Algèbre bilinéaire. Mohamed HOUIMDI

Algèbre bilinéaire
Mohamed HOUIMDI

TABLE DES MATIÈRES
1 Formes bilinéaires symétriques - Formes quadratiques 1
1.1 Formes bilinéaires symétriques ............................. 1
1.1.1 Définition et propriètés élémentaires ...................... 1
1.3.1 Matrice d’une forme bilinéaire ......................... 2
1.5.1 Rang d’une forme bilinéaire .......................... 4
1.7.1 Formes bilinéaires symétriques non dégénérées ................ 5
1.9.1 Orthogonalité .................................. 6
1.14.1 Bases orthogonales ............................... 9
1.18 Formes quadratiques .................................. 10
1.18.1 Définition et propriètés élémentaires ...................... 10
1.21.1 Méthode de Gauss pour la réduction d’une forme quadratique ........ 13
1.22 Signature d’une forme bilinéaire symétrique ...................... 18
1.22.1 bases orthonormales .............................. 18
1.25.1 Théorème d’inertie de Sylvestre ........................ 19
1.27 Exercices ........................................ 20
2 Espaces eucldiens 25
2.1 Produit scalaire ..................................... 25
2.1.1 Définition et propriètés élémentaires ...................... 25
2.3.1 Notations et règles de calcul .......................... 26
2.3.2 Utilisation des bases orthonormales ...................... 27
2.3.3 Procédé d’orthonormalisation de Gram-Schmidt ............... 28
2.5 Inégalité de cauchy-Schwartz .............................. 28
2.11 Changement de bases orthonormales - Orientation ................... 31
2.17 Produit vectoriel ..................................... 33
2.17.1 Formes linéaires d’un espace euclidien .................... 33
2.18.1 Définition et propriètés du produit vectoriel .................. 33
2.23 Exercices ........................................ 37
3 Endomorphismes d’un espace euclidiens 42
3.1 Endomorphisme adjoint ................................. 42
3.5 Projection orthogonale ................................. 44
3.5.1 Projection suivant une direction ........................ 44
3.7.1 Définition et propriètés d’une projection orthogonale ............. 45
3.10.1 Distance d’un point à un sous-espace vectoriel ................ 49
ii

3.13 Symétrie orthogonale .................................. 50
3.13.1 Symétrie suivant une direction ......................... 50
3.15.1 Propriètés des symétries orthogonales ..................... 51
3.18 Endomorphismes symétriques ............................. 52
3.18.1 Définition et propriètés des endomorphismes symétriques .......... 52
3.22.1 Formes bilinéaires symétriques d’un espace euclidien ............. 54
3.27 Endomorphismes orthogonaux ............................. 56
3.27.1 Définition et propriètés de base ......................... 56
3.32.1 Cas d’un espace euclidien de dimension 2 ................... 59
3.33.1 Cas d’un espace euclidien de dimension 3 ................... 60
3.35.1 Cas général ................................... 63
3.38 Exercices ........................................ 65
4 Espaces hermitiens 75
Page iii sur 75 Pr.Mohamed HOUIMDI

CHAPITRE 1
FORMES BILINÉAIRES SYMÉTRIQUES -
FORMES QUADRATIQUES
1.1 Formes bilinéaires symétriques
1.1.1 Définition et propriètés élémentaires
Soit Eun K-espace vectoriel, où Kest un corps commutatif quelconque.
a) On dit qu’une application f:E×E−→ Kest une forme bilinéaire sur E, si
i) Pour tout y∈E, (yfixé), l’application,
ϕy:E−→ K
x7−→ ϕy(x) = f(x,y)
est une forme linéaire sur E.
ii) Pour tout x∈E, (xfixé), l’application,
ϕx:E−→ K
y7−→ ϕx(y) = f(x,y)
est une forme linéaire sur E.
b) Une forme bilinéaire fsur Eest dite symétrique, si
∀x∈E,∀y∈E,f(y,x) = f(x,y)
c) Une forme bilinéaire fsur Eest dite antisymétrique, si
∀x∈E,∀y∈E,f(y,x) = −f(x,y)
Définition 1.2.
Remarque 1.2.1
1. Si f est une forme bilinéaire quelconque, alors
∀x∈E,∀y∈E,f(x+y,x+y) = f(x,x) + f(x,y) + f(y,x) + f(y,y)
∀α∈K,∀β∈K,∀x∈E,∀y∈E,f(αx,βy) = αβ f(x,y)
1

2. Si f est une forme bilinéaire symétrique, alors
∀x∈E,∀y∈E,f(x+y,x+y) = f(x,x) + 2f(x,y) + f(y,y)
3. Si f est antisymétrique, alors
∀x∈E,f(x,x) = 0
Notations
On désigne par L2(E)l’ensemble de toutes les formes linéaires sur E, S2(E)l’ensemble de toutes les
formes bilinéaires symétriques sur E et A2(E)celui de toutes les formes bilinéaires antisymétriques
sur E
Soit Eun K-espace vectoriel quelconque, alors
i) L2(E)est un K-espace vectoriel.
ii) Si Kest un corps de caractéristique 6=2, alors L2(E) = S2(E)LA2(E)
Proposition 1.3.
Preuve
i) Il est facile de vérifier que la somme de deux formes linéaires et la multiplication d’une forme
linéaire par un scalaire sont aussi des formes linéaires, donc L2(E)est un sous-espace vectoriel
du K-espace vectoriel de toutes les applications de E ×E vers K.
ii) Remarquons d’abord que si K est un corps de caractéristique =2, alors 1K=−1K, donc dans ce
cas S2(E) = A2(E).
Supposons, maintenant que K est un corps de caractéristique 6=2. Soit f une forme bilinéaire
qui est à la fois symétrique et antisymétrique, alors on aura
∀(x,y)∈E×E,f(x,y) = f(y,x)et f (x,y) = −f(y,x)
Donc ∀(x,y)∈E×E,2Kf(x,y) = 0K, puisque 2K6=0K, alors on a,
∀(x,y)∈E×E,f(x,y) = 0K
Donc S2(E)TA2(E) = {0}.
Soit f ∈L2(E)et soient g et h les applications de E ×E vers K définies par
∀(x,y)∈E×E,g(x,y) = f(x,y) + f(y,x)
2et h(x,y) = f(x,y)−f(y,x) 2
Alors, il est facile de vérifier que g est bilinéaire symétrique, que h est bilinéaire antisymétrique
et que f =g+h. Donc L2(E) = S2(E) + A2(E).
Dans toute la suite, sauf indication du contraire, on suppose que Kest un corps commutatif de carac-
téristique 6=2.
1.3.1 Matrice d’une forme bilinéaire
Soient Eun K-espace vectoriel de dimension finie =n,(e1,e2,...,en)une base de Eet f
une forme bilinéaire sur E. On dit qu’une matrice A= (ai j)1≤i,j≤nest la matrice de fpar
rapport à la base (e1,e2,...,en), si
∀(i,j)∈ {1,2,...,n}2,ai j =f(ei,ej)
Définition 1.4.
Page 2 sur 75 Pr.Mohamed HOUIMDI