ResumeLydexAnalyseMars19Final

Le 15/03/2020
Résumé de cours d’analyse et probabilités MP
A.CHABCHI
Contents
I
II
Espaces vectoriels normés
3
A
B
C
Normes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Norme équivalente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Majoration dans un evn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
3
4
D
E
Voisinage - Ouvert - Fermé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Adhérence et intérieur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
5
F
G
H
I
J
K
Densité . . . . . . . . . . . .
Valeur d’adhérence . . . .
Compact . . . . . . . . . . . .
Continuité des applications
Convergence des suites . . .
Connexité par arcs . . . . .
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5
5
5
6
6
6
Les séries de nombres ou de vecteurs
A Les connaissanes de base : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B Les critères de convergence : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
7
8
C
D
III
B
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Sommation de relation de comparaison . . . . . . . . . . . . . . . 9
Sommabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
11
Suites de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1
Modes de convergence : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2
Propriètés de la limite : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
Séries de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1
Modes de convergence : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2
Propriètés de la somme : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
Séries Entières
A
B
C
V
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Suites et séries de fonctions
A
IV
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13
Rayon de convergence : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
Modes de convergences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Propriètés de la somme : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Intégration :
A
B
C
D
E
15
Intégrale impropre ou généralisée : .
Intégrabilité : critères . . . . . . . . . .
Théorème de la sommation L1 : . . . .
Echange limite et intégrale . . . . . .
Intégrale dépendant d’un paramètre :
1
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15
16
17
18
18
VI
Dérivation et di¤érentiabilité :
A Dérivation : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B Di¤érentiabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C Dérivations des fonctions complexes : holomorphie (CNC) . . .
19
19
20
24
VII
Equations di¤érentielle
A Les ABC de la MPSI . . . . . . . . . .
B Equation scalaire d’ordre 2 : . . . . .
C Systèmes di¤érentiels linéaires . . . . . .
D Equation di¤érentielle non linéaire (CNC)
E Courbe paramétrée . . . . . . . . . . . . .
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24
24
25
25
26
27
Probabilité
A Espace de probabilité . . .
B Probabilité conditionnelle
C Indépendance . . . . . . .
D Variable aléatoire . . . . .
E Espérance : cas discret . . .
F Moment - variance . . . .
G Fonction génératrice . . .
H Approximation et limite .
I
Variable à densité (CNC)
J Convergence . . . . . . . .
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27
27
29
30
30
31
32
33
33
33
35
VIII
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Abstract
Ce résumé est illustré par de nombreux exemples pour faciliter son usage. Les exemples utilisent toutes les notions du programme et peuvent-être laissé à une seconde lecture
en cas de di¢ culté.
Bon courage
2
I.
Espaces vectoriels normés
A.
Normes
1. Norme = Toute application N : E ! R+ véri…ant :
(a) N (x) = 0 () x = 0
(b) N ( x) = j j N (x)
(c) N (x + y)
N (x) + N (y) a
2. Exemples :
(a) Dans Kn : kxk1 = max jxk j ; et kxk1 =
1 k n
0
(b) Dans E = C ([a; b] ; K) ; kf k1 =
Z
b
n
X
k=1
jxk j ; où x = (x1 ; :::; xn ) :
jf (t)j dt et kf k1 = max jf (t)j :
a t b
a
3. Une classe de norme très importante est celle des normes
p issues d’un
produit scalaire : Si h:; :i un produit scalaire sur E; alors kxk = hx; xi est une
norme. En plus de l’inégalité triangulaire, cette norme véri…e aussi l’inégalité de
Cauchy-Schwarz : jhx; yij kxk kyk, avec égalité ssi (x; y) liée.
v
uX
u n
2
n
jxk j = t XX est la norme euclidienne usuelle associée
(a) Dans R : kxk = t
k=1
à : hx; yi =
n
X
xk yk
k=1
n
X
xi yi = t XY: , Cauchy-Schwarz donne :
i=1
v
v
uX
uX
n
u n
2u
2
t
jxk j t
jyk j avec égalité ssi (x; y) liés.
