SÉRIES NUMÉRIQUES
Malih Nourdine
Dans ce chapitre nous allons nous intéresser à des sommes ayant une infinité de termes.
Définition 2.
Par exemple que peut bien valoir la somme infinie suivante :
Si la suite (Sn )n≥0 admet une limite finie dans R (ou dans C), on dit que : la série
1 1 1 1
+ ··· = ?
1+ + + +
2 4 8 16
Mathématiques - PSI
1
est convergente. Auquel cas, on note :
S=
Définitions
Définition 1.
On appelle alors S =
Soit (uk )k≥0 une suite de nombres réels (ou de nombres complexes). On pose :
Sn = u0 + u1 + u2 + ··· + un =
uk = lim Sn .
un
la somme de la série
X
un .
n≥0
Dans le cas contraire, la série est dite divergente.
uk .
Notation:
Il faut faire la différentes entre :
X
É
un : la série de terme général un .
La suite (Sn )n≥0 s’appelle
la série X
de terme général un .
X
Cette série est notée :
un ou
un .
n≥0
+∞
X
n→+∞
n=0
k=0
n≥0
n∈N
La suite (Sn ) s’appelle aussi la suite des sommes partielles.
É
Exemples:
1
On considère la suite (un )n≥0 par un = ( )n .
2
X 1
n
La série géométrique
( ) est la suite des sommes partielles :
2
n≥0
1
1
7
S2 = 1 + ( ) + ( )2 =
2
2
4
1
1
1
1
Ainsi : ∀n ∈ N,
Sn = 1 + ( ) + ( )2 + ··· + ( )n = 2 1 − ( )n+1 .
2
2
2
X 2
Il y’a une différence entre la suite (un )n≥0 et la série
un .
S0 = 1
+∞
X
k=0
n
X
un
n≥0
Généralités
1.1
X
1
3
S1 = 1 + ( ) =
2
2
É
n
X
uk : la suite des sommes partielles.
k=0
+∞
X
un :
la somme de la série (si elle convergente).
n=0
Exemples:
1 La série
...
Sn =
n≥0
0. Malih Nourdine
1
1
est convergente, en effet :
(n
+
1)(n
+ 2)
n≥0
X
n
X
n
X
1
1
1
1
=
−
= 1−
→1
(k
+
1)(k
+
2)
k
+
1
k
+
2
n
+
2
k=0
k=0
lorsque n → +∞
1.2
Condition nécessaire de convergence
Ainsi :
1
1.2
+∞
X
1
=1
S=
(n
+
1)(n
+ 2)
n=0
X 1
est convergente, en effet :
3n
n≥0
X
n∞
n≥0
Démonstration. Pour tout n ≥ 0, posons Sn =
n
X
1 n+1
3
3
1
1
−
(
Sn =
=
)
→
k
3
2
3
2
k=0
3 La série
Condition nécessaire de convergence
Théorème 4 (cnc).
X
La série
un converge =⇒ lim un = 0.
.
2 La série
2
n est divergente, en effet : Sn =
n≥0
n
X
lorsque n → +∞
On a :
un = Sn − Sn−1 −→ S − S = 0
n
X
Mathématiques - PSI
+∞
X
Par exemple : la série
k
q est convergente ⇐⇒ |q| < 1.
k=0
2. La série harmonique :
X1
n≥1
En effet : On pose : Sn =
n
X
1
k
k=1
X
n≥0
cos( 1n ) est divergente, en effet :
1
1−q
n+∞
lim cos( 1n ) = 1.
n+∞
n+∞
k=0
Ainsi la série est divergente.
.
1 1
1
1
¶ ¶ =⇒
¶
k+1
t
k
k+1
Pour tout k ¾ 1, ∀t ∈ [k, k + 1],
un converge).
Auquel cas on dit que la série est grossièrement divergente .
