Séries Numériques : Cours Complet

Mathématiques - PSI
SÉRIES NUMÉRIQUES
Malih Nourdine
Dans ce chapitre nous allons nous intéresser à des sommes ayant une infinité de termes.
Par exemple que peut bien valoir la somme infinie suivante :
1+1
2+1 4+1 8+1 16 +··· =?
1 Généralités
1.1 Définitions
Soit (uk)k≥0une suite de nombres réels (ou de nombres complexes). On pose :
Sn=u0+u1+u2+···+un=
n
X
k=0
uk.
La suite (Sn)n≥0s’appelle la série de terme général un.
Cette série est notée : X
n≥0
unou X
n∈N
un.
La suite (Sn)s’appelle aussi la suite des sommes partielles.
Définition 1.
On considère la suite (un)n≥0par un= ( 1
2)n.
La série géométrique X
n≥0
(1
2)nest la suite des sommes partielles :
S0=1S1=1+ ( 1
2) = 3 2S2=1+ ( 1 2)+(1 2)2=7 4...
Ainsi : ∀n∈N,Sn=1+ ( 1
2)+(1 2)2+···+ ( 1 2)n=21−(1 2)n+1.
Il y’a une différence entre la suite (un)n≥0et la série X
n≥0
un.
Exemples:
0. Malih Nourdine
Si la suite (Sn)n≥0admet une limite finie dans R(ou dans C), on dit que : la série X
n≥0
un
est convergente. Auquel cas, on note :
S=
+∞
X
k=0
uk=lim
n→+∞Sn.
On appelle alors S=
+∞
X
n=0
unla somme de la série X
n≥0
un.
Dans le cas contraire, la série est dite divergente.
Définition 2.
Il faut faire la différentes entre :
ÉX
n≥0
un: la série de terme général un.
É
n
X
k=0
uk: la suite des sommes partielles.
É
+∞
X
n=0
un: la somme de la série (si elle convergente).
Notation:
1La série X
n≥0
1
(n+1)(n+2)est convergente, en effet :
Sn=
n
X
k=0
1
(k+1)(k+2)=
n
X
k=01
k+1−1 k+2=1−1 n+2→1 lorsque n→+∞
Exemples:
1

Mathématiques - PSI
1.2 Condition nécessaire de convergence 1 GÉNÉRALITÉS
Ainsi :
S=
+∞
X
n=0
1
(n+1)(n+2)=1
.
2La série X
n≥0
1
3nest convergente, en effet :
Sn=
n
X
k=0
1
3k=3 21−(1 3)n+1→3 2lorsque n→+∞
3La série X
n≥0
n2est divergente, en effet : Sn=
n
X
k=0
k2−→+∞(n→+∞)
1. Soit q∈C. La série géométrique X
k≥0
qkest convergente ⇐⇒|q|<1.
On a alors :
+∞
X
k=0
qk=1+q+q2+q3+···=1
1−q
2. La série harmonique : X
n≥1
1
nest divergente.
En effet : On pose : Sn=
n
X
k=1
1
k.
Pour tout k¾1, ∀t∈[k,k+1],1
k+1¶1 t¶1 k=⇒1 k+1¶Zk+1
k
1
tdt¶1 k
De l’inégalité droite :
ln(n+1)
| {z }
−→+∞
=Zn+1
1
1
tdt¶
n
X
k=1
1
k=Sn
Donc : la série harmonique diverge.
Remarque:
Soit X
n≥0
unune série numérique et N∈N. Alors :
Les deux séries X
n≥0
unet X
n≥N
unsont de même nature.
En cas de convergence, on a :
+∞
X
n=0
un=
N
X
n=0
un+
+∞
X
n=N+1
un
Proposition 3.
1.2 Condition nécessaire de convergence
La série X
n≥0
unconverge =⇒lim
n∞un=0.
Théorème 4 (cnc).
Démonstration. Pour tout n≥0, posons Sn=
n
X
k=0
uket S=lim
n+∞Sn(X
n≥0
unconverge).
On a : un=Sn−Sn−1−→S−S=0 lorsque n→+∞.
1. Souvent on utilse la contraposée de ce résultat :
lim
n+∞un6=0=⇒la série X
n≥0
undiverge
Par exemple : la série X
n≥1
cos(1
n)est divergente, en effet : lim
n+∞cos(1
n) = 1.
Auquel cas on dit que la série est grossièrement divergente .
2. La réciproque du théorème est fausse !
En effet la série X
n≥0
unavec : un=pn+1−pn=1
pn+1+pn.
un−→
n+∞0 et Sn=
n
X
k=0
uk=pn+1−→
n+∞+∞
Ainsi la série est divergente.
3. De même pour la série harmonique : X
n≥1
1
ndiverge et lim
n+∞
1
n=0.
Remarque:
Soit q∈Ctel que |q|<1. Que vaut la somme :
+∞
X
n=0
nqn?
Exercice 5.
1.3 Séries télescopiques
Une série télescopique est une série de la forme X(un+1−un)où (un)suite dans K.
On a : Sn=
n
X
k=0
(uk+1−uk) = un+1−u0.
Définition 6.
-Pr : MALIH Nourdine 2 -2021 cPSI - My Youssef - Rabat

