X ] f X ( x )dx
−∞
E [X ] = ∫ xf X ( x )dx
∞
−∞
−∞
σ X2 = ∫
∞
−∞
(x − E[ X ])2 f X (x )dx
289
Chapitre 7:
Variable aléatoire
290
Chapitre 7:
Variable aléatoire
f T (t ) = λe − λt
E [T ] = ∫ tfT (t )dt =
σ T2 = ∫
+∞
0
+∞
1
0
λ
(t − E[T ])2 fT (t )dt =
Calculer l’espérance mathématique de la VA X
E [X ] = ∫ xf X ( x )dx
∞
−∞
1
λ2
291
Chapitre 7:
Variable aléatoire
292
Chapitre 7:
Variable aléatoire
E [a ] = a
E [aX ] = aE [X ]
E[aX + b] = aE[X ] + b
σ X2 = ∫
∞
−∞
(x − E[ X ])2 f X (x )dx = E [( X − E[ X ])2 ]
[ ]
= E X 2 − (E [X ])
2
293
294
49
Chapitre 7:
Variable aléatoire
Distribution normale ou gaussienne,
N (m, σ )
X
Chapitre 7:
Variable aléatoire
295
Chapitre 7:
Variable aléatoire
[
296
Chapitre 7:
E[X ] = m
Variable aléatoire
]
E ( X − E [ X ]) = σ 2
2
U=
[
N (m, σ )
X
U=
X −m
N (0,1)
U
σ
X −m
σ
E [U ] = 0
fU (u ) =
]
E (U − E [U ]) = 1
2
1
(2π )
12
⎡ u2 ⎤
exp ⎢− 2 ⎥
⎣ 2σ ⎦
−∞ < u < ∞
297
Chapitre 7:
Variable aléatoire
298
Maths 4: Probabilité et Statistiques
(2008/2009)
Fin du Chapitre 7
FU (α ) =
1
(2π )1 2
Zendagui
Variable aléatoire
α
⎡ u2 ⎤
∫−∞exp⎢⎣− 2σ 2 ⎥⎦ du
7.1 Définitions
7.2 Variable aléatoire discrète
7.3 Variable aléatoire continue
7.4 Caractéristiques de tendance centrale
FU (− α ) = 1 − FU (α )
7.5 Caractéristiques de dispersion
299
300
50
Maths 4: Probabilité et Statistiques
(2008/2009)
Chapitre 8
8.1
8.2
Zendagui
Chapitre 8:
Vecteurs aléatoires
Vecteurs aléatoires
En engineering, il est souvent souhaitable de relier
deux ou plusieurs ou variables aléatoires
P
Pression,
i
ttempératures.
é t
Vecteurs aléatoires discrets
Vecteurs aléatoires continues
301
Chapitre 8:
8.1
Vecteurs aléatoires
302
Chapitre 8:
Vecteurs aléatoires discrets
8.1
Vecteurs aléatoires
Vecteurs aléatoires discrets
JPMF: Joint Probability Mass Function
FDPC: Fonction de distribution de probabilité conjointe
Fonction de distribution marginale
303
Chapitre 8:
Vecteurs aléatoires
304
Chapitre 8:
8.2
Vecteurs aléatoires
Vecteurs aléatoires continues
f X ( x )dx = P[ x ≤ X ≤ x + dx]
Fonction de distribution cumulative conjointe
f XY ( x, y )dxdy = P[( x ≤ X ≤ x + dx ) ∩ ( y ≤ Y ≤ y + dy )]
fY ( y )dy = P[ y ≤ Y ≤ y + dy ]
Indépendance
f X ( x ) fY ( y )dxdy = P[(x ≤ X ≤ x + dx )]P[( y ≤ Y ≤ y + dy )]
f XY ( x, y )
305
(FDPC)
306
51
Chapitre 8:
Vecteurs aléatoires
Chapitre 8:
Vecteurs aléatoires
307
Chapitre 8:
Vecteurs aléatoires
308
Chapitre 8:
Vecteurs aléatoires
Deux personnes pensent se rencontrer entre 9h00 et 10h00.
Chaque personne ne peut attendre plus de 10 minutes. C'est-àdire qu’au-delà de 10 minutes elle partira si la deuxième personne
ne vient pas. On suppose les deux personnes peuvent arriver à
n’importe quel moment entre 9h00 et 10h00 et que leurs temps
d’arrivée ne sont pas connus.
