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equadif-resume

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É q u a t i o n s d i f fé r e nt i e l l e s
Resumé de cours
I. Équation différentielles linéaires du premier ordre.
le système:
(
D é f i n i t i o n I . 1 ( É q u a t i o n d i f fé r e nt i e l l e l i né a i r e d u p r e m i e r o r d r e )
,→
On appelle équation différentiel linéaire du premier ordre toute toute équation de
la forme
X 0 = A(t)X(t) + B(t)
(E)
T h é o r è m e I . 1 ( C a u chy - l i né a i r e )
Soit I un intervalle de R, A ∈ C 0 I, Mn (K) et B ∈ C 0 I, Mn,1 (K) .Pour tout
(t0 , X0 ) ∈ I × Mn,1 (K), le problème de Cauchy
(
X 0 = A(t)X + B(t)
X(t0 ) = X0
où : A : I → Mn (K) et B : I → Mn,1 (K) sont continues et X : I → Mn,1 (K)
de classe C 1 est l’inconnue de l’équation.
,→
B s’appelle le second membre de l’équation.
,→ Si B = 0 on dit que l’équation est homogène.
,→
admet une unique solution sur l’intervalle I
0
l’équation
(H) :
X = A(t)X,
est appelée équation homogène associé à (E).
C o ro l l a i r e I . 1 . 1
Si deux solutions sur I de l’ équation différentielle (E) coı̈ncident en un point de I elles
sont égales sur I.
En particulier une solution de l’équation homogène sur I qui s’annule en un point de I
est identiquement nulle
,→ On appelle solution de l’équation différentiel (E) toute fonction
X:I
t
→
7→
Mn,1 (K)
X(t)
T h é o r è m e I . 2 ( S t r u c t u r e d e l ’ e n s e mb l e d e s s o l u t i o n s )
Dérivable sur I telle que
Soient A : I → Mn (K)
∀ t ∈ I, X 0 (t) = A(t)X(t) + B(t)
,→ En notant A
=
(ai,j ) 1≤i≤n , et X
:
t
7−→
1≤j≤n
b1 (t)
B : t 7−→ X(t) =
..
.
X 0 = A(t)X(t) + B(t)
(S0 )
X(t0 ) = X0
avec
t0 ∈ I, X0 ∈ Mn,1 (K)
X(t)
=
et
B : I → Mn,1 (K) sont continues
1. l’ ensemble SH des solutions de (H) :
de dimension n.
x1 (t) !
..
,
.
X 0 = A(t)X
sur I est un espace vectoriel
2. Si Xp est une solution particulière de (E) : X 0 = A(t)X +B(t)
de E sont de la forme
X(t) = XH (t) + Xp (t)
xn (t)
!
l’équation différentiel (E) est équivalente au système:
bn (t)
alors les solutions
où XH (t) est la solution générale de l’équation homogène H associée. Ainsi l’
ensemble des solutions de (E) est
 0
x1 (t) = a1,1 (t)x1 (t) + a1,2 (t)x2 (t) + · · · + a1,n (t)xn (t) + b1 (t)




 x02 (t) = a2,1 (t)x1 (t) + a2,2 (t)x2 (t) + · · · + a2,n (t)xn (t) + b2 (t)
∀ t ∈ I,
(S)
..
..
 ...

.
.


