ecovarqua2008 6

Econométrie des Variables Qualitatives
Emmanuel Duguet
Version 5
2008

1 Les variables qualitatives explicatives 6
1.1 Modèle sans terme constant . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2 Modèle avec un terme constant . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3 Modèle avec variables explicatives . . . . . . . . . . . . . 11
1.4 Modèle avec produits croisés . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4.1 Cas dichotomique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4.2 Cas polytomique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4.3 Cas dichotomique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2 Les variables qualitatives expliquées 16
2.1 Variables dichotomiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2 Variables polytomiques ordonnées . . . . . . . . . . . . . 18
2.3 Variables de comptage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.4 Variables censurées ou tronquées . . . . . . . . . . . . . . 21
3 Le maximum de vraisemblance 22
3.1 Définitions et propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.2 Estimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.3 Les moindres carrés ordinaires . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4 Les algorithmes d’optimisation 38
4.1 Présentation des algorithmes . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.2 Les méthodes de gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.2.1 Algorithme de Newton-Raphson . . . . . . . . . . 40
4.2.2 Algorithme de Berndt-Hall-Hall-Hausman . . . . . 41
4.2.3 Algorithme du score . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4.2.4 Algorithme de Levenberg-Marquardt . . . . . . . 42
4.3 Méthodologie de programmation . . . . . . . . . . . . . . 43
5 Les variables dichotomiques 45
5.1 Cas général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5.2 Le modèle Logit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2

3
5.3 Le modèle Probit (ou Normit) . . . . . . . . . . . . . . . 50
5.4 Interprétation et comparaison des coefficients . . . . . . . 52
5.4.1 Le modèle Probit . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
5.4.2 Le modèle Logit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
5.4.3 Comparaison des coefficients des modèles Logit et
Probit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
5.5 Les aides à l’interprétation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
5.5.1 Variables explicatives binaires . . . . . . . . . . . . 55
5.5.2 Variables explicatives quantitatives . . . . . . . . . 57
5.6 Application : la participation des femmes au marché du
travail . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
6 Les variables polytomiques 64
6.1 Cas général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
6.2 Les variables ordonnées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
6.2.1 Cas général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
6.2.2 Le modèle Probit ordonné . . . . . . . . . . . . . . 67
6.3 Les variables non ordonnées . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
6.3.1 Cas général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
6.3.2 Le modèle logistique multinomial . . . . . . . . . . 69
7 Le pseudo maximum de vraisemblance 73
7.1 Le pseudo maximum de vraisemblance à l’ordre 1 . . . . . 73
7.1.1 La famille exponentielle linéaire à l’ordre 1 . . . . 73
7.1.2 Estimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
7.1.3 Matrice de covariance robuste à l’hétéroscédasticité
de forme inconnue . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
7.2 Le pseudo maximum de vraisemblance quasi généralisé . . 82
7.2.1 La famille exponentielle quasi-généralisée . . . . . 82
7.2.2 Estimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
7.2.3 Les moindres carrés pondérés . . . . . . . . . . . . 83
8 Les variables entières 85
8.1 Le modèle de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
8.1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
8.1.2 Estimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
8.2 Le modèle binomial négatif . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
8.2.1 Estimation par le maximum de vraisemblance . . . 90
8.2.2 Estimation par le pseudo maximum de vraisem-
blance quasi généralisé . . . . . . . . . . . . . . . . 92
8.3 Le modèle avec décision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
8.4 Le modèle avec saut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

4
9 Les variables de durée 98
9.1 Terminologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
9.2 Lois usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
9.2.1 La loi exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
9.2.2 La loi de Weibull . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
9.2.3 La loi Gamma généralisée . . . . . . . . . . . . . . 104
9.2.4 La loi log-normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
9.3 Modélisation en logarithmes . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
9.3.1 Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
9.3.2 Modèle exponentiel et loi de Gumbel . . . . . . . . 108
9.3.3 Modèle exponentiel et loi exponentielle . . . . . . . 110
9.3.4 Modèle de Weibull . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
9.3.5 Modèle Gamma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
9.3.6 Modèle Gamma généralisé . . . . . . . . . . . . . . 112
9.3.7 Modèle log-normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
9.4 Calcul des moments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
9.4.1 Fonction génératrice des moments . . . . . . . . . 114
9.4.2 Moments des lois usuelles . . . . . . . . . . . . . . 115
9.4.3 Résumé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
9.5 Introduction des variables explicatives . . . . . . . . . . . 124
9.5.1 Modèles à hasards proportionnels . . . . . . . . . . 124
9.5.2 Le modèle exponentiel . . . . . . . . . . . . . . . . 125
9.6 Ecriture de la vraisemblance . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
9.6.1 Modèle exponentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
9.6.2 Modèle de Weibull . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
9.6.3 Modèle log-normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
9.6.4 Généralisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
10 Les variables tronquées 132
10.1 Le modèle tronqué . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
10.2 Le modèle Tobit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
10.2.1 Estimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
10.2.2 Valeur initiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
10.2.3 Retour aux paramètres structurels . . . . . . . . . 138
10.3 Le modèle Tobit généralisé . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
10.3.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
10.3.2 Estimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
10.3.3 Valeur initiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
10.3.4 Amélioration de l’estimation . . . . . . . . . . . . 141
10.3.5 Programmation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
11 Estimation de modèles à plusieurs équations 144
11.1 Estimation de la forme réduite . . . . . . . . . . . . . . . 144
11.2 Estimation de la forme structurelle . . . . . . . . . . . . . 146

5
A Moments empiriques et moments théoriques 149
A.1 Moments empiriques des vecteurs . . . . . . . . . . . . . . 149
A.1.1 Moyenne arithmétique . . . . . . . . . . . . . . . . 149
A.1.2 Variance empirique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
A.1.3 Ecart-type empirique . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
A.1.4 Covariance empirique . . . . . . . . . . . . . . . . 151
A.1.5 Corrélation empirique . . . . . . . . . . . . . . . . 152
A.2 Moments empiriques des matrices . . . . . . . . . . . . . . 152
A.2.1 Moyenne arithmétique . . . . . . . . . . . . . . . . 152
A.2.2 Matrice de covariance empirique . . . . . . . . . . 152
A.3 Convergence en probabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
A.4 Inégalité de Bienaymé-Chebichev . . . . . . . . . . . . . . 157
A.5 La loi faible des grands nombres . . . . . . . . . . . . . . 159
A.6 Théorème de la limite centrale . . . . . . . . . . . . . . . 161
B Algèbre linéaire 162
B.1 Calcul matriciel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
B.2 Matrices définies positives . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
B.3 Produits de Kronecker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
C La loi normale 166
C.1 Loi normale univariée tronquée . . . . . . . . . . . . . . . 167
C.2 Loi normale bivariée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
C.3 Loi normale conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
C.4 Loi normale bivariée tronquée . . . . . . . . . . . . . . . . 170
D Simplification du calcul des dérivées 171