2. La réciproque du théorème est fausse !
X
p
p
1
En effet la série
un avec :
un = n + 1 − n = p
p .
n
+
1
+ n
n≥0
n
X
p
un −→ 0 et Sn =
uk = n + 1 −→ +∞
est divergente.
n
X
n≥0
lorsque n → +∞.
n≥1
k≥0
q k = 1 + q + q2 + q3 + ··· =
n+∞
(
1. Souvent on utilse la contraposée de ce résultat :
X
un diverge
lim un 6= 0 =⇒ la série
k −→ +∞ (n → +∞)
Remarque:
On a alors :
S = lim Sn
k=0
n+∞
1. Soit q ∈ C. La série géométrique
uk et
Remarque:
2
k=0
X
GÉNÉRALITÉS
Z
k+1
k
3. De même pour la série harmonique :
1
1
dt ¶
t
k
X1
n
n≥1
diverge
et
lim
n+∞
1
= 0.
n
Exercice 5.
De l’inégalité droite :
ln(n + 1) =
| {z }
Z
−→+∞
n+1
1
n
X
1
1
dt ¶
= Sn
t
k
k=1
Soit q ∈ C tel que |q| < 1. Que vaut la somme :
+∞
X
n qn
?
n=0
Donc : la série harmonique diverge.
1.3
Proposition 3.
X
Soit
un une série numérique et N ∈ N. Alors :
n≥0
X
X
Les deux séries
un et
un sont de même nature.
n≥0
n≥N
En cas de convergence, on a :
+∞
X
n=0
- Pr : MALIH Nourdine
un =
N
X
n=0
un +
+∞
X
Séries télescopiques
Définition 6.
Une série télescopique est une série de la forme
n
X
On a : Sn =
(uk+1 − uk ) = un+1 − u0 .
X
(un+1 − un ) où (un ) suite dans K.
k=0
un
n=N +1
2
- 2021
c PSI - My Youssef - Rabat
1.4
Série harmonique alternée
1
1.5
Proposition 7.
X
La série
(un+1 − un ) et la suite (un ) sont de même nature.
+∞
X
En cas de convergence, on a :
(un+1 − un ) = lim (un − u0 )
Opérations sur les séries
Proposition 9.
X
X
Soient
un et
vn deux séries convergentes et λ ∈ K. Alors :
n≥0
n≥0
converge.
n+∞
n=0
+∞
X
+∞
X
n=0
n=0
Exemples:
1
= 1.
n(n + 1)
n=1
On calcule les sommes partielles :
Mathématiques - PSI
Sn =
n
X
1.
n
X
+∞
X 1
X 1 +∞
1
−
=
n(n + 1) n=1 n n=1 n + 1
n=1
|
{z
} | {z } | {z }
DV
Sn =
n Z 1
X
k=1
Notons : Sn =
dt.
n
X
(−1)k−1
k=1
1
t
(−t)
dt =
0
0
k
1
|R n | ¶
0
tn
dt ¶
1+ t
(−t)
k−1
dt =
Z
1
0
k=1
Z
1
0
t n dt =
(un + vn ) diverge.
n≥0
n≥0
n≥0
Séries complexes
n=0
n=0
Exemples:
X
Étude de la convergence de la série :
ρ n cos(nθ ) où 0 < ρ < 1 et θ ∈ R.
n≥0
X
Considérons la série géométrique
r n , où r = ρeiθ . La série converge et on a :
1 − (−t)n
dt =
1+ t
Z1
dt
(−t)n
−
dt
0 1+ t
0 1+ t
| {z } |
{z
}
Z
1
n≥0
+∞
X
=R n
n=0
1
=⇒ lim R n = 0 =⇒ lim Sn = ln2.
n→∞
n→∞
n+1
Ainsi, la série harmonique alternée converge et
- Pr : MALIH Nourdine
n≥0
X
pour (n ¾ 1).
=ln2
Z
6=⇒
vn divergent
n=0
Alors :
Z 1 X
n
X
Soit (zn )X
n≥0 une suite complexe.
X
X
La série
zn converge ⇐⇒ les deux séries
Re(zn ) et
Im(zn ) convergent.
+∞
+∞
+∞
X
X
X
Re(zn ) + i
Im(zn ) .
un =
Auquel cas, on a :
0
k−1
vn .
n=0
Proposition 10.
