regime-transitoire (1)

Cours d’électrocinétique Sup TSI
Chapitre 3 : Régime transitoire
I. Étude des circuits RC, RL et RLC série en régime libre
1. Cas du circuit RC
a) Équation différentielle
Branchons une résistance Raux bornes d’un condensateur chargé (figure 1a).
R C
K
q0
t < 0
Figure 1a
R C
u
i
q
t≥0
Figure 1b
À l’instant t= 0 on ferme l’interrupteur K. On a alors (figure 1b) :
u=−Ri =q
Cavec i=dq dt
On obtient l’équation différentielle :
dq
dt +q RC = 0 ou dq dt +q τ= 0
τ=RC homogène à un temps est appelée constante de temps ou temps de relaxation.
Le circuit RC est donc un circuit de premier ordre caractérisé par la constante de temps
τ=RC.
b) Résolution de l’équation différentielle
On a : dq
dt +q τ= 0 ⇒dq q=−dt τ⇒q(t) = Ae−t/τ
Àt= 0,q(t= 0) = q0=A
D’où :
q(t) = q0e−t/τ
D’autre part, u=q
Cet i=dq dt . Donc :
u(t) = u0e−t/τ et i(t) = −u0
Re−t/τ
Régime transitoire 1/11 Y Elmokhtari

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avec u0=q0
C.
La représentation des fonctions q(t)et i(t)sont données sur les figures 2a et 2b.
0
q(t)
t
q0
τ
Figure 2a
0
i(t)
t
−u0
R
τ
Figure 2b
Commentaires :
•q(t)et u(t)sont des fonctions continues tandis que i(t)est discontinu en t= 0.
•En régime permanent (t >> τ), q(t→+∞)→0,u(t→+∞)→0et i(t→+∞)→0.
•L’intersection de la tangente à l’origine et l’axe des abscisses se fait en t=τ.
En effet, la tangente à l’origine a pour équation q(t) = kt +q0avec k= (dq
dt )t=0 =−q0 τ
Le point d’intersection est donc pour t=τ.
•Plus τest faible, plus la décharge du condensateur à travers la résistance est rapide et
inversement.
c) Portrait de phase
La trajectoire de phase est la courbe dé-
crite par le point figuartif Pde coordonnées
(f(t),df(t)
dt ).
On appelle portrait de phase l’ensemble
des trajectoires de phase lorsque les condi-
tions initiales varient.
Dans le cas du circuit RC, le plan de phase
est (q, dq
dt =i). Puisque i=−q τ, La trajec-
toire de phase est une droite affine (figure
3).
•P
i
q
Figure 3
d) Bilan énergétique
L’énergie Wdissipée par effet Joule dans le résistor est :
W=Z+∞
0
Ri2dt =Z+∞
0
u2
0
Re−2t/τ dt =1 2Cu2
0=q2
0
2C
Régime transitoire 2/11 Y Elmokhtari

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Conclusion :
L’énergie emmagasinée à l’instant initial dans le condensateur est intégralement dissipée
par effet joule dans le résistor.
2. Cas du circuit RL
a) Équation différentielle
Soit le circuit de la figure 4a. À l’instant t= 0, on ouvre l’interrupteur K. On a alors (figure
4b) :
u(t) = −Ri(t) = Ldi
dt
Soit encore :
di(t)
dt +R Li(t) = 0 et du(t) dt +R Lu(t) = 0
Le circuit RL est donc un circuit de premier ordre caractérisé par la constante de temps
τ=L
R.
• •
K
I0
LR
t < 0
Figure 4a
• •
K
I0
LR
t≥0
i(t)i(t)
u(t)
Figure 4b
b) Résolution de l’équation différentielle
On a :
i(t) = Ae−t/τ
iétant continu en t= 0, alors i(t= 0) = I0=A
D’où :
i(t) = I0e−t/τ
D’autre part, u=−Ri. Donc :
u(t) = −RI0e−t/τ
La représentation des fonctions i(t)et u(t)sont données sur les figures 5a et 5b.
Régime transitoire 3/11 Y Elmokhtari

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0
u(t)
t
−RI0
τ
Figure 5a
0
i(t)
t
I0
τ
Figure 5b
c) Portrait de phase
On a : di(t)
dt =−R Li(t)
Dans le plan de phase (i, di
dt) la trajectoire de phase est une droite affine.
d) Bilan énergétique
L’énergie Wdissipée par effet Joule dans le résistor est :
W=Z+∞
0
Ri2dt =Z+∞
0
RI2
0e−2t/τ dt =1
2LI2
0
Conclusion :
L’énergie emmagasinée à l’instant initial dans la bobine est intégralement dissipée par effet
joule dans le résistor.
3. Cas du circuit RLC
a) Équation différentielle
Soit le circuit de la figure 6.
La loi des mailles implique :
Ri +Ldi
dt +q C= 0 avec i=dq dt
On en déduit :
d2q
dt2+R L
dq
dt +1 LC q= 0
i
L
R
C
q
Figure 6
Posons :
•ω0=1
√LC : Pulsation propre.
Régime transitoire 4/11 Y Elmokhtari

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•Q=Lω0
R=1 RCω0
: Facteur de qualité (sans dimension).
•2α=R
L=ω0 Q:αest le coefficient d’amortissement.
L’équation différentielle s’écrit :
d2q
dt2+ω0 Q
dq
dt +ω2
0q= 0 ou d2q
dt2+ 2αdq dt +ω2
0q= 0
Le circuit RLC série est donc un circuit du second ordre caractérisé par la pulsation propre
ω0=1
√LC et son facteur de qualité Q=Lω0
R=1 RCω0
.
Signification physique de Q:
Plus Qest grand (αest petit), plus l’amortissement dû à la présence de la dérivée première
est faible.
b) Résolution de l’équation différentielle
La solution est de la forme :
q(t) = A1er1t+A2er2t
A1et A2sont des constantes qui dépendent des conditions initiales et r1et r2sont les racines
de l’équation caractéristique :
r2+ω0
Qr+ω2
0= 0
Le discriminant réduit de cette équation est :
∆0=ω2
0
4Q−ω2
0=ω2 0(1
4Q2−1) = α2−ω2
0
Il existe trois cas selon le signe de ∆0:
•∆0>0ou Q < 0,5;α > ω0: C’est le régime apériodique.
Les racines sont des réelles :
r1,2=−α±qα2−ω2
0
Donc :
q(t) = e−αt[A1e√α2−ω2
0t+A2e−√α2−ω2 0t]
Lorsque t→+∞,e−αt l’emporte et q→0sans osciller.
La représentation des fonctions q(t)et i(t)sont données sur la figures 7a pour les condi-
tions initiales q(t= 0) = q0et i(t= 0) = 0 tandis que la trajectoire de phase est donnée sur
la figure 7b.
Régime transitoire 5/11 Y Elmokhtari