Un théorème de convergence dans les Lp, op < +

ŒUVRES DE LAURENT SCHWARTZ
LAURENT SCHWARTZ
Un théorème de convergence dans les Lp,o6p<+∞
C. R. Acad. Sci. Paris Sér. A-B, 268 (1969), p. A704-A706.
Extrait des Œuvres de Laurent Schwartz
publiées par la Société mathématique de France, 2011.
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704 — Série A G. R. Acad. Se. Paris, t. 268 (31 mars 1969),
ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Un théorème de convergence dans les L/J,
o^p<+oo. Note (*) de M. LAURENT SCHWARTZ, présentée par M. Paul
Lévy.
Si (X,,)«€N est une suite d'éléments de L'(ü, ji), o.:p < + oo, telle que,
pour toute suite (c«)«€N de nombres réels tendant vers zéro, ^ c„X« converge,
alors V X,, converge aussi.
'*€N
Soit E un espace vectoriel topologique. Une suite X = (X,,)«6N d'élé-
ments de E sera appelée C-suite, si, pour toute suite scalaire c = (e„),l€N
convergeant vers zéro, la série ^c„X„ converge dans E. Un dira que E
'<€N
est un C-espace, si, pour toute C-suite X, \^ X« converge. Les C-espaces
'<€N
ont été étudiés par Erik Thomas » 'j; un espace localement convexe séquen-
tiellement faiblement complet est un C-espace, en particulier tous les
espaces L'd2, a) pour i _/)< + 3C« I>ar contre, sauf si a est combinaison
finie de mesures de Dirae, 1/12, ;xi n'est pas un C-espace.
THÉORÈME. — L'espace LM2, a), pour o^p<i, est aussi un
C-espace fa).
Ces espaces ne sont plus localement convexes. L°fl2, tx) est l'espace
des a-classes de fonctions jx-mesurablcs .sur 12, muni de la topologie de
la convergence en mesure.
LEMME 1. — Soit X = « X,,),f€N une C-suite de LM2, ;x). Sur tout ensemble
de '/.-mesure finie, > X„ ~ converge '/.-presque partout.
Ce lemme est dû à Kolmogorov et Khintchine (').
LEMME 2. — Soit X = iX,,),,6If une C-suite de L'^Q, jx), o^p<i.
Alors X„ converge vers zéro pour n infini.
Démonstration. — D'après le lemme 1, X,, converge vers zéro a-presque
partout sur tout ensemble de a-mesure finie, donc dans L°(12, tx); ce
qui montre le lemme pour p = o. Soit donc o<p-~i. D'après Egorov,
sr
on peut trouver une parittion de 12, 12 = \l l2mUN, telle que chaque 0m
soit a-rnesurable de a-mesure finie, que X,, converge vers zéro pour n
infini uniformément sur chaque 12m, H que tous les X,, soient a-presque
partout nuls sur N. Supposons que X,, ne converge pas vers zéro dans 1/

3. ft. Acad. Sc. Paris, t. 268 (31 mars 1969).Série A
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pour n infini. Il existe alors o'> o tel que ƒ |X,,|''>^o' pour une infi-
nité de valeurs de n. Soit o<o<o'. Déterminons par récurrence une
suite de parties disjointes de il, (A/,)X€N, chacune réunion d'Llmy et une
suite strictement croissante d'entiers, (m)x€N, de manière que f |XwJ^o,
et que, pour j^k, f\ X,n |>^<i/'2^\
Déterminons d'abord A,,, n«. Nous prendrons n» tel que /|X/lJ/>>8;
il existe alors Ao, réunion finie d'ùmy tel que / |XWJ/J\S. Supposons
déterminés A/, et n* jusqu'à k = l—\. II existe B/, réunion finie d'ilm,
contenant A«U A, U ... U A/
t,
tel que ƒ < XW4|''<£-i/2*+/ pour tout
. Il existe ensuite nt>nt { tel que ƒ j X;j/p'^-*\ et que
X,,/ soit .^.i/'i8' et <o'-o, de sorte que f \XtJf> o. Il
existe alors A/, réunion finie d'Qm contenue dans fÎB/, tel que
Xo. Alors
^pour
Soit alors (cw)w€W une suite de réels, o^c^ir, 2cf=
Minorons
•-ƒ
. D'abord
4. /.
Comme
/=="^X> on voltW* ne
converRe
Pas
/r_0
*€N
ce qui contredit les hypothèses, car (X,u)x€N est aussi une C-suite.
Bien que le résultat soit connu pour Kp<+«, on le démontrerait
de manière tout analogue, en utilisant l'inégalité de Minkowski.
Démonstration du théorème. — II sufïit maintenant de montrer que, si E
est
un espace vectoriel topologique complet dans lequel toute C-suite
converge vers zéro, E est un C-espaee. Si en efTet, (X,,),,€N est une C-suite,
6 ^ ^;> ne converge
pas, elle ne vérifie pas le critère de Cauehy. Donc il
€N
existe un voisinage V de zéro dans E, et une suite strictement croissante

706 — Série A C.R. Ac ad. Sc. Paris, t. 268 (31 mars 1969).
d'entiers, n«, n0, ni} rin ..., n*, rik, ... tels que, pour tout /e€N,
S,,;—S/I4^V, où SN=^X„. Si nous posons Y/,= S„; - S,u, c'est encore
une C-suite, or elle ne converge pas vers zéro, ce qui est contradictoire
d'où le théorème.
(*) Séance du 2i mars 1969.
(*) Sous le nom d'espaces faiblement ^-complets : cf. Comptes rendus, 267, série A
1968, p. 7.
(*) Pour p = o, cf. PAUL LÉVY, Comptes rendus, 265, série A, 1967, p. ',70.
Le même résultat, pour p = o, vient d'ôtre démontré indépendamment par RICHARD
DUDLEY, Proc. Amer. Math. Soc. (à paraître).
(3) KOLMOGOROV-KHINTCHINE, Math. Sbornik, 32, uja5, p. 668-677. Voir aussi
KWAPIEN, Comptes rendus, 267, série A, 1968, p. 698.
(37, rue Pierre-Nicole,
75-Pfiris, je.)