solution exercices-de-mouvement-de-rotation-dun-solide-autour-dun-axe-fixe

Lycée Ibn hazm physique cours :18
Mouvement de rotation autour d’un axe fixe
ZEGGAOUI EL MOSTAFA
Exercice_1
l’équation horaire d’un point matériel M appartenant à un corps solide en rotation autour d’un axe fixe
est :
2
(t) 10t 6t
θ = +
; avec t(s) et
(rad)
θ
1) calculer la vitesse angulaire du point M à l’instant t = 5 s.
2) Calculer la vitesse angulaire du point M.
Solution
1) faisons d’abord la dérivée de l’équation horaire par
rapport au temps, puis remplaçons t par 5s
.
d20t 6 (rad / s)
dt
(t 5s) 20 5 6 106 rad / s
θ
ω= θ= = +
ω = = × + =
2) de même pour l’accélération, faisons la dérivée de la vitesse angulaire
par rapport au temps, puis remplaçons t s’il existe par 5s.
2
..
2
2
d d
20rad / s
dt dt
ω θ
θ = = =
on remarque que l’accélération angulaire ne dépend pas du temps. Donc le mouvement de M est
circulaire uniformément varié
Exercice_2
Soit le système mécanique (S) formé de :
-- une poulie homogène (D) de rayon r et de masse
0
m
, pouvant tourner
autour de son axe de symétrie
( )
∆
et horizontal.
-- un corps (C) de masse m.
-- un fil (f) inextensible, de masse négligeable et ne glisse pas sur la gorge
de la poulie, son autre extrémité est fixée au corps (C).
On place le corps (C) sur un plan incliné d’un angle
α
par rapport
à l’horizontal.
On libère le système (S), on observe que le corps (C) glisse sans frottement
sur le plan incliné vers le bas, la poulie tourne autour de son axe fixe
( )
∆
Donnée : le moment d’inertie de la poulie est :
2
0
1
m .r
2
1) Trouver l’expression de l’accélération du centre d’inertie G du corps (C) en fonction de
0
g , , m , m et r
α
2) déduire la nature du mouvement du corps (C).
Solution
1) Repère
(O,i, j)
système {poulie (D)}
Inventaire des forces extérieures
0
P
le poids de la poulie
0
R
l’action de l’axe
( )
∆
sur la poulie
0
F
la force exercée par le fil (f) sur la poulie
La relation fondamentale de la dynamique
..
0 0 0
M (P ) M (R ) M (F ) J
∆ ∆ ∆ ∆
+ + = θ
, en choisissant un sens positif
0 0
M (P ) M (R ) 0
∆ ∆
= =
, car
0 0
P et R
se coupent avec l’axe
( )
∆
0 0
0
M (F ) F .r (F
∆=
est tangentielle à la poulie)
D’où
..
T T
a r. a , a
= θ =
l’accélération tangentielle d’un point M de la gorge de la poulie ;

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Mouvement de rotation autour d’un axe fixe
ZEGGAOUI EL MOSTAFA
(a) l’accélération du centre d’inertie G du corps (C).
Donc
..
a
r
θ =
; car le fil est inextensible ;
0
a
F .r J . (a)
r
∆
=
Système étudié : {corps (C)}
inventaire des fores extérieures :
P
: le poids du corps (C).
R
: la réaction du plan incliné sur le corps (C).
F
: la force exercée par le fil sur le corps (C)
La relation fondamentale de la dynamique
P R F ma
+ + =
projetons sur l’axe (Ox) ;
x
Fx Rx Px ma
+ + =
x
Px mg sin ; Rx 0 ; Fx F ; a a
mgsin F m.a F m( a g.sin ) (b)
= α = = − =
α− = ⇒ = − + α
puisque la masse du fil est négligeable, alors
0
F F
=
D’après (a) et (b)
2
a
m.a m.g.sin J .
r
∆
⇒ − + α =
, avec
2
0
1
J m .r
2
∆
=
0 0
0
m .a m
m.a m.g.sin a. m.a m.g.sin
2 2
m
a(m ) m.g.sin
2
− + α = ⇒+ = α
+ = α
0 0
m.g.sin g.sin
a
m m
m 1
2 2m
α α
= =
+ +
2) On remarque que l’accélération (a) du centre d’inertie G du corps (C) est constante, donc le
mouvement du corps (C) est rectiligne uniformément varié (accéléré).
Exercice_3 choisir l’hypothése exacte, parmi ces hypothéses
1) La relation entre la vitesse linéaire et la vitesse angulaire :
.2
. .
V V
a) V ; b) ; c)
r r r
θ
= θ = θ =
2) L’expression de l’accélération angulaire est
. .
.. .. ..
d ds d
a) ; b) ; c)
dt dt dt
θ θ
θ = θ = θ =
3) l’unité de l’accélération angulaire en (S.I) est :
2 1 2 1
a)rad .s ; b)rad.s ; c)rad.s
− − −
4) la relation fondamentale de la dynamique, dans le cas de la rotation autour d’un axe fixe est :
.. .. ..
i i i i
a) M (F ) m. ; b) F J . ; c) M (F ) J .a ; d) M (F ) J .
∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆
= θ = θ = = θ
∑ ∑ ∑ ∑
5) l’unité du moment d’inertie d’un corps solide en (S.I) est :
2 2
a)kg.m ; b)kg.m ; c)kg .m
Solution
1) la réponse exacte
.
V
r
θ =
2) la réponse exacte
.
..
d
dt
θ
θ =
3) la réponse exacte
2
rad.s
−
4) la réponse exacte
..
i
M (F ) J .
∆ ∆
= θ
∑
5) la réponse exacte
2
kg.m
−