Série harmonique alternée
On a :
+∞
X
DV
p
1
1
Etudier la convergence de la suite : un = 1 + p + ··· + p − 2 n (n ¾ 1)
n
2
k−1
un et
n≥0
N’A AUCUN SENS ! ! !
1.6
Z
un +
X1
X 1
En effet : les deux séries
− divergent, mais la série somme converge.
et
n
n
n≥1
n≥1
X
X
X
(un + vn ) diverge.
2.
un converge et
vn diverge =⇒
Exercice 8.
X (−1)n−1
.
n
n∈N∗
X
n≥0
1
1
1
1
= 1−
=
−
−→ 1
k(k
+
1)
k
k
+
1
n
+
1 n→+∞
k=1
k=1
CV
1
=
k
(λun + vn )
Attention:
+∞
X
Il s’agit de la série
X
+∞
X
Montrons que :
1.4
la série
n≥0
(λun + vn ) = λ
Auquel cas :
L’écriture
GÉNÉRALITÉS
D’autre part,
+∞
X
(−1)n−1
= ln2
n
n=1
3
rn =
1 − ρ cosθ + iρ sinθ
1
=
.
1− r
1 + ρ 2 − 2ρ cosθ
r n = ρ n einθ = an + ibn
avec :
§
an = ρ n cos(nθ )
bn = ρ n sin(nθ )
- 2021
c PSI - My Youssef - Rabat
1.7
Le reste d’une série convergente
2
2
On déduit de la proposition précédente que :
+∞
+∞
+∞
+∞
X
X
X
X
1
1
n
et
.
an = Re
bn = Im
r = Re
r n = Im
1− r
1− r
n=0
n=0
n=0
n=0
Séries à termes positives
Définition 14.
X
un est dite à termes positifs si : ∀n ∈ N,
Une série
ρ n cos(nθ ) =
n=0
Justifier l’égalité :
Mathématiques - PSI
1 − ρ cosθ
1 + ρ 2 − 2ρ cosθ
et
+∞
X
ρ n sin(nθ ) =
n=0
ρ sinθ
.
1 + ρ 2 − 2ρ cosθ
Théorème 15.
X
Soit
un une série à termes positifs et (Sn ) la suite des sommes partielles.
n≥0
Exercice 11.
1.7
+∞
X
La série
sin(nx)
2sin x
=
.
n
2
5
−
4cos x
n=0
+∞
X
Rp =
un converge ⇐⇒ la suite (Sn ) majorée
Théorème 16 (de comparaison).
Définition 12.
X
X
Soit
un une série convergente et p ∈ N. Alors la série
un est convergente.
n≥0
X
n≥0
Le reste d’une série convergente
On note :
un ≥ 0.
n≥0
Le calcul donne :
+∞
X
SÉRIES À TERMES POSITIVES
Soient
Alors :
X
un et
X
vn deux séries à termes positifs, tel que : ∃N ≥ 0, ∀n ≥ N , un ≤ vn .
X
vn converge alors
un converge.
X
X
un diverge alors
vn diverge.
• Si
• Si
n≥p
un dit le reste d’ordre p de la série.
X
n=p+1
Exemples:
Remarque:
Soit
X
1
un une série convergente de somme S, on a :
n≥0
1 ∀p ∈ N : S = S p + R p
2
lim R p = 0
p+∞
2
Exemple 13.
X 1
est convergente.
n2
n≥1
X
1
1
1
En effet, on a : ∀n ≥ 2,
≤
et
2
n
n(n − 1)
n(n
− 1)
n≥2
X 1
On en déduit que la série
converge.
n2
n≥1
Montrons que la série
La série exponentielle :
X 1
n!
n≥0
converge.
est convergente.
X
1
1
1
≤
pour n ≥ 2 et la série
converge.
n! n(n − 1)
n(n − 1)
k≥2
+∞
X 1
X 1
Donc la série
converge et
vaut le nombre d’Euler e = exp(1).
n!
n!
n≥0
n=0
En effet
X 1 n
3
, elle converge de somme S = .