 0
xn (t) = an,1 (t)x1 (t) + an,2 (t)x2 (t) + · · · + an,n (t)xn (t) + bn (t)
SE = Xp + SH = Xp + XH XH ∈ SH
On dit que S est un espace affine de direction SH
appelé système différentiel linéaire du premier ordre
D é f i n i t i o n I . 2 ( s y s tè m e f o n d a m e n t a l d e s o l u t i o n s )
Une base (X1 , X2 , . . . , Xn ) de SH est appelée système fondamental de solutions de (H)
,→ Le problème de Cauchy associé à l’ équation différentielle du premier ordre (E) est
C o ro l l a i r e I . 2 . 1
1
Si (X1 , X2 , . . . , Xn ) système fondamental de solutions de SH Alors
É q u a t i o n s d i f fé r e nt i e l l e s
Resumé de cours
• Toute solution XH de (H) s ’écrit sous la forme :
XH =
n
X
• On pose Φ(t) =
n
X
αi (t)Xi (t) avec les αi de classe C 1 et on remplace Φ(t) dans E ce
i=1
αi Xi
avec
qui conduit au système
(α1 , ..., αn ) ∈ Kn
n
X
i=1
α0i (t)Xi (t) = B(t)
i=1
• Toute solution X de (E) s ’écrit sous la forme :
X = Xp +
n
X
• Le déterminant de ce dernier système est 6= 0 (puisque (X1 , ..., Xn ) est un système
complet) donc c’est un système de cramer, sa résolution permet de déterminer les α0i
• Il suffit alors de prendre une primitive de chaque α0i pour déterminer une solution
particulière Φ de E
αi Xi
i=1
avec (α1 , ..., αn ) ∈ Kn et Xp est une solution particulière de (E).
,→ Principe de superposition:
Lorsque B = αB1 + βB2 On peut chercher une solution particulière pour B1 comme
second membre puis une autre pour B2 comme second membre et appliquer le principe
de superposition suivant:
Recherche d’une solution particulière
Soient A : I → Mn (K)
continue et
P ro p o s i t i o n I . 2 ( P r i n c i p e d e s u p e r p o s i t i o n : )
B : I → Mn,1 (K) continue et
X 0 = A(t)X + B(t)
0
X = A(t)X
Soient
(E)
X 0 = A(t)X + B1 (t)
(H)
0
X = A(t)X + B2 (t)
,→ Méthode de variation des constantes:
Φ(t) =
(E2 )
Si X1 est solution particulière de (E1 ) et X2 solution particulière de (E2 ) alors αX1 +βX2
est solution particulière de
La méthode de la variation des constantes consiste, connaissant un système fondamentale
(X1 , ..., Xn ) des solutions de H, à chercher une solution particulière de (E) sous la forme:
n
X
(E1 )
X 0 = A(t)X + αB1 (t) + βB2 (t)
(E)
αi (t)Xi (t)
i=1
II. Systèmes différentiels linéaires homogènes à coefficients con-
où les αi sont des fonctions de classe C 1 sur I à valeurs dans K.
stants
P ro p o s i t i o n I . 1
Soit (X1 , ..., Xn ) un système fondamentale de H. Φ(t) =
n
X
Il s’agit des systèmes différentiels linéaires du type X 0 = AX où A ∈ Mn (K) est une
matrice carrée constante.
αi (t)Xi (t) est solution de
i=1
(E) si et seulement si
∀t ∈ I,
n
X
αi0 (t)Xi (t) = B(t)
i=1
R e m a rq u e s
Dans la pratique :
• On résout l’équation H et on détermine un système fondamentale (X1 , ..., Xn )
2
É q u a t i o n s d i f fé r e nt i e l l e s
Resumé de cours
1 Cas où la matrice est diagonalisable

α1

0

,→ Le système Y = DY lorsque D = 
III. Équations différentielles linéaires scalaires d’ ordre n
 0

y = α1 y1

 1

..
 est équivalent à
.



 y0 = α y
αn
n n
n

..
.
,→ On appelle équation différentielle linéaire d’ordre n à coefficients continues toute
équation différentielle de la forme
y (n) + an−1 y (n−1) + ... + a0 y = b(t)
ce qui donne, en résolvant chaque équation,
(E)
Où a0 , ..., an−1 et b sont des fonctions continues sur un intervalle I de R à valeurs
dans K
αi t
∀t ∈ R ∀i = 1, ..., n yi (t) = λi e
,→ La fonction b s’appelle le second membre de (E)
d’où
∀t ∈ R y(t) = (λ1 eα1 t , ..., λn eαn t ) =
n
X
λ i e αi t V i
,→ Si b = 0 on dit que l’équation (E) est homogène
i=1
,→ L’équation
où (V1 , ..., Vn ) est la base canonique de Rn
y (n) + an−1 y (n−1) + ... + a0 y = 0
(H) :
s’ appelle l’équation homogène associée à (E)
,→ Si A ∈ Mn (K) est diagonalisable, et (C1 , . . . , Cn ) est une base de vecteurs propres
de A de sorte que chaque Ci est associé à une valeur propre αi .
Posons ϕi : t 7→ eαi t Ci . Alors (ϕ1 , . . . , ϕn ) est un système fondamental de solutions
sur R de l’équation
X 0 = AX.
(E0 )
,→ Une solution de (E) sur I est une fonction y : I → K qui est de classe C n sur I
telle que
y (n) (t) + an−1 (t)y (n−1) (t) + ... + a0 (t)y(t) = b(t)
∀t ∈ I,
(E)
Autrement dit, les solutions de (E0 ) sont les fonctions du type
∀t ∈ R; X(t) =
n
X
αi t
µi e
Ci
où
,→ En posant

µi ∈ K
i=1
0


A(t) = 


−a0 (t)
2 Cas où A est trigonalisable
Si A est trigonalisable:
• On détermine P ∈ GLn (K) et T ∈ Mn (K) triangulaire supérieure telle que
P −1 AP = T
• Pour X ∈ C 1 I, Mn,1 (K) , on pose X = P Y . On a alors les équivalences

1
..
.
−a1 (t)
..
.
0
...




y(t)
0

 . 
 y 0 (t) 





 , B(t) =  ..  ; X(t) = 

..






