pdf - Nicolas Jacon

Licence Math´ematiques 2`eme ann´ee 1er semestre
COURS D’ALG` EBRE
Nicolas JACON
Universit´e de Franche Comt´e

Table des mati`eres
1 Rappels d’Alg`ebre lin´eaire 6
1.1 Espacesvectoriels ........................ 6
1.2 Base d’un espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3 Exemples fondamentaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2 Applications lin´eaires 14
2.1 Premi`eres d´efinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2 Somme directe de sous-espaces . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2.A Somme directe de deux sous-espaces . . . . . . . . . . 17
2.2.B Somme directe de plusieurs sous-espaces vectoriels . . 21
2.3 Applications lin´eaires et matrices . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.3.A Matrice d’une application lin´eaire . . . . . . . . . . . . 25
2.3.B Changement de bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.3.C Cas particulier des endomorphismes . . . . . . . . . . 32
2.4 Rang d’une application lin´eaire . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.4.A D´efinition......................... 32
2.4.B Propri´et´es......................... 33
2.4.C Matrices simples d’une application lin´eaire . . . . . . . 34
2.5 Dualit´e .............................. 36
2.5.A Les formes lin´eaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.5.B L’espace dual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3 Endomorphismes 39
3.1 La structure d’alg`ebre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.1.A D´efinition d’une alg`ebre . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.1.B Polynˆomes dans une alg`ebre . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.1.C El´ements nilpotents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.2 Propri´et´es de Mn(K)....................... 42
3.2.A Trace d’une matrice et d’un endomorphisme . . . . . . 42
3.2.B Produit par blocs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.3 R´eduction de quelques endomorphismes remarquables . . . . 43
3.3.A Projecteurs ........................ 43
3.3.B Sym´etries ......................... 45
2

3.3.C Homoth´eties ....................... 47
3.3.D Rotations ......................... 47
3.3.E Endomorphismes nilpotents . . . . . . . . . . . . . . . 48
4 Le groupe sym´etrique 50
4.1 Permutations, transpositions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.2 Signature d’une permutation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
5 Le d´eterminant 55
5.1 Le cas de la dimension 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
5.1.A D´eterminant d’une matrice de taille 2 ×2 ....... 55
5.1.B Cas de deux vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
5.1.C Premi`eres propri´et´es du d´eterminant . . . . . . . . . . 57
5.1.D Les formes bilin´eaires altern´ees . . . . . . . . . . . . . 58
5.2 D´eterminant dans le cas g´en´eral . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
5.2.A Formes n-lin´eaires altern´es en dimension n...... 60
5.2.B D´efinition du d´eterminant de nvecteurs en dimension n61
5.2.C D´eterminant et produit . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
5.3 Calculer un d´eterminant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
5.3.A Techniques de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
5.3.B Utilisation des termes nuls de la matrice . . . . . . . . 69
5.3.C D´eterminants triangulaires par blocs . . . . . . . . . . 71
5.4 D´eveloppement par rapport `a une ligne ou `a une colonne . . . 72
5.4.A Application 1 : inverse d’une matrice . . . . . . . . . . 76
5.4.B Application 2 : le d´eterminant de Vandermonde . . . . 78
5.5 Airesetvolumes ......................... 79
5.5.A Aires............................ 79
5.5.B Volumes.......................... 80
5.6 Les syst`emes lin´eaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
5.6.A G´en´eralit´es ........................ 81
5.6.B Les syst`emes de Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
6 Le pivot de Gauss 85
6.1 Transformations ´el´ementaires d’une matrice . . . . . . . . . . 85
6.1.A Les types de transformations ´el´ementaires . . . . . . . 85
6.1.B Effets des transformations ´el´ementaires . . . . . . . . 86
6.2 Le principe du pivot de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
6.2.A Premierpas........................ 86
6.2.B It´eration du proc´ed´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
6.3 Applications............................ 87
6.3.A Calculdurang ...................... 87
6.3.B R´esolution de syst`emes . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
6.3.C Calculs de d´eterminants . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
6.3.D Inverse d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

Table des Mati`eres
7 Arithm´etique des polynˆomes 92
7.1 Polynˆomes et fonctions polynomiales . . . . . . . . . . . . . . 92
7.1.A Qu’est-ce qu’un polynˆome ? . . . . . . . . . . . . . . . 92
7.1.B Degr´e ........................... 94
7.1.C Polynˆomes d´eriv´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
7.1.D Division euclidienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
7.1.E Racine et factorisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
7.2 Arithm´etique des polynˆomes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
7.2.A Diviseurs et multiples . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
7.2.B Polynˆomes irr´eductibles . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
7.2.C Reconnaˆıtre un diviseur commun `a plusieurs polynˆomes101
7.2.D Polynˆomes premiers entre eux . . . . . . . . . . . . . . 103
7.2.E Calcul pratique du plus grand diviseur commun . . . . 104
7.2.F D´ecomposition en facteurs irr´eductibles . . . . . . . . 105
7.3 ´ Equations polynomiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
7.3.A Multiplicit´es des racines . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
7.4 Lemmedesnoyaux........................110
8 Sous-espaces stables d’un endomorphismes 113
8.1 G´en´eralit´es sur les sous-espaces stables . . . . . . . . . . . . . 113
8.2 Valeurs propres et vecteurs propres . . . . . . . . . . . . . . . 114
8.2.A Cas d’un endomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . 114
8.2.B Cas d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
8.3 Polynˆome caract´eristique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
8.3.A Polynˆome caract´eristique d’une matrice . . . . . . . . 117
8.3.B Polynˆome caract´eristique d’un endomorphisme . . . . 120
9 Trigonalisation et Diagonalisation 123
9.1 Trigonalisation ..........................123
9.2 Diagonalisation..........................126
9.3 Diagonalisation concr`ete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
9.4 Application aux syst`emes diff´erentiels . . . . . . . . . . . . . 131
9.4.A R´esolution de l’´equation diff´erentielle x0=λx . . . . . 131
9.4.B R´esolution de X0=DX .................131
9.4.C R´esolution d’un syst`eme diff´erentiel diagonalisable . . 132
9.5 Application aux suites r´ecurrentes . . . . . . . . . . . . . . . 135
10 Polynˆomes d’endomorphismes 137
10.1 Polynˆomes annulateurs d’un endomorphisme . . . . . . . . . 137
10.1.A G´en´eralit´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
10.1.B Un exemple important : le th´eor`eme de Cayley-Hamilton139
10.2 Polynˆome minimal d’un endomorphisme . . . . . . . . . . . . 140
10.2.A D´efinition du polynˆome minimal . . . . . . . . . . . . 140
10.2.B Propri´et´es du polynˆome minimal . . . . . . . . . . . . 141
4

Table des Mati`eres
10.3 Diagonalisation et polynˆome minimal . . . . . . . . . . . . . . 141
5