derivation-et-etude-des-fonctions-exercices-non-corriges-5-9

EXERCICES ET PROBLÈMES
Exercice3 :
Soit f la fonction définie sur IR par :
Exercice 1 :
3

 f ( x) = 3 − 3 x − x

(Cf )f ( x ) = x 2 − 1 − 1
Soit f la fonction définie sur IR par :

x3 − 8
=
f
x
(
)

x−2

 f ( x ) = x + 2 + 10

1) Calculer f (2)
et
si x  −  , 2 
si x  2, +  
lim f ( x)
x→ 2
2) Est-ce que la fonction f est continue en 2 ?
3) Etudier la continuité de f sur IR.
4) Etudier la dérivabilité de f en 2, et interpréter
géométriquement les résultats.
si x   −  ,1 
si x  1, +  
→ →
et
sa courbe dans un repère orthonormé (O ; i ; j )
1) Etudier la continuité de f à droite et à gauche en 1.
2) a) Etudier la dérivabilité de f à droite et à gauche
en 1. Puis Interpréter graphiquement les résultats.
3) calculer f '( x ) pour x   −  ,1  .
−
4) Montrer que le point I (0; 3) est un point
d’inflexion de (C f ) .
Exercice 2 :
5) Donner le tableau de variation de f sur IR.
3
Soit f la fonction définie par : f ( x ) = x + 3 x − 2 6) Etudier les branches infinies de (C f ) .
1) Montrer que l’équation f ( x ) = 0 a une seule
au point I
7) Ecrire une équation de la tangente à
solution  sur  0; +  et que
.
8) Montrer que l'équ ation f ( x ) = 0 admet une unique

 0;1
2) Donner un encadrement d’amplitude 0,125 de  .
solution  dans  −  ,1  et que   0;1 .
(C f )
3) En déduire que :
→ →
r
p
9)
(
)
(
;
C
Tracer
la
courbe
dans
le
re
è
e
O
i ; j ).
f





+

x
f
x
et
x
f
x
0;
;
(
)
0
;
;
(
)
0
(   )
(   )
10) Soit g la restriction de f sur l’intervalle  −  ,1  ,
4) Montrer que f admet une fonction réciproque
f
−
1
définie sur un intervalle J que l’on précisera,
puis calculer f (0) ; f 1 (−2)
et
( f ) '(−2) .
1
−
−
−
montrer que g admet une fonction réciproque g 1
définie sur un intervalle J que l’on précisera, puis
tracer sa courbe dans le repère précédant.
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f
Exercice4 :
a) Montrer que
x
x +1
admet une fonction réciproque
et préciser son domaine de définition
b) Déterminer g −1 ( x ) pour x  J .
1) Déterminer D f , puis étudier les variations de . Exercice 8 :
f
2) Soit la restriction de sur l’intervalle −; −2 , Calculer les limites suivantes.

g
2
Exercice 5 :
A = lim
3
C = lim
x→ + 
f
g
On considère
la fonction
définie par :
J
g1
x
f ( x) =
x +1
1) Déterminer D f , calculer les limites de la fonction
3
x →-
−
montrer que
admet une fonction réciproque
f
définie sur un intervalle
que l’on précisera.
3) Calculer g −1  − 9  , puis déterminer g −1 ( x ) .
.
−
Soit f une fonction définie par : f ( x ) =
2
E = lim
x →0
3
3
5 − x3 + x
B = lim
8 x3 + x2 − x
x
D = lim
x →1
3x + 5 − 2
x −1
3
4 x2 + x
x →+
x3 + 1 − 1
F = lim
x² + 1 − 1
x →0 3
x3 − x
sin( x )
x +1 −1
a 3 + b3
a 3 − b3
Rappel : a + b = 2
et a − b = 2
a − ab + b2
a + ab + b2
f
aux bornes ouvertes de D f .
2) a - Vérifier que ( x   0; + ) ;
b - En déduire que
1g
Ig=  0; + .
x
1
= 1−
x +1
x +1
Exercice 9 :
La courbe si dessous et celle d’une fonction f définie
sur −;3 .
est strictement croissante sur
f
f
g
3) Soit
la restriction de
sur l’intervalle I .
a) Montrer que
admet une J
fonction réciproque
définie sur un intervalle
f
à déterminer.
−
g
b) Déterminer g −1 ( x ) pour x  J .
Exercice 6 :
Soit une fonction définie par : f ( x ) = x + x 2 − 1
f
1) Déterminer D f , puis calculer lim f ( x ) et
x →−
lim f ( x ) .
(O ; i ; j )
x →+
2) Soit
sur I = 1; + .
la restriction de
a) Montrer que

