Resum´e de cours ´
Equations diff´erentielles
I. ´
Equation diff´erentielles lin´eaires du premier ordre.
D´
e f i n i t i o n I.1 ( ´
E q u a t i o n d i f f ´e r e nt i e l l e l i n ´e a i r e d u p r e m i e r o r d r e )
→On appelle ´equation diff´erentiel lin´eaire du premier ordre toute toute ´equation de
la forme
X0=A(t)X(t) + B(t) (E)
o`u : A:I→Mn(K) et B:I→ Mn,1(K) sont continues et X:I→ Mn,1(K)
de classe C1est l’inconnue de l’´equation.
→Bs’appelle le second membre de l’´equation.
→Si B= 0 on dit que l’´equation est homog`ene.
→l’´equation (H) : X0=A(t)X,
est appel´ee ´equation homog`ene associ´e `a (E).
→On appelle solution de l’´equation diff´erentiel (E) toute fonction
X:I→ Mn,1(K)
t7→ X(t)
D´erivable sur Itelle que
∀t∈I, X0(t) = A(t)X(t) + B(t)
→En notant A= (ai,j )1≤i≤n
1≤j≤n
,et X:t7−→ X(t) = x1(t)
.
.
.
xn(t)!,
B:t7−→ X(t) = b1(t)
.
.
.
bn(t)!l’´equation diff´erentiel (E) est ´equivalente au syst`eme:
∀t∈I,
x0
1(t) = a1,1(t)x1(t) + a1,2(t)x2(t) + · · · +a1,n(t)xn(t) + b1(t)
x0
2(t) = a2,1(t)x1(t) + a2,2(t)x2(t) + · · · +a2,n(t)xn(t) + b2(t)
.
.
..
.
..
.
.
x0
n(t) = an,1(t)x1(t) + an,2(t)x2(t) + · · · +an,n(t)xn(t) + bn(t)
(S)
appel´e syst`eme diff´erentiel lin´eaire du premier ordre
→Le probl`eme de Cauchy associ´e `a l’ ´equation diff´erentielle du premier ordre (E) est
le syst`eme:
(X0=A(t)X(t) + B(t)
X(t0) = X0avec t0∈I, X0∈ Mn,1(K)(S0)
T h ´
e o r `
e m e I.1 (C a u c hy - l i n ´e a i r e )
Soit Iun intervalle de R,A∈C0I, Mn(K)et B∈C0I, Mn,1(K).Pour tout
(t0, X0)∈I× Mn,1(K), le probl`eme de Cauchy
(X0=A(t)X+B(t)
X(t0) = X0
admet une unique solution sur l’intervalle I
C o r o l l a i r e I.1.1
Si deux solutions sur Ide l’ ´equation diff´erentielle (E) co¨ıncident en un point de Ielles
sont ´egales sur I.
En particulier une solution de l’´equation homog`ene sur Iqui s’annule en un point de I
est identiquement nulle
T h ´
e o r `
e m e I.2 (S t r u c t u r e d e l ’ e n s e m b l e d e s s o l u t i o n s )
Soient A:I→Mn(K) et B:I→ Mn,1(K) sont continues
1. l’ ensemble SHdes solutions de (H) : X0=A(t)Xsur Iest un espace vectoriel
de dimension n.
2. Si Xpest une solution particuli`ere de (E) : X0=A(t)X+B(t) alors les solutions
de Esont de la forme
X(t) = XH(t) + Xp(t)
o`u XH(t) est la solution g´en´erale de l’´equation homog`ene Hassoci´ee. Ainsi l’
ensemble des solutions de (E) est
SE=Xp+SH=Xp+XHXH∈ SH
On dit que Sest un espace affine de direction SH
D´
e f i n i t i o n I.2 (syst`eme fondamental de solutions)
Une base (X1, X2,...,Xn) de SHest appel´ee syst`eme fondamental de solutions de (H)
C o r o l l a i r e I.2.1
Si (X1, X2,...,Xn)syst`eme fondamental de solutions de SHAlors
1
Resum´e de cours ´
Equations diff´erentielles
•Toute solution XHde (H) s ’´ecrit sous la forme :
XH=
n
X
i=1
αiXiavec (α1, ..., αn)∈Kn
•Toute solution Xde (E) s ’´ecrit sous la forme :
X=Xp+
n
X
i=1
αiXi
avec (α1, ..., αn)∈Knet Xpest une solution particuli`ere de (E).