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Mouvement de rotation autour d’un axe fixe
ZEGGAOUI EL MOSTAFA
Exercice_4
1) La vitesse angulaire d’un point M d’un corps solide en rotation autour d’un axe fixe est
.
1
10rad.s
−
θ =
1.1) calculer l’accélération angulaire de ce point
1.2) Quelle est la nature du mouvement du point M ?
1.3) Ecrire l’expression de l’abscisse angulaire
θ
en fonction du temps, sachant que l’abscisse angulaire
à l’instant t = 0 est
0
2rad
θ =
2) l’expression de l’abscisse angulaire d’un point N d’un corps solide en rotation autour d’un axe fixe
est :
2
(t) 10t 40t 6
θ = + +
avec t(s) et
(rad)
θ
2.1) Trouver l’expression de la vitesse angulaire en fonction du temps.
2.2) trouver l’expression de l’accélération angulaire en fonction du temps.
2.3) Quelle est la nature du mouvement du point N ?
Réponse :
..
1) 1.1) 0 ; 1.2) mouvement circulaire;1.3) (t) 1
0t 2
θ = θ = +
. .. 2
2)2.1) (t) 20t 40;2.2) 20rad.s ;mouvement circ
ulaire uniformément var ié
−
θ = + θ =
Solution
1) 1.1) Comme la vitesse angulaire
.
1
10rad.s
−
θ =
est constante, alors
.
..
d
0
dt
θ
θ = =
1.2) Le mouvement est circulaire uniforme ;
. .
te
0
dC .t
dt
θ
θ = = ⇒ θ = θ + θ
;
(rad) 10t 2
θ = +
avec t(s)
2.1) La vitesse angulaire
. .
d
20t 40 (rad / s)
dt
θ
θ = ⇒ θ = +
2.2) l’accélération angulaire
.2
..
2
2
d d
20 (rad / s )
dt dt
θ θ
θ = = =
2.3) Puisque
..
te
C
θ =
, mouvement circulaire uniformément varié.
Exercice_5
Un disque homogène de masse m= 200 g et de rayon r = 5 cm ; pouvant tourner autour d’un axe
( )
∆
Au départ, le disque est au repos, on lui applique un couple de deux forces, son moment M est constant.
Ce qui permet au disque de tourner autour de l’axe
( )
∆
. Après, une minute la vitesse angulaire
.
θ
du disque prend la valeur de 5 rad/s ; à ce moment on supprime le couple motrice.
On considère tous les frottements négligeables. Le moment du disque
2
1
J mr
2
∆
=
1) Calculer le moment d’inertie du disque
J
∆
, par rapport à l’axe
( )
∆
2) Montrer que l’accélération angulaire du disque reste constante pendant la durée de l’application du
couple motrice. Calculer sa valeur.
3) Calculer la valeur de (M), le moment du couple motrice.
4) Quelle est la nature du mouvement du disque, après avoir supprimé le couple motrice ? Justifier votre
réponse.
Solution
1) le moment d’inertie
2 2 4 2
1
J mr 0.5 0.2 (0.05) 2.5 .10 kg.m
2
−
∆
= = × × =