2
n≥0
+∞
X 1 n
3 1 p+1
Le reste d’ordre p est : R p =
= S − Sp =
3
2 3
n=p+1
on considère la série géométrique.
3
3
Inversement, nous avons vu que la série
X1
n≥1
- Pr : MALIH Nourdine
4
n
diverge.
- 2021
c PSI - My Youssef - Rabat
2
On en déduit facilement que les séries
X ln(n)
n≥1
n
et
X 1
p divergent également.
n
n≥1
Théorème 18 (séries de Riemann).
X 1
avec α ∈ R sont appelées des séries de Riemann.
Les séries de la forme
nα
n≥1
X 1
nα
n≥1
Corollaire 17.
X
X
un et
vn deux séries à termes positifs. Alors :
Soient
un = O(vn )
X
X
un converge.
=⇒
1
vn converge
2
un = o(vn )
X
vn converge
Mathématiques - PSI
3 un ∼ vn =⇒
X
=⇒
X
X 1
nα
n≥1
X
vn sont de même nature.
2
3
Exemples:
1
2
3
4
X n2 + 3n + 1
X n + ln(n)
et
convergent.
n4 + 2n3 + 4
n3
2
X 1
n + 3n + 1
1
n + ln(n)
1
En effet : 4
∼
et
∼
et
la
série
converge.
n + 2n3 + 4 n2
n3
n2
n2
X n2 + 3n + 1
X n + ln(n)
divergent. En effet :
Les deux séries :
et
n3 + 2n2 + 4
n2
2
X
n + 3n + 1
1
n + ln(n) 1
1
∼
et
∼
et la série
diverge.
3
2
2
n + 2n + 4 n
n
n
n
X
1
1
1
La série
converge. En effet : ∀n ∈ N∗ : 0 ¶ 2
¶ ,
n2 (2 + sin n)
n (2 + sin n) n2
X 1
X
1
converge.
Donc
:
la
série
converge.
or la série
2
2
n
n (2 + sin n)
X ecos n
La série
diverge.
n
X1
1
ecos n
En effet : ∀n ∈ N∗ , 0 ¶
¶
, or la série
diverge.
n
n
X ecos n en
Donc la série
diverge.
n
Les deux séries :
- Pr : MALIH Nourdine
⇐⇒
converge
diverge
⇐⇒
α>1
α¶1
Exemples:
un converge.
p
p
X 1
1
)
et
converge.
n2
n2
X 1
X 1
1
1
La série
diverge. En effet : p
¾ 3 et
diverge.
p
3
nln n
nln n n 2
n2
X1
X 1
1
1
1
1
La série
sin est convergente. En effet : sin ∼ 2 et
converge.
n
n
n
n n
n2
1 La série
un et
SÉRIES À TERMES POSITIVES
X
e−
n
converge. En effet : e−
n
= o(
Proposition 19 (Règle nα ).
lim nα un = l ∈ [0,+∞[ et α > 1 =⇒ La série
n∞
X
un converge
n≥1
Exemples:
Considérons la série
On a
lim n
n→+∞
2
e
3
n2
X
n≥1
3
e n2 − 1 .
− 1 = 3,
α = 2 > 1,
alors :
X
3
e n2 − 1 converge.
n≥1
Attention:
Il est essentiel que les des deux séries soit à termes positifs (a partir d’un certain rang).
Par exemple :
X (−1)n
X (−1)n 1
(−1)n (−1)n 1
converge tandis que
p ∼ p + , et
p
p + diverge.
n
n
n
n
n
n
5
- 2021
c PSI - My Youssef - Rabat
4
3
SÉRIES ABSOLUMENT CONVERGENTES
Comparaison série-intégrale
Proposition 23.
Définition 20.
Soit α ∈ R, on a :
∞
X
n1−α
1
∼
kα α − 1
k=n
n
X 1
n1−α
• Si α < 1, alors :
∼
kα 1 − α
k=1
N
X1
•
∼ ln n
n
k=1
Soit f une fonction continue par morceaux sur [a,+∞[ avec a ∈ R.