 0 


.
1
−an−1 (t)
b(t)
y (n−1) (t)
L’équation différentielle (E) est équivalente sur I au système linéaire
X 0 = A(t)X + B(t)
(S)
,→ Le problème de Cauchy associe à (E) s’ écrit sous la forme :
(
y (n) + an−1 y (n−1) + ... + a0 y = b(t)
y (k) = yk
∀k ∈ {0, ..., n − 1}
X 0 = AX ⇐⇒ P Y 0 = AP Y ⇐⇒ Y 0 = P −1 AP Y ⇐⇒ Y 0 = T Y
• On résout, en remontant, le système triangulaire Y 0 = T Y pour déterminer Y
• On détermine X par X = P Y.
3
É q u a t i o n s d i f fé r e nt i e l l e s
Resumé de cours
• On prend une primitive de chaque αi0 pour obtenir une solution particulière Φ
de E
admet une unique solution sur I
,→ L’ensemble SH de l’équation homogène (H) est un espace vectoriel de dimension
n. Une base (Y 1, Y2 , . . . , Yn )de SH s’appelle un système fondamentale de solutions
de (H) et toute solution Y de (H) s ’écrit sous la forme :
Y=
n
X
αi Yi
avec
,→ Dans le cas n = 2 à coefficients constant E et H s’écrivent sous les formes
(E) : y 00 + αy 0 + βy = γ(t)
(α1 , ..., αn ) ∈ Kn
(H) : y 00 + αy 0 + βy = 0
avec γ : I → K continue et α, β ∈ K
i=1
•
L’équation différentielle (E) est équivalente sur I au système linéaire
,→ Si Yp est une solution particulière de (E) alors les solutions de (E) sont de la forme
∀t ∈ I; Y (t) = Yp (t) + YH (t)
où A =
où YH est la solution générale de (H). Si de plus (Y 1, Y2 , . . . , Yn ) est un système
fondamentale des solutions de (H) alors
∀t ∈ I; Y (t) = Yp (t) +
n
X
αi Yi (t)
avec
0
−β
X 0 = A(t)X + B(t)
!
!
!
1
0
y(t)
, B(t) =
et X(t) =
−α
γ(t)
y 0 (t)
• Le problème de Cauchy associé à (E) s’écrit
(
y 00 + αy 0 + βy = γ(t)
; t0 ∈ I; a, b ∈ K
y(t0 ) = a et y 0 (t0 ) = b
(α1 , ..., αn ) ∈ Kn
i=1
admet une unique solution sur I
,→ L’ensemble SE de l’équation homogène (E) est
• L’ensemble SH des solutions de H est espace vectoriel de dimension 2. Un
système fondamental de solutionsde (H) s’exprime en fonction des racines de
χA (λ) = λ2 + αλ + βappelée équation caractéristique, selon le tableau suivant,
où ∆ est le discriminant de χA
K
∆
y1 (t)
y2 (t)
racines de l’équation caractéristique
SE = Yp + SH = Yp + YH YH ∈ SH
On dit que S est un espace affine de direction SH
C
,→ Pour déterminer une solution particulière de (E) on applique la méthode de la
variation des constantes de la manière suivante :
C
R
• On résout l’équation H et on détermine un système fondamentale (Y1 , ..., Yn )
n
X
• On pose Φ(t) =
αi (t)yi (t) avec les αi de classe C 1 .
6= 0
eλ1 t
eλ1 t
λ1 , λ2 (distinctes)
=0
λ1 t
teλ1 t
λ1 (double)
λ1 t
λ1 t
λ1 , λ2 (distinctes, réelles)
λ1 t
λ1 (double, réelle)
>0
R
=0
R
<0
e
e
λ1 t
e
eut sin(vt)
e
te
eut cos(vt)
u ± iv (distinctes, non réelles, conjuguées)
i=1
• On résout le système
∀k = 0, ..., n − 2;
n
X
i=1
αi0 (t)yi (t) = 0; et
(k)
n
X
αi0 (t)yi
(n−1)
• Si (y1 , y2 ) est un système fondamental de solutions de (H), on cherche une
solution de (E) de la forme y(t) = α1 (t)y1 (t) + α2 (t)y2 (t) sous les conditions :
(
α10 (t)y1 (t) + α20 (t)y2 (t) = 0
(t) = b(t)
i=1
α10 (t)y10 (t) + α20 (t)y20 (t) = γ(t)
pour déterminer les αi0
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