admet une fonction réciproque
−
définie sur un intervalle
que l’on
f
précisera.
b) Donner le tableau de variation de .
g
c) Déterminer g ( x ) pour x  J .
−1
Exercice 7 :
On considère la fonction
définie sur  0;+ par :
f ( x) = x − 4 x + 3
1) Calculer lim f ( x ) .
x →+
2
2) Montrer que l’équation f ( x ) = x admet une
solution unique
3) Soit
(C f )
1) Déterminer f '(2) , →
(justifier)
→
dans l’intervalle 0;1 .
la restriction de
I =  4; +
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sur l’intervalle
2) Donner f d '(1) , justifier.
3)
est –elle dérivable à gauche en 1, justifier ?
f
f ( x)
4) Déterminer lim−
.
x →1 x − 1
(C f )
5) Dresser le tableau de variation de
(C f )
Exercice10 :
Soit la fonction :
et
sur −;3 .
f :x
x ( x 2 + 1)
x2 − 1
sa représentation graphique dans un repère
orthonormé du plan
.
1) Déterminer D f , puis étudier la continuité et la
dérivabilité de
sur D f . Justifier les réponses !
2) Etudier la parité de f et en déduire un élément de
symétrie de
.
3) Etudier les limites de f aux bornes du domaine D f
et en déduire les asymptotes éventuelles à
.
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g
4) Etudier les variations de f et dresser son tableau de
−2 ( x + 3 )
6) Montrer que : x  D f ; f  ( x ) =
et
variations.
x4
5) Etudier la concavité de
et résumer cette étude
étudier la concavité de
puis en déduire que
dans un tableau.
admet un point d’inflexion I .
6) Déterminer une équation cartésienne de la
7) Etudier la position relative de
et de (  ) .
tangente (T ) à
au point d’abscisse 0.
8) Déterminer une équation de la tangente (T ) à la
7) Etudier la position de
par rapport à (T ) .
f
courbe
au point d’abscisse 1.
8) Tracer
et (T ) dans le repère
.
9) Tracer la courbe
et la droite (T ) .
Exercice 11 :
Exercice 13 :
(C) désigne la courbe représentative d’une fonction
Partie 1 :Soit la fonction définie sur fIR par :
dans un repère orthonormé.
(
)
g( x ) = 1 +
x
x² + 1
1) Calculer lim f ( x ) .
x →−
(C f )
1
2) Vérifier (que): g '( x ) =
.
Cf
( x ² + 1) x ² + 1
f
3) En déduire que : (x  IR): g ( x )  0 .
g
Partie 2 : Soit
▪
1
( D) : y = −
2
La droite
f )
(C
est une asymptote
f
horizontale
à la courbe (C) au voisinage de −→.
▪
f ( x ) = x − 1 + x² + 1
1) Vérifier que pour
g tout réel x on a : f ’ ( x ) = g ( x ) .
2) Dresser le tableau de variation de
→
.
;i; j)
La droite (  ) : y = 2 x + 1 est une asymptote(Ooblique
3) Montrer que lim f ( x ) =f −1 . Interpréter
x →−
2
à la courbe (C) au voisinage de + .
Par une lecture graphique.
1) Déterminer le signe de f ( x ).
2) Déterminer le sens de variations de .
3) Déterminer lim f ( x ) ; lim f ( x )
x →−
Et
Soit
graphiquement le résultat obtenu.
4) Montrer que la droite ( D) : y = 2 x(– 1 )est une
Cf
asymptote oblique à
au voisinage de + .
5) Tracer,
lim f ( x ) − ( 2 x +
x →+
1
2
).
une fonction tel que : f ( x ) =
x3 + x 2 − x − 1
x2
sa courbe dans un repère orthonormé
2) Calculer lim f ( x ) ,puis interpréter géométriquement
x →0
)
une asymptote oblique à
de + et −  .
5) a)- Montrer que :
( x  D ) ;
f ( x) =
définie sur IR par :
2x
(gC( xf ) =
−1
x² + 3
est strictement croissante sur IR.
au voisinage
(
x ( x + 1) x 2 − x + 2
2) Calculer g ( 1) et en déduire le signe de g( x ) .
Partie2 : Soit la fonction
définie sur IR par :
f ( x ) = 2 3 + x² − x
1) Etudier les branches infinies de
.
2) Vérifier que pour tout réel x on a : f ’ ( x ) = g ( x ) ,
lim f ( x ) .
x →+
4) a)- Montrer que : x  D f ; f ( x ) = x + 1 − x +2 1
x
b)- Montrer que la droite ( ) : y = x + 1 est
(
1) Montrer que
.
1) Montrer que D f = −; 0  0; + .
x →−
f
f
(C f )
le résultat.
3) Calculer lim f ( x ) et
et ( D ) dans un repère orthonormé .
Exercice 14:
Partie1 :Soit la fonction
x →+
Exercice 12 :
Et
la fonction définie sur IR par :
puis dresser le tableau de variation de .
3) Donner une équation cartésienne de la tangente
en son point d'abscisse -1.
(T ) à la courbe de
4) Tracer la courbe
.
)
.
x
b)- Etudier le signe de f '( x ) , puis dresser le T.V.
f
Pr: BELKHYR ABDELAZIZ
4
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