k=1
k=1
et kx + yk = kxk + kyk ssi (x; y) positivement liés
v
uX
n
p
u n X
2
(b) Dans Mn (R) : kM k = t
jmij j = T race (t M M ); associée à hM; N i =
i=1 j=1
T race (t M N ) :
0
(c) Dans E = C ([a; b] ; R) ; kf k2 =
Cauchy-Schwarz :
Z
b
sZ
a
f (t) g (t) dt
2
jf (t)j dt; associée à hf; gi =
sZ
sZ
b
a
a
ité ssi (f; g) liés:
b
b
2
jf (t)j dt
a
Z
b
f (t) g (t) dt:
a
2
jg (t)j dt avec égal-
rZ
Z
2
jf (t)j dt; associée à hf; gi = f (t) g (t) dt:
(d) Dans E = L2C (I; R) ; kf k2 =
I
I
rZ
rZ
Z
2
2
Cauchy-Schwarz :
f (t) g (t) dt
jf (t)j dt
jg (t)j dt avec égalite
ssi f et g:sont liés.
I
I
I
Restent valables pour K = C en remplaçant dans h:; :i : x par son conjugué
x dans (a), M par M dans (b) et f par f dans (c) : on obtient alors :
n
X
hx; yi =
xi yi = t XY dans Cn ; hM; N i = T race t M N dans Mn (C) et
Zi=1
b
hf; gi =
f (t)g (t) dt dans C 0 ([a; b] ; C) :
a
4. Norme de matrice ou d’endomorphisme : Lorsqu’on travaille dans une algèbre
comme Mn (K) ou L (E) : il est pratique de choisir des normes d’algèbre (sousmultiplicatives) : kABk
kAk kBk ou ku vk
kuk kvk : Ces normes véri…ent
p
kAp k kAk :
B.
Norme équivalente
1. N1
N2 () la convergence au sens de N2 entraîne la convergence au sens de N1 :
2. Deux normes N1 et N2 sont équivalentes s’il existe ;
0;
N1
N2
N1 .
3. Deux normes équivalentes dé…nissent la même topologie : même suite convergente,
même ouverts, même fermé, même ....
3
4. Equivalence des normes : En dimension …nie, toutes les normes sont équivalentes : Toutes les notions topologiques sont alors indépendantes de la norme, vous
choisissez la norme la mieux adaptée.
X A2k
est convergente. Vu l’équivalence
Exemple : Montrer que la série de matrice
(2k)!
k 0
des normes en dimension …nie, on choisit une norme d’algèbre, donc
2k
X kAk2k
A2k
kAk
; or la série de nombre
converge selon le ctritère de
(2k)!
(2k)!
(2k)!
k 0
X A2k
D’Alembert, donc la série de matrice
converge absolument, donc converge.
(2k)!
k 0
C.
Majoration dans un evn
1. Inégalité triangulaire :
(a) Pour 2 éléments : kx + yk
(b) Pour un nombre …ni :
n
X
kxk + kyk :
n
X
xk
k=1
k=1
+1
X
(c) Pour une série Absolument Cv :
k=0
2. Minoration : kx + yk
D.
kxk
kxk k
xk
+1
X
k=0
kxk k
kyk
Voisinage - Ouvert - Fermé
1. V 2 V (x) () 9 r > 0; B (x; r) V: Les réunions quelconque et les intersections
…nies de voisinages sont des voisinages
2. Ouvert = voisinage de tous ses point et Fermé = Complémentaire d’ouvert
3. F fermé () 8 (un ) 2 F N ; avec lim un = l; alors l 2 F: Pour montrer F fermé,
prendre une suite convergente d’éléments de F et montrer que sa limite est dans F:
Exemples:
(a) F = (x; y) 2 R2 = xy
0:
0 fermé car si 8n; xn yn
0 alors lim xn
n
lim yn
n
(b) L’ensemble des matrices diagonales est fermé car la limite d’une suite de matrices diagonales est aussi diagonale.
(c) L’ensemble des matrices triangulaires sup est fermé car la limite d’une suite de
matrices triangulaires sup est aussi triangulaire sup.
4. F fermé (relatif) de E () F = f
continue sur E:
1
(f erme simple de E 0 ) ; avec f : E ! E 0
Exemples :
(a) F = (x; y) 2 R2 = xy 1 = f
polynômiale et [1; +1[ fermé.