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ZEGGAOUI EL MOSTAFA
2) Repère terrestre
Système {disque}
Inventaire des forces extérieures
P
poids du disque
R
la réaction de l’axe de rotation
M le moment du couple motrice des deux forces
La relation fondamentale de la dynamique
..
ext
M (F ) M (P) M (R) M J .
∆ ∆ ∆ ∆
= + + = θ
∑
M (P) M (R) 0
∆ ∆
= =
, car
Pet R
se coupent avec l’axe de rotation
..
te
M
C
J
∆
θ = =
; alors le mouvement de rotation est uniformément varié.
l’équation horaire de la vitesse angulaire
. .. . .
0 0
t;0
θ = θ + θ θ =
, car le disque à t = 0 était au repos .
.
..
2 2
5
8.33 .10 rad.s
t 60
− −
θ
θ = =
3) Le moment du couple motrice
..
M J .
∆
= θ
4 2 5
M 2.5 .10 8.33 .10 2.08 .10 N.m
− − −
= × =
4) dans ce cas le corps est pseudo-isolé, donc son mouvement est de rotation uniforme avec la vitesse
angulaire
.
1
5 rad.s
−
θ =
Exercice_6
Un anneau (cerceau) de moment d’inertie
J
∆
tourne autour de son axe
( )
∆
avec une vitesse de 90 tours
par minute. Pour arrêter l’anneau on lui applique un moment de freinage de moment
C
M
constant,
jusqu’à ce qu’il s’arrête.
C
M 0.2N.m
= −
, on néglige les frottements.
1) Quelle est la nature du moment de l’anneau avant et après l’application du couple de freinage ?
2) Calculer l’accélération angulaire
..
θ
de l’anneau lors de l’application du couple de freinage, sachant
que
3 2
J 8 .10 kg.m
−
∆
=
3) calculer la durée
t
∆
qu’a durée le freinage.
Réponse :
.. .. 2
M
2) ; 25.0rad.s ; 3) t 377ms
J
−
∆
∆
θ = θ = − ∆ =
Réponse
1) – avant l’application du couple de freinage, le mouvement de l’anneau est
de rotation uniforme
-- après l’application du couple de freinage, l’accélération de l’anneau
est
..
Mc
0
J
∆
θ = <
, donc le mouvement est de rotation uniformément varié
2)
..
2
3
Mc 0.2
25 rad.s
J8 .10
−
−
∆
−
θ = = = −
3) L’équation horaire de la vitesse

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Mouvement de rotation autour d’un axe fixe
ZEGGAOUI EL MOSTAFA
. .. .
i
. t
θ = θ ∆ + θ
, à la fin
.
0
θ =
Donc
..
i
1
i
..
90 2
t , avec 9.42rad.s
60
−
−θ × π
∆ = θ = =
θ
9.42
t 377ms
25
∆ = =
Remarque : la deuxième méthode, utilisation du théorème d’énergie cinétique
Exercice_7
On néglige les frottements et on prend
2
g 9.8 m.s
−
=
On attire un jouet par un fil inextensible et de masse négligeable, enroulé sur
un cylindre de masse
C
m 250g
=
et de rayon r = 6 cm.
le cylindre tourne autour de son axe à l’aide d’un moteur appliquant
un couple de moment constant M.
le jouet se trouvant sur un plan incliné d’un angle
30
α = °
par
rapport à l’horizontal, de longueur OA = 2 m. La masse du jouet
S
m 400g
=
1) calculer l’intensité de la force avec laquelle il faut attirer
le jouet pour lui communiquer une accélération
2
a 0.5m.s
−
=
2) Ecrire l’équation horaire du mouvement du centre d’inertie G du jouet, sachant que sa vitesse initiale
est nulle à l’instant t = 0 à l’origine du repère
(O,i, j)
3) A quelle distance de O il faut couper le fil pour que le jouet puisse s’arrêter avec une vitesse nulle au
point A ?
4) Calculer le moment d’inertie
J
∆
du cylindre, déduire la valeur de M.
Solution
1) Repère terrestre
(O,i, j,k)
Système {jouet}
Inventaire des forces extérieures
P
le poids du jouet
R
la réaction du plan incliné
T
la tension du fil
La deuxième principe de Newton
S
P R T m .a
+ + =
Projection sur l’axe (O,x)
S S S
T m .g.sin m .a T m (a g.sin )
− α = ⇒ = + α
Application numérique
T 0.4 (0.5 9.8 sin 30 ) 21.17 N
= × + × ° =
2) Puisque
te
a C
=
; le mouvement du jouet est rectiligne uniformément accéléré.
2
0x 0 0x 0
a
x t V .t x , à t 0 , V 0 et x 0
2
= + + = = =
Donc
2
x 0.25t
=
3) Supposons B le point où il faut couper le fil
Donc cherchons
B
V
avec deux méthodes différentes :
-- Entre O et B