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1.4 Série harmonique alternée 1 GÉNÉRALITÉS
La série X(un+1−un)et la suite (un)sont de même nature.
En cas de convergence, on a :
+∞
X
n=0
(un+1−un) = lim
n+∞(un−u0)
Proposition 7.
Montrons que :
+∞
X
n=1
1
n(n+1)=1.
On calcule les sommes partielles :
Sn=
n
X
k=1
1
k(k+1)=
n
X
k=11
k−1 k+1=1−1 n+1−→
n→+∞1
L’écriture
+∞
X
n=1
1
n(n+1)
| {z }
CV
=
+∞
X
n=1
1
n
|{z}
DV
−
+∞
X
n=1
1
n+1
| {z }
DV
N’A AUCUN SENS! !!
Exemples:
Etudier la convergence de la suite : un=1+1
p2+···+1 pn−2pn(n¾1)
Exercice 8.
1.4 Série harmonique alternée
Il s’agit de la série X
n∈N∗
(−1)n−1
n. Notons : Sn=
n
X
k=1
(−1)k−1
kpour (n¾1).
On a : 1
k=Z1
0
tk−1dt. Alors :
Sn=
n
X
k=1Z1
0
(−t)k−1dt=Z1
0n
X
k=1
(−t)k−1dt=Z1
0
1−(−t)n
1+tdt=Z1
0
dt
1+t
| {z }
=ln2
−Z1
0
(−t)n
1+tdt
| {z }
=Rn
|Rn|¶Z1
0
tn
1+tdt¶Z1
0
tndt=1
n+1=⇒lim
n→∞Rn=0=⇒lim n→∞Sn=ln2.
Ainsi, la série harmonique alternée converge et
+∞
X
n=1
(−1)n−1
n=ln2
1.5 Opérations sur les séries
Soient X
n≥0
unet X
n≥0
vndeux séries convergentes et λ∈K. Alors : la série X
n≥0
(λun+vn)
converge.
Auquel cas :
+∞
X
n=0
(λun+vn) = λ
+∞
X
n=0
un+
+∞
X
n=0
vn.
Proposition 9.
1. X
n≥0
unet X
n≥0
vndivergent 6=⇒X
n≥0
(un+vn)diverge.
En effet : les deux séries X
n≥1
1
net X
n≥1−1
ndivergent, mais la série somme converge.
2.X
n≥0
unconverge et X
n≥0
vndiverge =⇒X
n≥0
(un+vn)diverge.
Attention:
1.6 Séries complexes
Soit (zn)n≥0une suite complexe.
La série Xznconverge ⇐⇒ les deux séries XRe(zn)et XIm(zn)convergent.
Auquel cas, on a :
+∞
X
n=0
un=
+∞
X
n=0
Re(zn) +i
+∞
X
n=0
Im(zn).
Proposition 10.
Étude de la convergence de la série : X
n≥0
ρncos(nθ)où 0 < ρ < 1 et θ∈R.
Considérons la série géométrique X
n≥0
rn, où r=ρeiθ. La série converge et on a :
+∞
X
n=0
rn=1
1−r=1−ρcosθ+iρsinθ 1+ρ2−2ρcosθ.
D’autre part, rn=ρneinθ=an+ibnavec : §an=ρncos(nθ)
bn=ρnsin(nθ)
Exemples:
-Pr : MALIH Nourdine 3 -2021 cPSI - My Youssef - Rabat

