Un théorème de convergence dans les Lp, op < +

ΠUVRES DE L AURENT S CHWARTZ
L AURENT S CHWARTZ
Un théorème de convergence dans les L p , o 6 p < +∞
C. R. Acad. Sci. Paris Sér. A-B, 268 (1969), p. A704-A706.
Extrait des Œuvres de Laurent Schwartz
publiées par la Société mathématique de France, 2011.
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704 — Série A
G. R. Acad. Se. Paris, t. 268 (31 mars 1969),
ANALYSE MATHÉMATIQUE.
—
Un
théorème
de convergence
dans
les L/J,
o ^ p < + o o . Note (*) de M. LAURENT SCHWARTZ, présentée par M. Paul
Lévy.
Si (X,,)«€N est une suite d'éléments de L'(ü, ji), o . : p < + oo, telle que,
pour toute suite (c«)« €N de nombres réels tendant vers zéro, ^
alors
c„X« converge,
V X,, converge aussi.
'*€N
Soit E un espace vectoriel topologique. Une suite X = (X,,)«6N d'éléments de E sera appelée C-suite, si, pour toute suite scalaire c = (e„),l€N
convergeant vers zéro, la série ^ c „ X „ converge dans E. Un dira que E
'<€N
est un C-espace, si, pour toute C-suite X, \ ^ X« converge. Les C-espaces
'<€N
ont été étudiés par Erik Thomas » ' j ; un espace localement convexe séquentiellement faiblement complet est un C-espace, en particulier tous les
espaces L'd2, a) pour i _/)< + 3C« I > a r contre, sauf si a est combinaison
finie de mesures de Dirae, 1/12, ;xi n'est pas un C-espace.
THÉORÈME.
C-espace
— L'espace
LM2, a),
pour
o^p<i,
est
aussi
un
a
f ).
Ces espaces ne sont plus localement convexes. L°fl2, tx) est l'espace
des a-classes de fonctions jx-mesurablcs .sur 12, muni de la topologie de
la convergence en mesure.
LEMME
1. — Soit X = « X,,), f€N une C-suite de LM2, ;x). Sur tout ensemble
de '/.-mesure finie,
>
X„ ~ converge '/.-presque partout.
Ce lemme est dû à Kolmogorov et Khintchine (').
LEMME
2. — Soit X = iX,,),,6If une C-suite de L'^Q, jx), o ^ p < i .
Alors X„ converge vers zéro pour n
infini.
Démonstration. — D'après le lemme 1, X,, converge vers zéro a-presque
partout sur tout ensemble de a-mesure finie, donc dans L°(12, tx); ce
qui montre le lemme pour p = o. Soit donc o < p - ~ i . D'après Egorov,
sr
on peut trouver une parittion de 12, 12 = \ l l2mUN, telle que chaque 0m
soit a-rnesurable de a-mesure finie, que X,, converge vers zéro pour n
infini uniformément sur chaque 12m, H que tous les X,, soient a-presque
partout nuls sur N. Supposons que X,, ne converge pas vers zéro dans 1/
3. ft. Acad. Sc. Paris, t. 268 (31 mars 1969).
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pour n infini. Il existe alors o'> o tel que ƒ |X,,|''>^o' pour une infinité de valeurs de n. Soit o < o < o ' . Déterminons par récurrence une
suite de parties disjointes de il, (A/,)X€N, chacune réunion d'Llmy et une
suite strictement croissante d'entiers, (m)x€N, de manière que f | X w J ^ o ,
et que, pour j^k,
f\ X,n |>^<i/'2^\
Déterminons d'abord A,,, n«. Nous prendrons n» tel que / | X / l J / > > 8 ;
il existe alors Ao, réunion finie d'ùmy tel que / |X W J / J \S. Supposons
déterminés A/, et n* jusqu'à k = l—\. II existe B/, réunion finie d'ilm,
contenant
.
A«U A, U . . . U A/ t ,
Il existe ensuite nt>nt
soit .^.i/'i 8 '
X,,/
tel
existe alors
et
ƒ < XW4|''<£-i/2*+/ pour
que
tel que
{
<o'-o,
ƒ j X ;j/ p'^-*\
de sorte
A/, réunion finie d'Qm
que
f
tout
et que
\XtJf>
o. Il
contenue dans fÎB/, tel que
X o . Alors
^
pour
Soit alors (cw)w€W une suite de réels, o ^ c ^ i r ,
•-ƒ
2cf=
Minorons
. D'abord
4 . /.
Comme
/=="^X>
/r_0
on
volt
W ne
*
conver
Re Pas
*€N
ce qui contredit les hypothèses, car (X,u)x€N est aussi une C-suite.
Bien que le résultat soit connu pour K p < + « , on le démontrerait
de manière tout analogue, en utilisant l'inégalité de Minkowski.
Démonstration du théorème. — II sufïit maintenant de montrer que, si E
es
t un espace vectoriel topologique complet dans lequel toute C-suite
converge vers zéro, E est un C-espaee. Si en efTet, (X,,),,€N est une C-suite,
6
^ ^;> n e converge pas, elle ne vérifie pas le critère de Cauehy. Donc il
€N
existe un voisinage V de zéro dans E, et une suite strictement croissante
706 — Série A
C.R. Ac ad. Sc. Paris, t. 268 (31 mars 1969).
d'entiers, n«, n0, ni} rin . . . , n*, rik, . . . tels que, pour tout /e€N,
S,,;—S/I4^V, où S N = ^ X „ . Si nous posons Y/,= S„; - S,u, c'est encore
une C-suite, or elle ne converge pas vers zéro, ce qui est contradictoire
d'où le théorème.
(*) Séance du 2i mars 1969.
(*) Sous le nom d'espaces faiblement ^-complets : cf. Comptes rendus, 267, série A
1968, p. 7.
(*) Pour p = o, cf. PAUL LÉVY, Comptes rendus, 265, série A, 1967, p. ',70.
Le même résultat, pour p = o, vient d'ôtre démontré indépendamment par RICHARD
DUDLEY, Proc. Amer. Math. Soc. (à paraître).
(3) KOLMOGOROV-KHINTCHINE, Math. Sbornik, 32, uja5, p. 668-677. Voir aussi
KWAPIEN, Comptes rendus, 267, série A, 1968, p. 698.
(37, rue Pierre-Nicole,
75-Pfiris, je.)