Z +∞
Z x
f (t)d t converge si lim
on dit que l’intégrale impropre
x→+∞
a
Sinon, on dit qu’elle diverge.
• Si α > 1, alors :
f (t)d t existe et finie.
a
Théorème 21.
Soit f une application continue par morceaux, positive et décroissante sur [n0 ,+∞[.
Alors :
Zn
f (t)dt − f (n) converge.
• La série de terme général
4
n−1
Mathématiques - PSI
• La série
X
f (n) et l’intégrale
+∞
Z
Définition 24.
f (t)dt sont de même nature.
n0
Z
+∞
f (t)dt ¶
Aquel cas : ∀n ≥ n0 ,
n+1
+∞
X
k=n+1
f (k) ¶
Z
Séries absolument convergentes
On dit qu’une série
+∞
f (t)dt
est convergente.
X
un de complexe est absolument convergente si la série
n≥0
X
|un |
n≥0
n
Exemples:
Exemples:
On considère la série
1
.
nln
n
n≥2
X
les séries
1
est continue, positive et décroissante sur [2,+∞[.
t ln t
Z +∞
X 1
Donc : la série
et
f (t)d t l’intégrale sont de même nature.
nln n
2
n≥2
La fonction f (t) =
Z
x
n2
et
X (−1)n
p
n n+1
sont absolument convergentes.
Théorème 25.
Une série absolument convergente est convergente. Auquel cas :
2
un ¶
+∞
X
|un |
n=0
x→+∞
Attention:
1
diverge.
nln n
n≥2
X
La convergence n’implique pas la convergence absolue.
(−1)n
Soit (αn ) la suite de terme général αn = p
et un = αn+1 − αn .
n
X
1. Vérifier que la série
un n’est pas absolument convergente.
X
2. Montrer cependant que
un converge.
L’intérêt de la convergence absolue est qu’on se ramène à l’étude de convergence d’une
série à termes positifs.
Exercice 22 (Séries de Bertrand).
Soit α,β ∈ R. Montrer que :
X
1
la série
converge si et seulement si (α > 1) ou (α = 1 et β > 1 )
α β
n≥2 n ln n
- Pr : MALIH Nourdine
+∞
X
n=0
x
f (t)d t = ln(ln x) = ln(ln x) − ln(ln2) −→ +∞
2
Conclusion la série
X cos n
6
- 2021
c PSI - My Youssef - Rabat
5
5
SÉRIES ALTERNÉES
Séries alternées
Remarque 26.
Définition 28.
Une série convergente et non absolument convergente est dite semi-convergente.
On appelle série alternée une série de la forme
nombres réels de signe constant.
Théorème 27 (Règle du quotient de D’Alembert).
X
Soit
uk une série réelle (ou complexe) qui ne s’annulle pas à partir d’un certain rang,
|un+1 |
telle que : lim
= L.
n+∞ |un |
X
É L < 1, alors
un converge absolument.
X
un diverge grossièrement.
É L > 1, alors
X
(−1)n an où (an ) est une suite de
Exemples:
Les séries
X (−1)n
n
X (−1)n e−n
,
X
(−1)n n2
et
n+1
sont alternées.
Théorème 29 (Critère de Leibnitz=Critère spécial des séries alternées).
Soit (an )n≥0 une suite qui vérifie :
1. Pour tout n ≥ 0 : an ≥ 0,
É L = 1, on ne peut a priori rien dire.
Mathématiques - PSI
2. La suite (an ) est décroissante,
3.
Exemples:
1 Pour tout z ∈ C fixé, la série exponentielle
X zn
n!
n≥0
Alors : la série alternée
converge.
2
3
zn
n!
(i) ∀p ∈ N,
|z|
=
→0= L<1
n+1
(ii) ∀p ∈ N,
lorsque n → +∞.
R p est du signe de (−1) p+1
S2p+1 ≤ S =
un+1
n+1
1
n!
converge, car
=
tend vers < 1.
