v - Physique

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Chapitres 5, 7
Rotation d’un corps rigide autour d’un axe.
1. Introduction
Mouvement de rotation :
Pour se représenter un solide en rotation, on peut imaginer une roue tournant autour d’un axe
fixe; on appelle ce type de mouvement une rotation pure; ceci exclut le roulement de la roue.
Application pratique du mouvement de rotation pure.
Dans certaines usines, on utilise des volants d’inertie pour emmagasiner de l’énergie cinétique.
Un volant d’inertie est une roue massive tournant autour d’un axe fixe que l’on fait tourner à
grande vitesse. On peut ainsi emmagasiner de grandes quantités d’énergie pour une utilisation
ultérieure.
2. Variables angulaires (ou variables de rotation) et variables linéaires s, v, a (ou variables
de translation).
Comme l’illustre la figure 1, tous les points du solide ont pendant un intervalle de temps donné
le même déplacement angulaire, alors qu’ils ont des déplacements linéaires différents. D’où
l’intérêt d’utiliser les variables angulaires pour décrire la rotation d’un solide.
Déplacement angulaire : en radian (rad)
r
s
s le déplacement linéaire est la longueur d’un arc de cercle(voir figures 1 et 2)
On l’appelle s pour le distinguer de x ou y qui une position sur un axe.
Vitesse angulaire : en rad/s
r
v
Accélération angulaire : en rad/s2
r
a
Dans ce chapitre, on ne considère pas
l’accélération centripète
r’
r
A
A’
B’
B
s’
s
r
s
r
s
Le point A décrit un arc de cercle de
longueur s et de rayon r.
Le point A’décrit un arc de cercle de
longueur s’ et de rayon r’.
Par contre tous les points ont le même
déplacement angulaire.
Figure 1
C
C est le centre du solide par où passe l’axe
de rotation
Figure 2
s
v
v
a
r
C
a

2
Tableau 1: comparaison des variables linéaires et angulaires
Variables linéaires
Variables angulaires
symbole
unité
symbole
unité
Déplacement
linéaire
s
m
Déplacement
angulaire
r
s
rad
Vitesse linéaire
v
m/s
Vitesse
angulaire
r
v
rad/s
Accélération
linéaire
a
m/s2
Accélération
angulaire
r
a
rad/s2
3. Équations du mouvement à accélération constante (tableau 2)
Équation du mouvement linéaire à accélération
constante
Équations du mouvement de rotation à
accélération constante
0
vatv
0
 t
tvt
a
s0
2
2
tt 0
2
2
savv 2
2
0
2
2
2
0
2
t
vv
s 2
0
t 2
0
Autre unité pou la vitesse angulaire : le tour/min ou rpm :   
On peut aussi définir l’accélération moyenne et la vitesse moyenne dans le cas de la rotation :
Vitesse angulaire moyenne Accélération angulaire moyenne
if
if
moy tt
if
if
tt
4. Centre de masse (CM)
En général mais pas nécessairement, la rotation d’un solide se fait autour de son centre de masse
Le centre de masse(CM) d’un solide peut être défini intuitivement comme la position moyenne des
particules formant le solide. Donc pour un solide symétrique, le CM est le centre de symétrie du
solide. Par exemple pour des solides tels un disque, une sphère, un cylindre la figure 3 indique la
position du CM.
CM
CM
CM
Disque
Figure 3
Cylindre
Sphère

3
5. Moments d’inertie de solides simples de masse m
On appelle I le moment d’inertie du solide. I dépend de la masse totale du solide mais aussi de la
répartition de cette masse autour de l’axe de rotation. Les masses proches de l’axe contribuent peu
au moment d’inertie, alors que les masses éloignées contribuent beaucoup.
Le moment d’inertie joue dans le mouvement de rotation un rôle analogue à la masse dans le
mouvement de translation. On donne parfois le nom d’inertie de rotation au moment d’inertie et
inertie de translation à la masse.
Rotation autour d’un axe de symétrie passant par le CM
Tige de longueur L
12
2
mL
Cylindre ou disque plein
2
2
1mR
Anneau ou cylindre creux
2
mR
Sphère
Pleine
2
5
2mR
Creuse
2
3
2mR
Rotation autour d’un axe passant par l’extrémité
Tige de longueur L
3
2
mL
L
R
R
R
L

4
6. Moment de force et 2ème loi de Newton.
Pour qu’une force soit efficace pour faire tourner un corps
solide, elle doit remplir deux conditions :
(i)Son point d’application doit être à une certaine distance r de
l’axe de rotation. Si r = 0 dans la figure 9, la force
F
est
inefficace pour faire tourner le corps.
(ii) Sa direction ne doit pas passer par l’axe de rotation
La force
II
F
est inefficace pour faire tourner le corps car sa
direction passe par l’axe de rotation.
L’efficacité d’une force à faire tourner un corps s’appelle
moment de force :
Définition :
rFMF
Signe du moment de force : on choisit arbitrairement un sens positif de rotation(horaire ou anti-
horaire).Les forces qui ont tendance à faire tourner dans le sens positif ont un moment de force
positif ; les autres ont un moment de force négatif.
L’unité du moment de force est le N.m ou le lb.pi
Appelons
ext
M
la somme des moments de force externes qui s’exercent sur le solide.
IM ext 
Deuxième loi de Newton pour la rotation
I est le moment d’inertie.
On désigne aussi par
net
M
la somme des moments de force externes (
extnet MM 
).
La deuxième loi de Newton pour la rotation s’écrit aussi :
IMnet 
Résolution générale des problèmes de dynamique
Dans les cas de mouvement de rotation combiné à un mouvement de translation, on aura à utiliser
les équations suivantes :
aF  m
Deuxième loi de Newton pour la translation
IM ext 
Deuxième loi de Newton pour la rotation
7. Travail et énergie dans le mouvement de rotation.
L’énergie cinétique de rotation d’un solide s’écrit :
2
2
1
IE rotK 
I est le moment d’inertie.
Attention : si le solide roule en même temps qu’il tourne, il faut ajouter un terme pour l’énergie
cinétique de translation
2
2
1mvEtransK 
.Notez les rôles analogues joués par v et d’une part, et par
m et I d’autre part.
Travail d’une force dans le mouvement de rotation.
  avec  
Figure 4
II
F
F
F
r
C
II
F
F
r
F

5
Théorème de l’énergie cinétique :
     (1ère forme)
 (2ème forme)
Puissance :
Exemple de translation et rotation simultanée (2 objets)
Une corde est attachée à une caisse de masse m et est enroulée autour d’une poulie de rayon R et
de moment d’inertie I. La vitesse initiale est nulle et il n’y a pas de frottement, quelle est la
vitesse angulaire finale de la poulie.
ImR
hmg
hmgIRm
hmgImv
EEE ProtKtransK
2
2
222
22
2
2
1
2
1
00
2
1
0
2
1
0
v
h
m
Figure 6
Figure 5