Traité de stabilité des constructions. Leçons professées au

NOTIONS DE TRIGONOMÉTRIE XI
(6) Théorème. — Le sinus et la tangente d'un angle sont égaux respec-
tivement au cosinus et a la cotangente de son complément, et réciproquement.
Les deux triangles égaux OMm et OB6 donnent en valeur absolue
sin a = cos 3
et sin S = cos a.
Il est facile de vérifier, dans les trois cas, que ces quantités sont deux a
deux de même signe.
De ce que sin a = co* 3 et sin 3 = cos a, il résulte que
sin a cos 3
cos a sin 3
ou Ig a = cotg 3.
Cette propriété explique pourquoi on appelle le cosinus, la cotangente et la
cosécante les lignes complémentaires du sinus de la tangente et de la sécante.
Puisque pour deux angles complémentaires a et 3 on doit avoir algébrique-
ment
précédentes peuvent s'écrire.
a + S = 4- -, on en déduit a = —— 3. Dès lors les relations
sin a = cos
g-.) et
tg a =cotg(_ —a
cos a = sml -
cotg a =
%-')•
26. Relations entre les lignes trigonométriques de deux
arcs supplémentaires.
(a) Définition. — Deux arcs supplémentaires sont deux arcs dont l'arc
résultant est égal à -, c'est-a-dire dont la somme algébrique est égale
à -Hit.
Les angles qui ont ces arcs pour mesure sont dits angles supplémentaires.
Deux arcs supplémentaires pourront se présenter dans les deux cas suivants
de la fig. 20 pour lesquels AA' étant l'arc résultant égal a ic, les arcs supplé-
mentaires sont AM = a, MA' = 3.
Fig. 20
2e Cas (fig. II).
a positif > ^
et < *
3 positif < ^
(6) Théorème. — Deux arcs supplémentaires ont leurs sinus égaux et
de même signe, leurs cosinus égaux et de signes contraires, leurs tangentes,
ainsi que leurs cotangentes, égales et de signes contraires. En effet :
Les deux triangles égaux OMP, OA'Q donnent en valeur absolue
sin a = sin 3
cos a = cos 3.
1" Cas (fig.
a positif <;
3 positif >
et <
I)-
2
2
it
el
II est facile de vérifier les signes dans les deux cas et de voir que l'on a
sin a = sin 3
cos a = — cos 3.
sin a sin 3
On en déduit = 5
cos a — cos p
u tg a = — tg 3
cos a _ — cos 3
^^^^^^H sin a sin 3
d'où cotg a = —cotg 3. C.Q.F.D.
Puisque pour deux angles supplémentaires a et 3, on doit avoir, algébri-
quement, a -f- 3 = + -, on en déduit -a = - — 3. Dès lors les rela-
tions précédentes s'écrivent :
sic a = sin (T. — a) et cos a — — COS(T — a)
tg a = — tg (n —- a) et cotg a = — cotg (r. — a).
27. Formules qui se déduisent des relations fondamen-
tales.
{a ] G. sinus en fonction du sinus.
De la relation
on tire sin'' : -f- cos2 a = i
^^^^^^^B cos a = rfc y/1 —sin^â.
Cette formule montre que pour un même sinus donné, il y a deux cosinus
égaux en valeur absolue et de signes contraires, l'un correspondant a
l'arc x, l'autre a son supplément (-—a).
(b) Sinus en fonction du cosinus. -
sin2 a -+- cos2 a = 1 nous fournit la valeur du sinus La même relation
sin a — -I- i/l
cos2 a.
Donc pour un même cosinus, il y a deux sinus, égaux en valeur absolue
mais de signes contraires; le premier correspondant a l'arc a, l'autre a
l'arc • {— a).
tion
(c) Sinus et cosinus en fonction de la tangente. — La rela-
tg a = devient, si on élève ses deux membres au carré,
cos a
tgs
cos2 a
Par une transformation connue, on obtient :
te2 a sin2 a
1 -+- tg2 a cos2 a-r-sin2 a t
-+- tg2 a
i
cos2 a
et comme sin2 a + cos'2 a = i, ces deux expressions deviennent
tg22
1 -h tg2 a
d'où l'on tire : tga
y/l +tg2a
et
et
i -f- tg2 a
I i
± 1
v/I-r-tg2a
Pour une même valeur de la tangente, on a donc deux valeurs égales et
de signes contraires pour le sinus et pour le cosinus. Les deux valeurs
positives du sinus et du cosinus correspondent à un arc a' positif et
plus petit que it/2 ; les deux valeurs négatives du sinus et du cosinus
correspondent à un arc a' négatif et plus grand que Tt/2 en valeur absolue ;
sa valeur absolue est (TZ — a').
On voit, en effet, que le rapport aura ainsi le même signe dans les
cos a
deux cas.
§ 3. — THÉORIE DES PROJECTIONS
28. Projection d'une droite sur un axe.
(a) Définitions. - 1° Projection d'une droite sur un axe situe dans
son plan (fig. 21). . ,.
On appelle projection d'une droite sur un axe situé dans son plan la dis-
tance comprise sur l'axe entre les pieds des perpendiculaires abaissées des
extrémités de la droite sur cet axe.
20 projection d'une droite sur un axe non situé dans son plan (fig. 22).
On appelle projection d'une droite sur un axe, non situé dans son plan, la
distance comprise sur l'axe entre ses points d'intersection avec deux plans
menés par les exlrémltés de la droite perpendiculairement à cet axe. Cette
projection a donc la même longueur que la distance perpendiculaire des deux
plans.