1
·
3
···
(2n
−
1)
u
2n
+
1
2
n
n≥0
En effet, en posant an =
(n!)2
4 La série
X1
n
diverge avec L
X 1
La série
converge avec L = lim
n+∞
n2
- Pr : MALIH Nourdine
(−1)n
1
n+1
converge.
1
, alors
n+1
1. an ≥ 0,
2. (an ) est une suite décroissante,
3. la suite (an ) tend vers 0.
Par le critère de Leibniz, la série alternée
= 1.
1
(n+1)2
1
n2
X
n≥0
un+1 (2n + 1)(2n + 2)
=
tend vers 4 > 1.
un
(n + 1)2
1
n+1
= lim 1
n+∞
n
(−1)n an ≤ S2p
La série harmonique alternée :
X
diverge, car
|R p | ¶ a p+1 .
et
+∞
X
n=0
Exemples:
X (2n)!
(−1)n an converge.
n≥0
Donc, par la règle du quotient de D’Alembert, la série est absolument convergente,
donc convergente.
+∞
X zn
La somme de cette série est : exp(z) =
.
n!
n=0
n≥0
5
z n+1
(n+1)!
X
De plus :
zn
En effet, pour un =
on a :
n!
un+1
=
un
lim an = 0.
n→+∞
X
(−1)n
n≥0
1
converge.
n+1
Exemples:
= 1.
Voici deux séries alternées :
7
- 2021
c PSI - My Youssef - Rabat
6
X (−1)n
converge par le critère de Leibnitz
p
n
n≥2
X (−1)n
le critère de Leibnitz ne s’applique pas.
• Pour la série
p
n + (−1)n
n≥2
6
• La série
La suite an = p
Produit de Cauchy de deux séries
Définition 31.
X
X
un et
vn deux séries à termes complexes.
Soit
n≥0
1
est positive (pour n ≥ 2) et tend vers 0, mais elle n’est pas
n + (−1)n
n≥0
On appelle produit de Cauchy de ces deux séries, la série
X
u p vq =
p+q=n
Étudions chacun des termes de ce développement limité :
X (−1)n
est une série alternée, qui converge (critère de Leibnitz).
É
p
n
X1
É
est divergente (série harmonique).
n
n
(−1)
É
p est absolument convergente, donc convergente.
n n
1
3
p est le terme général d’une série de Riemann d’exposant α = > 1
2
n n
X
1
É
vn est convergente car vn = O p
n n
Par
somme
de
séries
convergentes
avec
une série divergente, on en déduit que la série
X
un diverge. Cependant, on a bien :
n∈N
n
X
u p vn−p = u0 vn + u1 vn−1 + ··· + un v0
p=0
n∈N
n∈N
convergente, et de plus :
+∞
X
wn =
+∞
X
n=0
Convergence et calcul de :
absolument :
+∞
X
−n
(n + 1)3
n=0
+∞
X
n+1
. Par produit de Cauchy de série convergeant
3n
n=0
+∞ +∞
X 1
X 1
1 1
9
=
=
=
k 3n−k
n
m
3
3
3
4
n=0 k=0
n=0
m=0
n
+∞
XX
Pour x ∈ R, on pose
- Pr : MALIH Nourdine
+∞
X
1 n
x
n!
n=0
(a) Montrer que la fonction f est bien définie sur R.
(b) Établir
f (x) f ( y) = f (x + y) pour tous x, y ∈ R
Exercice 30.
n≥2
vn
Exercice 33.
converge
(−1)
n=0
n=0
f (x) =
p
un
+∞
X
Exemples:
1
1
∼ p
p
n
n + (−1)
n
|{z}
|
{z
}
Etudier la convergence de la série :
w n où
Théorème 32.
X
X
X
Si les séries
un et
vn sont absolument convergentes, alors
w n est absolument
=:vn
Mathématiques - PSI
wn =
∀n ∈ N
(−1)n
1
(−1)n
(−1)n 1
(−1)n
1
=
=
1
−
+
+
o
p
p
p
p
n
n
n
n + (−1)n
n 1 + (−1)
n
n
p
n
(−1)n 1 (−1)n
1
= p − + p +o p
n
n
n n
n n
| {z }
X
X
n≥0
décroissante.