Recherche d’une solution particuli`ere
Soient A:I→Mn(K) continue et B:I→ Mn,1(K) continue et
X0=A(t)X+B(t) (E)
X0=A(t)X(H)
→M´ethode de variation des constantes:
La m´ethode de la variation des constantes consiste, connaissant un syst`eme fondamentale
(X1, ..., Xn) des solutions de H, `a chercher une solution particuli`ere de (E) sous la forme:
Φ(t) =
n
X
i=1
αi(t)Xi(t)
o`u les αisont des fonctions de classe C1sur I`a valeurs dans K.
P r o p o s i t i o n I . 1
Soit (X1, ..., Xn) un syst`eme fondamentale de H. Φ(t) =
n
X
i=1
αi(t)Xi(t) est solution de
(E) si et seulement si
∀t∈I,
n
X
i=1
α0
i(t)Xi(t) = B(t)
R e m a r q u e s
Dans la pratique :
•On r´esout l’´equation Het on d´etermine un syst`eme fondamentale (X1, ..., Xn)
•On pose Φ(t) =
n
X
i=1
αi(t)Xi(t) avec les αide classe C1et on remplace Φ(t) dans Ece
qui conduit au syst`eme
n
X
i=1
α0
i(t)Xi(t) = B(t)
•Le d´eterminant de ce dernier syst`eme est 6= 0 (puisque (X1, ..., Xn) est un syst`eme
complet) donc c’est un syst`eme de cramer, sa r´esolution permet de d´eterminer les α0
i
•Il suffit alors de prendre une primitive de chaque α0
ipour d´eterminer une solution
particuli`ere Φ de E
→Principe de superposition:
Lorsque B=αB1+βB2On peut chercher une solution particuli`ere pour B1comme
second membre puis une autre pour B2comme second membre et appliquer le principe
de superposition suivant:
P r o p o s i t i o n I . 2 ( P r i n c i p e d e s u p e r p o s i t i o n : )
Soient
X0=A(t)X+B1(t) (E1)
X0=A(t)X+B2(t) (E2)
Si X1est solution particuli`ere de (E1) et X2solution particuli`ere de (E2) alors αX1+βX2
est solution particuli`ere de
X0=A(t)X+αB1(t) + βB2(t) (E)
II. Syst`emes diff´erentiels lin´eaires homog`enes `a coefficients con-
stants
Il s’agit des syst`emes diff´erentiels lin´eaires du type X0=AX o`u A∈Mn(K) est une
matrice carr´ee constante.
2
Resum´e de cours ´
Equations diff´erentielles
1 Cas o`u la matrice est diagonalisable
→Le syst`eme Y0=DY lorsque D=
α1
...
αn
est ´equivalent `a
y0
1=α1y1
.
.
.
y0
n=αnyn
ce qui donne, en r´esolvant chaque ´equation,
∀t∈R∀i= 1, ..., n yi(t) = λieαit
d’o`u
∀t∈Ry(t) = (λ1eα1t, ..., λneαnt) =
n
X
i=1
λieαitVi
o`u (V1, ..., Vn) est la base canonique de Rn
→Si A∈Mn(K) est diagonalisable, et (C1,...,Cn) est une base de vecteurs propres
de Ade sorte que chaque Ciest associ´e `a une valeur propre αi.
Posons ϕi:t7→ eαitCi. Alors (ϕ1,...,ϕn) est un syst`eme fondamental de solutions
sur Rde l’´equation
X0=AX. (E0)
Autrement dit, les solutions de (E0) sont les fonctions du type
∀t∈R;X(t) =
n
X
i=1
µieαitCio`u µi∈K
2 Cas o`u Aest trigonalisable
Si Aest trigonalisable:
•On d´etermine P∈GLn(K) et T∈Mn(K) triangulaire sup´erieure telle que
P−1AP =T
•Pour X∈C1I, Mn,1(K), on pose X=P Y . On a alors les ´equivalences
X0=AX ⇐⇒ P Y 0=AP Y ⇐⇒ Y0=P−1AP Y ⇐⇒ Y0=T Y
•On r´esout, en remontant, le syst`eme triangulaire Y0=T Y pour d´eterminer Y
•On d´etermine Xpar X=P Y.
III. ´
Equations diff´erentielles lin´eaires scalaires d’ ordre n
→On appelle ´equation diff´erentielle lin´eaire d’ordre n`a coefficients continues toute
´equation diff´erentielle de la forme
y(n)+an−1y(n−1) +... +a0y=b(t) (E)
O`u a0, ..., an−1et bsont des fonctions continues sur un intervalle Ide R`a valeurs
dans K
→La fonction bs’appelle le second membre de (E)
→Si b= 0 on dit que l’´equation (E) est homog`ene
→L’´equation
(H) : y(n)+an−1y(n−1) +... +a0y= 0
s’ appelle l’´equation homog`ene associ´ee `a (E)
→Une solution de (E) sur Iest une fonction y:I→Kqui est de classe Cnsur I
telle que
∀t∈I, y(n)(t) + an−1(t)y(n−1)(t) + ... +a0(t)y(t) = b(t) (E)
→En posant
A(t) =
0 1
......