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1.7 Le reste d’une série convergente 2 SÉRIES À TERMES POSITIVES
On déduit de la proposition précédente que :
+∞
X
n=0
an=Re+∞
X
n=0
rn=Re1
1−ret
+∞
X
n=0
bn=Im+∞
X
n=0
rn=Im1
1−r.
Le calcul donne :
+∞
X
n=0
ρncos(nθ) = 1−ρcosθ
1+ρ2−2ρcosθet
+∞
X
n=0
ρnsin(nθ) = ρsinθ
1+ρ2−2ρcosθ.
Justifier l’égalité :
+∞
X
n=0
sin(nx)
2n=2sin x 5−4cos x.
Exercice 11.
1.7 Le reste d’une série convergente
Soit X
n≥0
unune série convergente et p∈N. Alors la série X
n≥p
unest convergente.
On note : Rp=
+∞
X
n=p+1
undit le reste d’ordre pde la série.
Définition 12.
Soit X
n≥0
unune série convergente de somme S,ona:
1∀p∈N:S=Sp+Rp
2lim
p+∞Rp=0
Remarque:
on considère la série géométrique. X
n≥01
3n
, elle converge de somme S=3
2.
Le reste d’ordre pest : Rp=
+∞
X
n=p+11
3n
=S−Sp=3
21 3p+1
Exemple 13.
2 Séries à termes positives
Une série X
n≥0
unest dite à termes positifs si : ∀n∈N,un≥0.
Définition 14.
Soit X
n≥0
unune série à termes positifs et (Sn)la suite des sommes partielles.
La série X
n≥0
unconverge ⇐⇒ la suite (Sn)majorée
Théorème 15.
Soient Xunet Xvndeux séries à termes positifs, tel que : ∃N≥0, ∀n≥N,un≤vn.
Alors :
•Si Xvnconverge alors Xunconverge.
•Si Xundiverge alors Xvndiverge.
Théorème 16 (de comparaison).
1 Montrons que la série X
n≥1
1
n2est convergente.
En effet, on a : ∀n≥2, 1
n2≤1 n(n−1)et X
n≥2
1
n(n−1)converge.
On en déduit que la série X
n≥1
1
n2converge.
2 La série exponentielle :X
n≥0
1
n!est convergente.
En effet 1
n!≤1 n(n−1)pour n≥2 et la série X
k≥2
1
n(n−1)converge.
Donc la série X
n≥0
1
n!converge et
+∞
X
n=0
1
n!vaut le nombre d’Euler e=exp(1).
3 Inversement, nous avons vu que la série X
n≥1
1
ndiverge.
Exemples:
-Pr : MALIH Nourdine 4 -2021 cPSI - My Youssef - Rabat

Mathématiques - PSI
2 SÉRIES À TERMES POSITIVES
On en déduit facilement que les séries X
n≥1
ln(n)
net X
n≥1
1
pndivergent également.
Soient Xunet Xvndeux séries à termes positifs. Alors :
1
un=O(vn)
Xvnconverge =⇒Xunconverge.
2
un=o(vn)
Xvnconverge =⇒Xunconverge.
3un∼vn=⇒Xunet Xvnsont de même nature.
Corollaire 17.
1 Les deux séries : Xn2+3n+1
n4+2n3+4et Xn+ln(n) n3convergent.
En effet : n2+3n+1
n4+2n3+4∼1 n2et n+ln(n) n3∼1 n2et la série X1 n2converge.
2 Les deux séries : Xn2+3n+1
n3+2n2+4et Xn+ln(n) n2divergent. En effet :
n2+3n+1
n3+2n2+4∼1 net n+ln(n) n2∼1 net la série X1 ndiverge.
3 La série X1
n2(2+sinn)converge. En effet : ∀n∈N∗: 0 ¶1 n2(2+sinn)¶1 n2,
or la série X1
n2converge. Donc : la série X1 n2(2+sinn)converge.
4 La série Xecos n
ndiverge.
En effet : ∀n∈N∗, 0 ¶1
en¶ecosn n, or la série X1 ndiverge.
Donc la série Xecosn
ndiverge.
Exemples:
Les séries de la forme X
n≥1
1
nαavec α∈Rsont appelées des séries de Riemann.
X
n≥1
1
nαconverge ⇐⇒ α > 1
X
n≥1
1
nαdiverge ⇐⇒ α¶1
Théorème 18 (séries de Riemann).
1La série Xe−pnconverge. En effet : e−pn=o(1
n2)et X1 n2converge.
2La série X1
pnlnndiverge. En effet : 1 pnlnn
¾1
n3
2
et X1
n3
2
diverge.
3La série X1
nsin 1 nest convergente. En effet : 1 nsin 1 n∼1 n2et X1 n2converge.
Exemples:
lim
n∞nαun=l∈[0,+∞[et α > 1=⇒La sérieX
n≥1
unconverge
Proposition 19 (Règle nα).
Considérons la série X
n≥1e
3
n2−1.
On a lim
n→+∞n2e
3
n2−1=3, α=2>1, alors : X
n≥1e
3
n2−1converge.
Exemples:
Il est essentiel que les des deux séries soit à termes positifs (a partir d’un certain rang).
Par exemple :
(−1)n
pn∼(−1)n pn+1
n, et X(−1)n
pnconverge tandis que X(−1)n pn+1
ndiverge.
Attention:
-Pr : MALIH Nourdine 5 -2021 cPSI - My Youssef - Rabat