Pour établir la nature de cette série, on a recours à un développement limité :
diverge
PRODUIT DE CAUCHY DE DEUX SÉRIES
n
n + (−1)n
La fonction f est en fait la fonction exponentielle.
8
- 2021
c PSI - My Youssef - Rabat
8
Exemples:
Exercice 34.
Soit
X
Soit z un complexe non nul.
n
n
X
X
z n+1
• Si |z| > 1, alors la série
z n diverge et
zk ∼
z −1
n≥0
k=0
n
∞
X
X
zn
• Si |z| < 1, alors la série
z n converge et
zk ∼
1−z
n≥0
k=n
2
Montrer que :
n
1 X k
2 uk∗
2n k=0
X
Montrer que la série
v est absolument convergente et exprimer sa somme en fonction
X n
de celle de la série
un .
Mathématiques - PSI
1
un une série absolument convergente, on pose :
vn =
7
Sommation des relations de comparaison
Théorème 35.
X
X
un et
vn deux séries à termes réelles positives.
Soient
3
1 On suppose que : un ∼ vn
.
X
vn diverge =⇒
X
un diverge et
p
X
un ∼
n=0
.
X
vn converge =⇒
X
un converge et
p
X
.
X
∞
X
.
∞
X
un ∼
.
X
un diverge =⇒
vn converge =⇒
un diverge =⇒
X
vn diverge et
p
X
un = O
X
un converge et
p
X
+∞
X 1
1 1
1
∼
− = .
2
k
k−1 k n
k=n+1
k=n+1
+∞
X
+∞
X
k2 + k
∼ ln(n).
k3 + 1
k=n+1
X1
diverge .
+∞
+∞
La série
X k2 + k
X 1
n
n≥0
On a :
=⇒
∼
∼ ln(n).
2
k3 + 1 k=n+1 k
n +n ∼ 1.
k=n+1
n3 + 1 n
Montrer que :
vn .
n=0
∞
X
un = O
8
!
∞
X
X
vn diverge et
vn converge =⇒
X
Formule de Stirling
vn .
n=p+1
Proposition 36.
On à l’équivalent suivant :
p
X
un = o
n=0
un converge et
p
X
n! ∼
vn .
n=0
∞
X
n=p+1
- Pr : MALIH Nourdine
=⇒
vn .
3 On suppose que : un = o(vn )
X
1
1
∼ .
2
k
n
k=n+1
X 1
converge .
La série
n2
n≥0
On a :
1
1
1
1
∼
=
− .
2
n
n(n − 1) n − 1 n
un = O(vn )
n=p+1
.
+∞
X
n=p+1
n=0
X
vn .
n=0
n=p+1
2 On suppose que :
FORMULE DE STIRLING
un = o
∞
X
n n p
p
2πn = nn e−n 2πn
e
!
vn .
n=p+1
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- 2021
c PSI - My Youssef - Rabat
8
EXERCICES :
Exercice 37.
1 On pose : un =
n! e n
1
nn+ 2
1
vn =
Déterminer la nature des séries suivantes :
vn = lnun+1 − lnun .
. Notons :
(a)
a
1
+o 2 .
n2
n
X
lnun+1 − lnun est convergente.
(b) En déduire que la série
(a) Montrer que :
(c) Montrer qu’il existe un réel L non nul tel que :
Z
X n2 + 1
(b)
p n n
n! ∼ L n
e
(c)
(d)
n2
n≥1
n≥1
2 On pose : I n =
FORMULE DE STIRLING
X 2
p
n
n≥1
(e)
X
1 n
1−
n
n≥1
X
1
ne n − n
(g)
(h)
n≥1
X (2n + 1)4
(f)
3
2
n≥1 (7n + 1)
X
X n n2
n+1
n≥0
X
1
n≥0
ln 1 + e−n
(i)
n≥0
ncos2 (n)
1
ln(n)
(ln(n))
n≥0
X
π/2
sinn t d t.
2
Déterminer la nature des séries de terme général :
0
n+1
In.
n+2
(b) En déduire l’expression de I2n et de I2n+1 à l’aide de n! et (2n)!.