1
([1; +1[), où f (x; y) = xy continue car
(b) La sphére unité S (0; 1) = fx 2 E = kxk = 1g = f
continue et f1g fermé.
1
(f1g) ; où f (x) = kxk
(c) Le groupe orthogonale On (R) = f 1 (fIn g) est un fermé de Mn (R) ; où
f (M ) = t M M continue sur Mn (R) car à composante polynômiale des coef…cients de M:
5. O ouvert (relatif) de E () O = f
continue sur E:
1
(Ouvert simple de E 0 ) ; avec f : f : E ! E 0
Exemples :
(a) GLn (K) = fM 2 Mn (K) = det (M ) 6= 0g = det
polynômiale et K ouvert.
(b) O = (x; y) 2 R2 = xy > 1 = f
polynômiale et ]1; +1[ ouvert.
4
1
1
(K ) ; det continue car
(]1; +1[), où f (x; y) = xy continue car
E.
Adhérence et intérieur
1. x 2 A si 8 r > 0; B (x; r) \ A 6= ? et x 2 A si 9 r > 0; B (x; r)
A
2. F r (A) = A n A
3. d (x; A) = 0 () x 2 A
4. Théorème :
(a) A est l’ensemble des limites des suites convergentes d’éléments de A: C’est aussi
le plus petit fermé contenant A et A = A ssi A fermé
(b) A est le plus grand ouvert de E contenu dans A et A = A ssi A ouvert
F.
Densité
1. A est dense dans E si A = E : Tout élément de E est limite d’une suite d’élément
de A ou encore toute boule de rayon non nul contient un point de A:
2. Deux fonctions continues coincidant sur une partie dense sont partout égales.
3. Pour établir une propriété, on pourra commencer par l’établir sur une sous partie
dense.
Exemple : GLn (K) est un ouvert dense de Mn (K) ; et comme application par
exemple les produits M N et N M ont le même polynôme caractéristique.
G.
Valeur d’adhérence
1. l est valeur d’adhérence de (xn )n ssi l est la limite d’une suite extraite de (xn ) :
2. Une suite convergente admet une seule valeur d’adhérence qui est sa limite. Une
suite ayant au moins 2 valeurs d’adhérence est divergente.
3. Bolzano-Weierstrass : En dimension …nie, toute suite bornée admet au moins
une valeur d’adhérence. Et toute suite bornée ayant une seule valeur d’adhérence
est convergente.
H.
Compact
1. A compact si toute suite de A admet une valeur d’adhérence dans A:
2. Compact =) fermé-borné
3. En dimension …nie : Compact = fermé et borné.
4. Un produit cartésien …ni de compact est compact
5. L’image continue d’un compact est un compact.
6. Théorème des bornes atteintes : Toute fonction continue sur un compact
est bornée et atteint ses bornes. Pour montrer qu’une fonction est bornée ou
atteint ses bornes penser à utiliser ce résultat.
Exemples :
(a) f 2 C 0 ([a; b] ; R) ; alors 9 c 2 [a; b] ; f (c) = sup f (t), car f est continue sur
a t b
le compact [a; b] :
(b) A 2 Mn (K) ; alors 9 Y 2 Mn;1 (K) ; kY k = 1 et kAY k = sup kAXk ; car
kXk=1
X 7 ! AX est continue sur la sphère unité qui est compact.
(c) La distance à un compact (non vide) est atteinte : Si A compact, 8 x 2 E;
9 a 2 A : d (x; A) = kx ak
5
I.
Continuité des applications
1. Toute application linéaire, n-linéaire en dimension …nie est continue.
Exemples :
(a) Les applications A 7 ! T race (A) et A 7 ! P AP
car linéaires en dimension …nie
1
sont continues sur Mn (K)
(b) L’application X 2 Mn;1 (K) 7 ! AX est C 0 car linéaire en dimension …nie.
2. Toute application polynômiale ou de composante polynômiale est continue sur E:
3. Toute fonction rationnelle ou de composante rationnelle est continue sur son domaine
de dé…nition
Exemples :
(a)
L’ application A 7 ! det (A) est continue sur Mn (K) car polynômiale en
fonction des (aij ).
