Mathématiques - PSI
1.7 Le reste d’une série convergente 2 SÉRIES À TERMES POSITIVES
On déduit de la proposition précédente que :
+∞
X
n=0
an=Re+∞
X
n=0
rn=Re1
1−ret
+∞
X
n=0
bn=Im+∞
X
n=0
rn=Im1
1−r.
Le calcul donne :
+∞
X
n=0
ρncos(nθ) = 1−ρcosθ
1+ρ2−2ρcosθet
+∞
X
n=0
ρnsin(nθ) = ρsinθ
1+ρ2−2ρcosθ.
Justifier l’égalité :
+∞
X
n=0
sin(nx)
2n=2sin x
5−4cos x.
Exercice 11.
1.7 Le reste d’une série convergente
Soit X
n≥0
unune série convergente et p∈N. Alors la série X
n≥p
unest convergente.
On note : Rp=
+∞
X
n=p+1
undit le reste d’ordre pde la série.
Définition 12.
Soit X
n≥0
unune série convergente de somme S,ona:
1∀p∈N:S=Sp+Rp
2lim
p+∞Rp=0
Remarque:
on considère la série géométrique. X
n≥01
3n
, elle converge de somme S=3
2.
Le reste d’ordre pest : Rp=
+∞
X
n=p+11
3n
=S−Sp=3
21
3p+1
Exemple 13.
2 Séries à termes positives
Une série X
n≥0
unest dite à termes positifs si : ∀n∈N,un≥0.
Définition 14.
Soit X
n≥0
unune série à termes positifs et (Sn)la suite des sommes partielles.
La série X
n≥0
unconverge ⇐⇒ la suite (Sn)majorée
Théorème 15.
Soient Xunet Xvndeux séries à termes positifs, tel que : ∃N≥0, ∀n≥N,un≤vn.
Alors :
•Si Xvnconverge alors Xunconverge.
•Si Xundiverge alors Xvndiverge.
Théorème 16 (de comparaison).
1 Montrons que la série X
n≥1
1
n2est convergente.
En effet, on a : ∀n≥2, 1
n2≤1
n(n−1)et X
n≥2
1
n(n−1)converge.
On en déduit que la série X
n≥1
1
n2converge.
2 La série exponentielle :X
n≥0
1
n!est convergente.
En effet 1
n!≤1
n(n−1)pour n≥2 et la série X
k≥2
1
n(n−1)converge.
Donc la série X
n≥0
1
n!converge et
+∞
X
n=0
1
n!vaut le nombre d’Euler e=exp(1).
3 Inversement, nous avons vu que la série X
n≥1
1
ndiverge.
Exemples:
-Pr : MALIH Nourdine 4 -2021 cPSI - My Youssef - Rabat