v - Physique

Chapitres 5, 7
Rotation d’un corps rigide autour d’un axe.
1. Introduction
Mouvement de rotation :
Figure 1
Le point A décrit un arc de cercle de
longueur s et de rayon r.
Le point A’décrit un arc de cercle de
longueur s’ et de rayon r’.
Par contre tous les points ont le même
déplacement angulaire. 
B’
s’
B
r’
r

C
s
A
A’

s s

r r
C est le centre du solide par où passe l’axe
de rotation
Pour se représenter un solide en rotation, on peut imaginer une roue tournant autour d’un axe
fixe; on appelle ce type de mouvement une rotation pure; ceci exclut le roulement de la roue.
Application pratique du mouvement de rotation pure.
Dans certaines usines, on utilise des volants d’inertie pour emmagasiner de l’énergie cinétique.
Un volant d’inertie est une roue massive tournant autour d’un axe fixe que l’on fait tourner à
grande vitesse. On peut ainsi emmagasiner de grandes quantités d’énergie pour une utilisation
ultérieure.
2. Variables angulaires (ou variables de rotation) et variables linéaires s, v, a (ou variables
de translation).
Comme l’illustre la figure 1, tous les points du solide ont pendant un intervalle de temps donné
le même déplacement angulaire, alors qu’ils ont des déplacements linéaires différents. D’où
l’intérêt d’utiliser les variables angulaires pour décrire la rotation d’un solide.
Déplacement angulaire :  en radian (rad)
s

s le déplacement linéaire est la longueur d’un arc de cercle(voir figures 1 et 2)
r
On l’appelle s pour le distinguer de x ou y qui une position sur un axe.
Vitesse angulaire :  en rad/s
Figure 2
v


v
r
s

Accélération angulaire :  en rad/s2
a

a
a

r


r
v
Dans ce chapitre, on ne considère pas
C
l’accélération centripète
1
Tableau 1: comparaison des variables linéaires et angulaires
Variables linéaires
Variables angulaires
symbole
unité
symbole
Déplacement
linéaire
s
m
Déplacement
angulaire
Vitesse linéaire
v
m/s
Vitesse
angulaire
Accélération
linéaire
a
m/s2
Accélération
angulaire
unité
rad
s
r
 
rad/s
v
r
a
 
r
 
rad/s2
3. Équations du mouvement à accélération constante (tableau 2)
Équation du mouvement linéaire à accélération
Équations du mouvement de rotation à
constante
accélération constante
v  at  v0
   t  0

a
s  t 2  v0t
  t 2  0t
2
2
2
2
2
v  v0  2a s
   0 2  2  
   0 
t
 2 
 v  v0 
s
t
 2 
 
Autre unité pou la vitesse angulaire : le tour/min ou rpm :
On peut aussi définir l’accélération moyenne et la vitesse moyenne dans le cas de la rotation :
Vitesse angulaire moyenne
Accélération angulaire moyenne
  f  i 

  

t

t
i 
 f
  f  i 

 moy  

t

t
i 
 f
4. Centre de masse (CM)
En général mais pas nécessairement, la rotation d’un solide se fait autour de son centre de masse
Le centre de masse(CM) d’un solide peut être défini intuitivement comme la position moyenne des
particules formant le solide. Donc pour un solide symétrique, le CM est le centre de symétrie du
solide. Par exemple pour des solides tels un disque, une sphère, un cylindre la figure 3 indique la
position du CM.
Figure 3
CM
Cylindre
CM
CM
Sphère
Disque
2
5. Moments d’inertie de solides simples de masse m
On appelle I le moment d’inertie du solide. I dépend de la masse totale du solide mais aussi de la
répartition de cette masse autour de l’axe de rotation. Les masses proches de l’axe contribuent peu
au moment d’inertie, alors que les masses éloignées contribuent beaucoup.
Le moment d’inertie joue dans le mouvement de rotation un rôle analogue à la masse dans le
mouvement de translation. On donne parfois le nom d’inertie de rotation au moment d’inertie et
inertie de translation à la masse.
Rotation autour d’un axe de symétrie passant par le CM
mL2
12
Tige de longueur L
L
R
1
mR 2
2
Cylindre ou disque plein
R
Anneau ou cylindre creux
mR 2
2
mR 2
5
2
mR 2
3
Pleine
Sphère
Creuse
R
Rotation autour d’un axe passant par l’extrémité
Tige de longueur L
mL2
3
3
L
6. Moment de force et 2ème loi de Newton.
Pour qu’une force soit efficace pour faire tourner un corps
Figure 4
solide, elle doit remplir deux conditions :
(i)Son point d’application doit être à une certaine distance r de



F
F
l’axe de rotation. Si r = 0 dans la figure 9, la force F est
inefficace pour faire tourner le corps.

FII
C r
(ii) Sa direction ne doit pas passer par l’axe de rotation

La force FII est inefficace pour faire tourner le corps car sa
direction passe par l’axe de rotation.
L’efficacité d’une force à faire tourner un corps s’appelle
moment de force  :
Définition : M F   F r
Signe du moment de force : on choisit arbitrairement un sens positif de rotation(horaire ou antihoraire).Les forces qui ont tendance à faire tourner dans le sens positif ont un moment de force
positif ; les autres ont un moment de force négatif.
L’unité du moment de force est le N.m ou le lb.pi
Appelons M ext la somme des moments de force externes qui s’exercent sur le solide.
M
ext
 I
Deuxième loi de Newton pour la rotation
I est le moment d’inertie.
On désigne aussi par M net la somme des moments de force externes ( M net  M ext ).
La deuxième loi de Newton pour la rotation s’écrit aussi : M net  I
Résolution générale des problèmes de dynamique
Dans les cas de mouvement de rotation combiné à un mouvement de translation, on aura à utiliser
les équations suivantes :


F  ma
Deuxième loi de Newton pour la translation
 M ext  I Deuxième loi de Newton pour la rotation
7. Travail et énergie dans le mouvement de rotation.
L’énergie cinétique de rotation d’un solide s’écrit :
EK rot 
1 2
I
2
I est le moment d’inertie.
Attention : si le solide roule en même temps qu’il tourne, il faut ajouter un terme pour l’énergie
1
cinétique de translation EK trans  mv 2 .Notez les rôles analogues joués par v et  d’une part, et par
2
m et I d’autre part.


F
F
Travail d’une force dans le mouvement de rotation.
avec
r
4

FII
Théorème de l’énergie cinétique :
(1ère forme)
(2ème forme)
Figure 5
Puissance :
Exemple de translation et rotation simultanée (2 objets)
Une corde est attachée à une caisse de masse m et est enroulée autour d’une poulie de rayon R et
de moment d’inertie I. La vitesse initiale est nulle et il n’y a pas de frottement, quelle est la
vitesse angulaire finale de la poulie.
E K trans  E K rot  E P  0 


m
Figure 6

 



1
1
mv 2  0  I 2  0  mgh  0
2
2
1
1
m 2 R 2  I 2  mgh
2
2
2mgh
2  
mR 2  I

v
h

5