(b) A 7 ! AP est continue sur Mn (K) car de composantes polynômiales.
t
(c) A 7 ! A
1
=
com (A)
est continue sur GLn (K) car de composantes radet (A)
tionnelles.
4. Toute application Lipschitzienne est uniformément continue.
5. Heine : Sur un compact, il y’a équivalence entre continuité et uniforme continuité.
6. Caractérisation séquentielle de la continuité
f 2 F (A; F ) est continue en a 2 A ssi pour toute suite (xn ) d’élément de A convergeant vers a; la suite des images (f (xn )) converge vers f (a) :
S’utilise souvent pour justi…er que :
J.
lim f (xn ) = f
n!+1
lim xn :
n!+1
Convergence des suites
1.
lim un = l () lim kun
n!+1
2. Si kun
lk = 0
n!+1
lk
n
avec lim
n!+1
n
= 0; alors lim un = l:
n!+1
3. En dimension …nie , une suite converge ssi ses coordonnées dans une base converge
vers les coordonnées de la limite
Exemples :
(a)
lim (xp ; yp ) =
p!+1
lim xp ; lim yp
p!+1
p!+1
(b) Une suite de matrice Ap = (aij (p)) converge vers A = (aij ) ssi 8 (i; j) :
In
= A:
lim aij (p) = aij : Par exemple lim
A+
p!+1
p!+1
p
4. Suites de Cauchy : 8 " > 0; 9 N 2 N; 8 p
N; 8 q
N; kup
uq k
":
En dimension …nie : Une suite est convergente si et seulement si elle est de
Cauchy. Ce critère est théorique et ne fournit aucune idée sur la limite , il est
a utiliser en dernier lieu.
En dimension in…nie : Les suites de Cauchy convergent dans les espaces dits
Complets:
Un complet est fermé. En particulier tout s-ev de dimension …nie d’un evn est
fermé.
K.
Connexité par arcs
1. Un connexe par arcs A est formé d’un seul morceau : Deux points de A sont
joingnable par un chemin continue dans A : Pour tout (a; b) 2 A2 ; il existe
: [0; 1] ! A continue tel que
(0) = a et
(1) = b:
2. Les connexes par arcs de R sont les intervalles
6
3. Pour montrer que A connexe par arcs, on essaye d’abord de montrer convexe :
joindre deux points par un segment ou étoilé : joindre tout point par un segment à
un point donné …xé.
Par exemple l’ensemble des matrices diagonalisables est étoilé en In ; donc connexe
par arcs
4. Théorème des valeurs intermédiaires : L’image continue d’un connexe par arcs
est un connexe par arcs : Si une fonction à valeurs réelles prend deux valeurs de
signes opposés sur un connexe par arcs A; alors elle s’annule sur A: Par exemple,
pour n 2; det (On (R)) = f 1; 1g non connexe et det continue, donc On (R) non
connexe par arcs.
5. Les seuls ouverts-fermés d’un connexe A sont A lui même et ?:
6. Lorsque A non connexe par arcs, on s’intéresse aux plus grandes sous-parties connexes : composantes connexes par arcs.
II.
Les séries de nombres ou de vecteurs
A.
Les connaissanes de base :
1. Croissance comparée :
ln n
=0
n
(b) n = o (an ) ; a > 1; On rappelle que an = en ln(a) :
(a) ln n = o (n ) ;
> 0 : Càd lim
n!+1
(c) an = o (n!) :
2. Divergence grossière :
exemple
lim un 6= 0 =)
n!+1
X
un diverge grossièrement. Par
n 0
X enx
diverge grossièrement pour x > 0:
n
n 1
3. Reste et somme partielle : Sn =
n
X
uk et Rn = S
k=0
n ! +1:
+1
X
Sn =
k=n+1
uk ! 0 quand
4. Série de références
(a) Série géométriques : u 2 K; La série
cas :
i. S =
+1
X
un =
n=0
ii.
