PC-RC-Themes-Classiques-a5

Recueil de thèmes classiques
Adapté aux programmes PC-PSI
Nicolas Maillard
6 février 2021

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Table des matières
1 Autour de l’espérance et de la variance 7
2Cauchy-Schwarz et coefficient de corrélation linéaire 11
3Markov et Bienaymé-Tchebychev 15
4 Lois hypergéométrique et multinomiale 17
5 Formule de l’espérance totale, problème du collectionneur et
vagues d’appels 25
6 Problème du scrutin et marche aléatoire dans Z31
7 Marche aléatoire dans Zet séries entières 39
8 Lemmes de Borel-Cantelli et marches aléatoires 45
9 Intervalles de confiance et grandes déviations de Bernstein 55
10 Incertitude ou entropie de Shannon d’une variable aléatoire 63
11 Fonction caractéristique d’une Variable Aléatoire Réelle 67
12 Triangle de Pascal, binôme de Newton & formule de Leib-
niz 81
13 Autour des formules de Taylor 85
14 Développements de sommes et de restes 95
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TABLE DES MATIÈRES
15 Sommation par parties et transformation d’Abel 111
16 Convexité et applications très classiques 119
17 Variation des constantes et wronskien 135
18 Irrationalité de constantes célèbres 153
19 Calcul de ζ(2) et ζ(4) 159
20 Intégrale de Gauss et fonction Γd’Euler 165
21 Intégrale de Dirichlet et sinus cardinal 169
22 Linéarisations et sommes trigonométriques 175
23 Polynômes de Tchebychev 179
24 Interpolation polynomiale de Lagrange 191
25 Phénomène de Runge 197
26 Convergence de l’interpolation de Lagrange et points de
Tchebychev 205
27 Espaces de Hilbert et familles de polynômes orthogonaux 213
28 Polynômes de Legendre 219
29 Intégration numérique de Gauss 223
30 Approximation polynomiale en norme L2de Hilbert 227
31 Approximation polynomiale uniforme et polynômes de Bern-
stein 229
32 Produit de convolution et régularisation 235
33 Transformée de Laplace 249
34 Séries de Fourier 255
35 Transformée de Fourier 273
4

36 Séries entières complexes et grands principes 283
37 La quête de πpar l’Arc-tangente 299
38 Droites et sous-espaces stables par un endomorphisme 311
39 Exemples de parties ouvertes, fermées ou denses en algèbre
linéaire 315
40 Utilisation des polynômes annulateurs 319
41 Normes matricielles et quotient de Rayleigh 327
42 Hyperplans et formes linéaires 343
43 Bases adaptées à l’étude des endomorphismes nilpotents 347
44 Matrices circulantes et racines n-èmes de l’unité 351
45 Matrices compagnons, suites récurrentes, E.D.L. & localisa-
tion des racines d’un polynôme 357
46 Matrices stochastiques 365
47 Formes bilinéaires & formes quadratiques 371
48 Matrices symétriques positives et strictement positives 381
49 Commutant et racines carrées d’une matrice carrée 387
50 Matrices symplectiques 391
51 Théorème des moindres carrées et application aux ajuste-
ments polynomiaux 399
52 Intégration numérique avec Python 403
53 Gauss-Legendre et Gauss-Tchebychev avec Python 413
54 Programmation orientée objet : la classe Polynome 427
55 POO & interpolation polynomiale 433
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