Enon Suites réelles. Suites de Cauchy (2)

Suites réelles.
Problème
Soit f :    une application strictement croissante telle que :
x   , f ( x  1)  f ( x )  1
 f 0  I E
Pour n   , on note f n la composée n fois de f ; c.à.d 
.
n 1
n
n   , f  fof
Noter que : n  * , f n 1  fofo...of .



n fois
Pour x   et n   , on note : un ( x) 
*
1 n
 f ( x)  x  .
n
Partie I :
1) Sans justification, compléter f m of n  f ... , où m, n  .
Définition d’une suite de Cauchy :
Une suite  un  n est dite de Cauchy si et seulemet si :
  0 , N   , p  N , q  N ,| u p  uq | 
2) Montrer que :
 un n converge   un n de Cauchy
On admet qu’on a l’équivalence :  un  n converge   un  n de Cauchy
n
1
, pour tout n  * .
k 1 k
Notons H n  
1
.
2
4) En déduire que la suite  H n n 1 n’est pas de Cauchy. (donc divergente).
3) Montrer que : n  * , H 2 n  H n 
5) Montrer cette fois-ci que  H n n 1 est divergent en raisonnant par l’absurde, et en
utilisant 3).
6) a) Etudier la monotonie de la suite  H n n 1 .
b) En déduire lim H n .
n 
7) a) Montrer que : x  1 , ln(1  x )  x
b) En déduire que : n  * , H n  ln(n  1)
c) Retrouver le résultat de 6)b).
Partie II :
1)a) Soient x   et n   .
Montrer que : f n ( x  1)  f n ( x)  1 .
b) Vérifier que pour tout n   , l’application f n est strictement croissante.
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c) Soit n  1 . Soient x, y   tels que x  y  x  1 .
c)1) Montrer que 0  f n ( y )  f n ( x )  1 .
1
c)2) En déduire | un ( y )  un ( x ) |
n
2) a) Montrer que : n   , x   , k   , f n ( x  k )  f n ( x)  k
Indice : Utiliser 1)a) et une somme télescopique.
b) En déduire que : n   , x   , k   , f n ( x  k )  f n ( x )  k .
c) Montrer que :
( x, y )   2 , k   / x  y  k  x  1
d) Déduire de ce qui précède que :
1
n  1, ( x, y )   2 ,| un ( y )  un ( x) |
n
*
3) Soit x  . Soient n et k   .
a) Montrer que :
1 k 1
un  f jn ( x )   ukn ( x)

k j 0
b) Déduire de 3)a) et 2) que :
1
| ukn ( x)  un ( x ) |
n
4) Soit x  . Soient p et q  * . Déduire de 3)b) que :
1 1
| u p ( x)  uq ( x) | 
p q
5) a) Montrer que :
x  ,  un ( x ) n est une suite de Cauchy.
Notons  ( x )  lim un ( x ) , pour tout x   .
n
b) En utilisant 2)d), montrer que l’application  ainsi définie est constante.
c) En déduire que :
c   / x   , lim un ( x)  c
n 
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