+1
X
k=n
uk =
1
1
un
1
u
u
X
n 0
un converge ssi juj < 1: dans ce
:
: Par exemple pour x > 0;
+1
X
e
kx
k=2
un =
P
e
1
2x
e
x
:
P
n+1
un = ( 1)
jun j.
P
est décroissante de limite nulle, alors
un converge et
5. Série alternée : de la forme
P
=
n
( 1) jun j ou
P
(a) CSSA : Si (jun j)n
+1
X
véri…e :
uk
jun+1 j : le reste est dominé par la valeur absolue de son
k=n+1
premier terme et a le même signe.
(b) Exemples : Les séries
CSSA.
P ( 1)n+1
P
1
n
p
et
( 1) ln 1 +
n
n
converge selon le
X 1
converge ssi > 1:
n
X
1
7. Séries de Bertrand : La série
converge ssi ( > 1) ou ( = 1 et
n ln n
6. Séres de Riemann : La série
7
> 1)
B.
Les critères de convergence :
1. Le D’Alembert : 8 n
0; un > 0
P
un+1
< 1; alors
un converge
n!+1 un
P
un+1
(b) Si lim
> 1; alors
un diverge grossièrement.
n!+1 un
un+1
(c) Si lim
= 1; Cas douteux !!
n!+1 un
(a) Si
lim
Dans un evn il s’applique à la série
P
kun k pour donner la CvA qui donne la Cv
3(n+1)
n+1 z
( 1)
3n
X
(n + 1)!
n z
CvA pour tout z 2 C ; car lim
=
: la série
( 1)
3n
n!+1
n!
n z
( 1)
n!
3
jzj
lim
= 0 < 1:
n!+1 n + 1
2. Comparaison :
P
P
(a) Domination : jun j = O ( n ) ou o ( n ) et
un CvA
n converge, alors
donc Cv.
Exemples :
P 2 n
P 1
1
i. La série
n e
converge car n2 e n = o
et
converge.
2
n
n2
P
1
1
ii. Pour
> 1; la série de Bertrand
converge car
=
n ln n
n ln n
1
; où 2 ]1; [ :
o
n
P
P
(b) Equivalence : un s vn avec 8 n; vn
0; alors
un converge ()
vn
converge.
Exemples :
P 1
P
1
1
1
converge
converge car 1 cos s 2 et
i. La série
1 cos
n
n
2n
2n2
à terme 0:
n
n
P 1
Pe 1
1
1
1
e 1
p
p
ii. La série
1+
diverge car p
1+
s p et
n
n
n
n
n
n
converge à terme 0:
3. Suite se ramenant à une série : Il est parfois pratique ( lorsque le terme de la
suite est une somme, ou un produit ) de ramener l’étude d’une suite à celle d’une
série par téléscoppage : Soit (un ) X
suite, on pose v0 = u0 et vn+1 = un+1 un ; alors
la suite (un ) converge ssi la série
vn converge..
n 0
Exemples :
1
1
(a) Montrer que la suite un = 1 + + ::: +
ln n est convergente : En e¤et
2
n
X
1
1
un+1 un
; avec
converge et garde un signe constant, donc
2
2
2n
2n
X
la série
(un+1 un ) et donc la suite (un ) convege vers un réel
dit la
constante d’Euler
(b) Même question pour vn = n!e
1
n n+ 2
n
dans ce cas on se ramène à une somme en
vn+1
considérant ln (vn ) : On cherche un équivalent de ln (vn+1 ) ln (vn ) = ln
;
vn
X
on conclut que la série
(ln (vn+1 ) ln (vn )) converge, puis on conclut que
les suites (ln vn ), puis (vn ) convergent.
4. Comparaison avec une intégrale
Théorème : Soit f 2 C 0 M ([a; +1[P
; R) une fonction continue par morceaux,
positive et décroissante. Alors la série n n0 f (n) converge ssi la fonction f est
intégrable au V (+1) : dans ce cas
Z +1
Z +1
f (t) dt
Rn
f (t) dt
n+1
n
Z n
et Sn s
f (t) dt en cas de divergence
a
8
Très utile pour chercher des équivalents de restes, de sommes partielles ou de sommations.