X décrite
dé i par : le
l nombre
b de
d minutes
i
é lé
écoulé
jusqu’à l’arrivée de la personne A
Y décrite par : le nombre de minutes écoulé
jusqu’à l’arrivée de la personne B
309
Chapitre 8:
Vecteurs aléatoires
⎧ 1
⎪
f X (x ) = ⎨ b − a
⎪⎩ 0
310
Chapitre 8:
Vecteurs aléatoires
a≤ x≤b
elsewhere
311
312
52
Chapitre 8:
Vecteurs aléatoires
Chapitre 8:
Vecteurs aléatoires
Question :
Il est recherché la probabilité pour que les deux
personnes se rencontrent entre 9h00 et 10h00.
313
Chapitre 8:
Vecteurs aléatoires
314
Chapitre 8:
Vecteurs aléatoires
Exemple: Fiabilité d’un système
Probabilité que les deux personnes se rencontrent=
P[ X −Y ≤ 10]
Y: Résistance
X: Action
VA
VA
pr = P[Y ≤ X ]
Probabilité de rupture
315
Chapitre 8:
Vecteurs aléatoires
316
Chapitre 8:
Vecteurs aléatoires
Distribution conditionnelle
Y≤X
317
318
53
Chapitre 8:
Vecteurs aléatoires
Chapitre 8:
Vecteurs aléatoires
319
Chapitre 8:
Vecteurs aléatoires
320
Chapitre 8:
Vecteurs aléatoires
n voitures qui arrivent au niveau d’une intersection.
X VA : Nombre de voitures qui tournent vers l’Est
Y VA : Nombre de voitures qui tournent vers l’Ouest
NORD
OUEST
EST
321
Chapitre 8:
Vecteurs aléatoires
Probabilité[Voiture tourne vers l’Est]=p
X
Probabilité[Voiture tourne vers l’Ouest]=q
Y
322
Chapitre 8:
Vecteurs aléatoires
Sur les n voitures, on sait que déjà y voitures ont pris la
direction de l’Ouest (à gauche). Donc il reste uniquement
(n-y) qui doivent soit tourner à gauche (Est) soit se
diriger vers le Nord.
Probabilité[Voiture tourne vers le Nord]=r=1-p-q
Loi binomiale: Tournez vers l’Ouest ou non
323
324
54
Maths 4: Probabilité et Statistiques
(2008/2009)
Fin du Chapitre 8
8.1
8.2
Zendagui
Maths 4: Probabilité et Statistiques
Vecteurs aléatoires
(2008/2009)
Chapitre 9
Vecteurs aléatoires discrets
Vecteurs aléatoires continues
9.1
92
9.2
9.3
9.4
Zendagui
Transformation d’une Variable Aléatoire
Objectifs
Méth d générale
Méthode
é é l
Application pour le cas d’une fonction linéaire
Fonctions à deux Variables aléatoires
325
Chapitre 9:
9.1
Transformation d’une Variable
326
Chapitre 9:
Transformation d’une Variable
Objectifs
H
C
Soit C le coût de construction d’un mur
VA notée X
VA notée Y
Y = a + bX
C1: coût des matériaux (DA)
C2: coût de la Main d’œuvre (DA/Heure)
f X (x )
C=C1+ C2*H
H: Nombre d’heures de travail
fY ( y )
C=10.000+100*100
Fonction de densité de probabilité de la VA X
f X ( x )dx = P[ x ≤ X ≤ x + dx]
Fonction de densité de probabilité de la VA X
fY ( y )dy = P[ y ≤ Y ≤ y + dy ]
C=20.000 DA
327
Chapitre 9:
Transformation d’une Variable
Si la loi de probabilité de la VA X est
connue alors comment déterminer la
loi de probabilité de Y
f X (x )
Y = a + bX
328
Chapitre 9:
9.2
Transformation d’une Variable
Méthode générale
fY ( y )
Y = g(X )
329
330
55
Chapitre 9:
Transformation d’une Variable
Chapitre 9:
9.3
Transformation d’une Variable
Application pour le cas d’une fonction linéaire
331
Chapitre 9:
Transformation d’une Variable
332
Chapitre 9:
Transformation d’une Variable
FX ( x ) = P[X ≤ x ]
Y
y
y − a⎤
⎡
⎛ y−a⎞
FY ( y ) = P ⎢ X ≤
=
F
⎜
⎟
X
b ⎥⎦
⎣
⎝ b ⎠
dF ( y )
fY ( y ) = Y
dy
1 ⎛ y−a⎞
fY ( y ) = f X ⎜
⎟
b ⎝ b ⎠
Y>yy
Y≤y
x=(y-a)/b
FY ( y ) = P[Y ≤ y ]
X
y − a⎤
⎡
FY ( y ) = P ⎢ X ≤
b ⎥⎦
⎣
333
Chapitre 9:
Transformation d’une Variable
334
Chapitre 9:
Transformation d’une Variable
y − a⎤
y − a⎤
⎡
⎡
FY ( y ) = P ⎢ X >
= 1 − P⎢ X ≤
⎥
b ⎦
b ⎥⎦
⎣
⎣
y −a⎤
⎡
⎛ y−a⎞
= 1 − FX ⎜
FY ( y ) = 1 − P ⎢ X ≤
⎟
⎥
b ⎦
⎣
⎝ b ⎠
y
Y>y
Y≤y
x=(y-a)/b
FY ( y ) = P[Y ≤ y ]
fY ( y ) =
X
y − a⎤
⎡
FY ( y ) = P ⎢ X >
b ⎥⎦
⎣
335
fY ( y ) = −
dFY ( y )
dy
1 ⎛ y−a⎞
fX ⎜
⎟
b ⎝ b ⎠
336
56
Chapitre 9:
Transformation d’une Variable
fY ( y ) =
Chapitre 9:
1 ⎛ y−a⎞
fX ⎜
⎟
b ⎝ b ⎠
1 ⎛ y−a⎞
fX ⎜
⎟
b ⎝ b ⎠
337
Transformation d’une Variable
338
Chapitre 9:
339
Chapitre 9:
Transformation d’une Variable
1 ⎛ y−a⎞
fX ⎜
⎟
b ⎝ b ⎠
fY ( y ) = −
fY ( y ) =
Chapitre 9:
Transformation d’une Variable
341
Transformation d’une Variable
340
Chapitre 9:
Transformation d’une Variable
342
57
Chapitre 9:
9.4
Transformation d’une Variable
Chapitre 9:
Transformation d’une Variable
Fonctions à deux Variables aléatoires
Soit X1 et X2 deux variables aléatoires définies soit pat leurs PDF ou leur JPDF
f X 1 ( x1 )
f X 2 ( x2 )
f X 1 X 2 ( x1 , x2 )
Y = X1 + X 2
fY ( y )
FY ( y )
343
Chapitre 9:
Transformation d’une Variable
344
Chapitre 9:
Transformation d’une Variable
Si X1 et X2 sont indépendant
345
Chapitre 9:
Transformation d’une Variable
346
Chapitre 9:
Transformation d’une Variable
Arrêt de
bus A
Arrêt de
bus B
Maison
Université
X: VA temps d’attente au niveau de l’arrêt de bus A
f X ( x ) = λ e − λx
Y: VA temps d’attente au niveau de l’arrêt de bus B
f Y ( y ) = β e − βy
347
T = X +Y
348
58
Chapitre 9:
Transformation d’une Variable
Chapitre 9:
Transformation d’une Variable
Y = X1 + X 2
FT (t ) = ??????????
T = X +Y
fT (t ) =
∞
∫ f (t − y ) f ( y )dy
X
Y
−∞
349
Chapitre 9:
Transformation d’une Variable
fT (t ) =
350
Chapitre 9:
Transformation d’une Variable
∞
∫ f (t − y ) f ( y )dy
X
−∞
f X ( x ) = λ e − λx
x≥0
∞
fT (t ) = ∫ λe −λ (t − y ) βe − βy dy
Y
f Y ( y ) = β e − βy
y≥0
f X (t − y ) = λe − λ (t − y )
y≥0
−∞
t−y≥0
0≤ y≤t
t−y≥0
t
fT (t ) = ∫ λe −λ (t − y )βe − βy dy
0
351
Chapitre 9:
Transformation d’une Variable
352
Chapitre 9:
Transformation d’une Variable
f X ( x ) = λ e − λx
λβ − βt −λt
(e − e )
fT (t ) =
λ−β
t≥0
fT (t ) =
353
f Y ( y ) = β e − βy
λβ − βt −λt
(e − e )
λ−β
354
59
Chapitre 9:
Transformation d’une Variable
Maths 4: Probabilité et Statistiques
(2008/2009)
Zendagui
2.5
2
Fin Chapitre 9
1.5
9.1
9.2
93
9.3
9.4
1
Transformation d’une Variable Aléatoire
Objectifs
Méthode générale
Application pour le cas d’une fonction linéaire
Fonctions à deux Variables aléatoires
0.5
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
355
Maths 4: Probabilité et Statistiques
(2008/2009)
356
Zendagui
Fin du cours
357
60