0 1
−a0(t)−a1(t). . . −an−1(t)
, B(t) =
0
.
.
.
0
b(t)
;X(t) =
y(t)
y0(t)
.
.
.
y(n−1)(t)
L’´equation diff´erentielle (E) est ´equivalente sur Iau syst`eme lin´eaire
X0=A(t)X+B(t) (S)
→Le probl`eme de Cauchy associe `a (E) s’ ´ecrit sous la forme :
(y(n)+an−1y(n−1) +... +a0y=b(t)
y(k)=yk∀k∈ {0, ..., n −1}
3
Resum´e de cours ´
Equations diff´erentielles
admet une unique solution sur I
→L’ensemble SHde l’´equation homog`ene (H) est un espace vectoriel de dimension
n. Une base (Y1, Y2,...,Yn)de SHs’appelle un syst`eme fondamentale de solutions
de (H) et toute solution Yde (H) s ’´ecrit sous la forme :
Y =
n
X
i=1
αiYiavec (α1, ..., αn)∈Kn
→Si Ypest une solution particuli`ere de (E) alors les solutions de (E) sont de la forme
∀t∈I;Y(t) = Yp(t) + YH(t)
o`u YHest la solution g´en´erale de (H).Si de plus (Y1, Y2,...,Yn) est un syst`eme
fondamentale des solutions de (H) alors
∀t∈I;Y(t) = Yp(t) +
n
X
i=1
αiYi(t) avec (α1, ..., αn)∈Kn
→L’ensemble SEde l’´equation homog`ene (E) est
SE=Yp+SH=Yp+YHYH∈ SH
On dit que Sest un espace affine de direction SH
→Pour d´eterminer une solution particuli`ere de (E) on applique la m´ethode de la
variation des constantes de la mani`ere suivante :
•On r´esout l’´equation Het on d´etermine un syst`eme fondamentale (Y1, ..., Yn)
•On pose Φ(t) =
n
X
i=1
αi(t)yi(t) avec les αide classe C1.
•On r´esout le syst`eme
∀k= 0, ..., n −2;
n
X
i=1
α0
i(t)y(k)
i(t) = 0; et
n
X
i=1
α0
i(t)y(n−1)
i(t) = b(t)
pour d´eterminer les α0
i
•On prend une primitive de chaque α0
ipour obtenir une solution particuli`ere Φ
de E
→Dans le cas n= 2 `a coefficients constant Eet Hs’´ecrivent sous les formes
(E) : y00 +αy0+βy =γ(t) (H) : y00 +αy0+βy = 0
avec γ:I→Kcontinue et α, β ∈K
•L’´equation diff´erentielle (E) est ´equivalente sur Iau syst`eme lin´eaire
X0=A(t)X+B(t)
o`u A= 0 1
−β−α!,B(t) = 0
γ(t)!et X(t) = y(t)
y0(t)!
•Le probl`eme de Cauchy associ´e `a (E) s’´ecrit
(y00 +αy0+βy =γ(t)
y(t0) = aet y0(t0) = b;t0∈I;a, b ∈K
admet une unique solution sur I
•L’ensemble SHdes solutions de Hest espace vectoriel de dimension 2. Un
syst`eme fondamental de solutionsde (H) s’exprime en fonction des racines de
χA(λ) = λ2+αλ +βappel´ee ´equation caract´eristique, selon le tableau suivant,
o`u ∆ est le discriminant de χA
K∆y1(t)y2(t) racines de l’´equation caract´eristique
C6= 0 eλ1teλ1tλ1, λ2(distinctes)
C= 0 eλ1tteλ1tλ1(double)
R>0eλ1teλ1tλ1, λ2(distinctes, r´eelles)
R= 0 eλ1tteλ1tλ1(double, r´eelle)
R<0eut sin(vt)eut cos(vt)u±iv (distinctes, non r´eelles, conjugu´ees)
•Si (y1, y2) est un syst`eme fondamental de solutions de (H),on cherche une
solution de (E) de la forme y(t) = α1(t)y1(t) + α2(t)y2(t) sous les conditions :
(α0
1(t)y1(t) + α0
2(t)y2(t) = 0
α0
1(t)y0
1(t) + α0
2(t)y0
2(t) = γ(t)
4
1
/
4
100%