Exemple :
n
X
1
est équivalente à ln (n)
k
(a) Montrer que Sn =
k=1
(b) Pour
> 1; montrer que le reste de Riemann Rn =
+1
X
k=n+1
à
1
1) n
(
1
1
est équivalente
k
:
Cas complexe ou réel quelconque : Soit f 2 C 1 ([a; +1[ ; C)Zune fonction de
n
X
f (t) dt est
classe C 1 : Si f 0 est intégrable au V (+1) alors la série
f (n)
n 1
P
absolument convergente et si f est aussi intégrable au V (+1) alors la série
f (n)
est absolument convergente.
Z n
Z n
0
(t (n 1)) f (t) dt
f (t) dt =
En e¤et : noter l’intégration par partie astucieuse :
n 1
n 1
Z n
0
(t n + 1) f (t) dt; donc
= f (n)
Z
f (n)
n 1
n
Z
f (t) dt =
Z
n
n + 1) f 0 (t) dt
(t
n 1
n 1
n 1
n
jf 0 (t)j dt
5. Transformation d’Abel (Hors programme mais classique) Soit ("n )n une suite
réelle décroissante de limite nulle et (un ) une suite à terme dans un evn de dimension
n
P
P
est bornée. Alors la série
"n un
…nie E; dont la somme partielle An =
uk
k=0
n
est convergente.
n
X
On montre que sa somme partielle Sn =
"k uk véri…e le critère de Cauchy, en
k=0
écrivant un = An
An
1:
Exemple : Pour
2 ]0; 1] ; les séries
X sin (n )
X cos (n )
et
(
n
n
6= 0 [2 ])
6. Série de matrice ou d’endomorphisme.
(a) Si jjjAjjj < 1; alors la série géométrique de matrice
+1
X
Ak = (In
1
A)
: En particulier la matrice (In
X
Ak CvA et de somme
k 0
A) est inversible.
k=0
(b) 8 A 2 Mn (K) ; alors la série exponentielle
7. Produit de Cauchy :
(a)
X
un
n 0
(b) Si
n 0
+1
X
un
C.
vn =
n 0
X
n=0
X
un et
X
n 0
X
n
X
uk vn
k
k=0
!
vn =
+1 X
n
X
n=0
n=0
uk vn
k
k=0
!
k!
CvA et de somme exp (A) :
:
vn CvA, alors le produit
n 0
+1
X
X Ak
X
n 0
n
X
k=0
uk vn
k
!
CvA aussi et on a
:
Sommation de relation de comparaison
Sommation de relation de comparaison :
1. Soit (un ) 2 E N ; (
(a) Si un = O (
n)
n)
N
2 (R+ )
alors
+1
X
, on suppose
+1
X
uk = O
k=n
(b) Si un = o (
n)
alors
+1
X
2. Soit (un ) 2 E N ; (
n)
N
2 (R+ )
k
k=n
uk = o
k=n
P
+1
X
k
k=n
, on suppose
9
n
!
!
P
converge alors :
:
::
n
diverge alors :
(a) Si un = O (
(b) Si un = o (
n)
n)
alors
alors
n
X
uk = O
k=0
n
X
k=0
n
X
uk = o
k=0
N
3. Soit (un ) 2 (R+ ) ; (
(a) Si
(b) Si
P
P
n
n
n)
n
X
k
k
k=0
!
!
:
::
2 RN
est convergente et un s
est divergente et un s
n
n
alors
alors
+1
X
uk s
k=n
n
X
uk s
k=0
+1
X
k
k=n
n
X
k
k=0
Pratique : En général, en cas de convergence la relation de comparaison
se transmet aux restes et en cas de divergence elle se transmet aux sommes
partielles.
n
1 P
uk converge
Exemple : (un ) 2 E N ; lim un = l; montrons que la moyenne
n
n + 1 k=0
n
P
P
(uk l) =
aussi vers l : On a un l = o (1) ; avec 1 divergent et à terme positif, donc
n
P
o
1
k=0
D.
1
= o (n + 1) : D’où
n+1
n
P
k=0
uk
l = o (1) :
k=0
Sommabilité
1. Ensemble dénombrable : En bijection avec N; donc on peut le ranger en une
suite fxn = n 2 Ng
Un produit cartésien …ni d’ensemble dénombrable est dénombrable
Une réunion …ni ou dénombrable d’ensemble dénombrable est dénombrable.