(c) Prouver que : I n+2 ≤ I n+1 ≤ I n .
I n+1
(d) En déduire : lim
.
n∞ I n
Mathématiques - PSI
(a) Montrer que : ∀n ∈ N,
(−1)n + n
(a) un =
n2 + 1
pn
1
(b) un =
2
I n+2 =
3
4
n n p
p
2πn = nn e−n 2πn
e
b
1
Soit l la limite de lnun . Prouver qu’il existe un réel b, tel que : l − lnun = + ◦
.
n
n
(a) un =
(−1)n ln n
p
n
(−1)n
(d) un = ln 1 − p
n
(b) un =
(−1)n
ln n
(e) un =
(−1)n
n + (−1)n
(f) un =
(−1)n
n2 + (−1)n
1
(c) un = (−1)n sin( )
n
5 En déduire :
p
1
1
n! = nn e−n 2πn 1 +
+o
12n
n
4
(b)
(c)
∞
X
10
3−n+2 + 2−n+3
n=3
∞
X
n2 + 2n
n!
n=1
∞
X
cos(n)
n=0
5
(e) un =
cos(3n)
ln(n)
(f) un =
1
(ln n)(ln(n))
p
(g) un = (−1)n ( n2 + 1 −
n)
p
nsin p1n
n
(h) un = (−1) p
n + (−1)n
Z π/2
cosn x dx
(i) un = (−1)n
0
Montrer que les séries suivantes convergent et calculer leurs sommes :
(a)
- Pr : MALIH Nourdine
(−1)n
(c) un = 1 − 1 − p
n
2
n +n+1
(d) un = ln 2
n +n−1
Déterminer la nature des séries de terme général :
3 En déduire la formule de Stirling :
n! ∼
v
t
n!
(d)
(e)
(f)
Le but de l’exercice est de calculer :
∞
X
n−3
n=1
∞
X
(g)
2n
1
n
n2
n=2
∞
X
(h)
n2 − 2n 3−n
n=1
(i)
∞
X
1
ln 1 − 2
n
n=2
∞
X
2n − 1
3 − 4n2n
n
n=1
∞
X
π ln cos( n+1 )
2
n=0
X 1
.
n2
n≥1
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8
FORMULE DE STIRLING
(a) Soit f une fonction de classe C 1 sur [0,π]. Démontrer que :
Zπ
(2n + 1)t
f (t)sin
d t −→ 0
n+∞
2
0
(b) On pose : An (t) =
n
1 X
+
cos(kt). Vérifier que :
2 k=1
∀t ∈]0,π] :
An (t) =
sin((2n + 1)t/2)
2sin(t/2)
(c) Déterminer deux réels a et b tels que, pour tout n ≥ 1,
Zπ
1
at 2 + bt cos(nt)d t = 2
n
0
(d) Vérifier que :
Z
π
Mathématiques - PSI
0
π2
at 2 + bt An (t) = Sn −
6
n
X
1
où on a posé Sn =
2
k
k=1
(e) Déduire des questions précédentes que : Sn −→
6
Équivalents de sommes partielles :
n
X
1
(a) Montrer :
∼ ln(ln(n))
n→+∞
k
ln(k)
k=2
(b) Montrer :
7
π2
.
6
n
X
1
p
k=1 k
∼
n→+∞
p
2 n.
1
1
+ ··· +
2
n
(a) Prouver que H n ∼n+∞ ln n.
On pose H n = 1 +
(b) On pose un = H n − ln n
et
vn = un+1 − un . Étudier la nature de la série
X
vn .
n
(c) En déduire que la suite (un ) est convergente. On notera γ sa limite.
+∞
X 1
(d) Soit R n =
. Donner un équivalent de R n .
k2
k=n
(e) Soit
X w n tel que H n = ln n + γ + w n , et t n = w n+1 − w n . Donner un équivalent du reste
tk.
k≥n
(f) En déduire que
- Pr : MALIH Nourdine
H n = ln n + γ +
1
1
+o
2n
n
11
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