Z; N
N; Q sont dénombrables ainsi que leurs sous-parties in…nies.
R et ses sous-intervalles non réduit à un singleton sont non dénombrables
2. Sommabilité :
(a) Sommabilité : I dénombrable et (xi )i2I 2 KI est dite sommable si la famille
à terme positif des modules
! (jxi j)i2I est sommable : les sommes partielles …nies
X
jxi j ; J I; J …ni sont majorées. Dans ce cas sa somme ne dépend pas
i2J
de l’ordre de la sommation.
(b) Cas d’une suite (xn )n2N : Elle est sommable si et seulement si la série
est absolument convergente.
P
xn
n2N
(c) Sommation par paquet : Soit (In )n2N une partition
! de I: La famille (xi )i2I
X P
est sommable si et seulement si la série
jxi j est convergente. Dans
n 0
ce cas
X
xi =
+1
X
n=0
i2I
X
i2In
i2In
xi
!
(d) Sommabilité des suites doubles qui permet d’échanger l’ordre de
deux sommations in…nies (Fubini)
Théorème fondamental : Interversion des sommations
Soit u = (up;q )(p;q)2N2 une suite double de réels ou de complexes, les propriètés
suivantes sont équivalentes:
u est sommable.
Pour tout q 2 N …xé; la série
+1
X X
q2N
p=0
!
jup;q j
p2N
q=0
!
jup;q j
up;q est absolument convergente et la série
p2N
est convergente.
Pour tout p 2 N …xé; la série
+1
X X
X
X
up;q est absolument convergente et la série
q2N
est convergente.
10
Dans ce cas, on a :
s (u) =
+1 X
+1
X
p=0
up;q
q=0
!
=
+1 X
+1
X
q=0
up;q
p=0
!
:
Dans la pratique, on commence par la sommation la plus facile ( Géométrique, téléscopique,...) : C’est le point fort du théorème !!
Exemple1 : Montrer que
+1
X
( (k)
1) = 1; où
(k) =
k=2
Zêta de Riemann.
Réponse : Cela revient à montrer que :
1
nk
+1
X
1
désigne la fonction
nk
n=1
+1 X
+1
X
1
= 1: On considére la suite double
k
n
n=2
k=2
k
; on …xe n
n 2;k 2
X 1
2; la série
n
est géométrique de raison
k 2
1
< 1; donc
n
converge et de somme
+1
k
X
X
1
1
1
1
1
= 2
=
et aussi
est convergente, ainsi
1
n
n
n (n 1)
n (n 1)
n 2
k=2
1
n
est sommable et par suite :
+1
X
( (k)
1) =
k=2
+1 X
+1
+1
+1
+1 X
+1
X
X
X
X
1
1
1
=
=
=
nk
nk
n (n 1) n=2
n=2
n=2
n=2
k=2
k=2
1
n
1
1
n
1
nk
n 2;k 2
=1
Exemple2 : Si X et Y sont deux variables aléatoires discrètes à valeurs entières
admettant des espérances; montrer que E (X + Y ) = E (X) + E (Y ). Si de plus X et Y
sont indépendantes, montrer alors que E (XY ) = E (X) E (Y )
X
XX
Ecrire E (X) =
kP (X = k) =
kP (X = k) P (Y = k 0 ) et
k2N
E (Y ) =
XX
0
0
k2N k0 2N
k P (Y = k ) P (X = k) : Ces familles étant sommables, on choisit la
k0 2N k2N
partition (An )n2N de N2 avec An = (k; k 0 ) 2 N2 = k + k 0 = n ; alors
X
X
X
E (X)+E (Y ) =
n
P (X = k) P (Y = k 0 ) =
nP (X + Y = n) = E (X + Y )
n2N
(k;k0 )2An
n2N
Pour le produit choisir la partition (An )n2N de N2 avec An = (k; k 0 ) 2 N2 = kk 0 = n
III.
Suites et séries de fonctions
A.
Suites de fonctions
1.
Modes de convergence :
1. La convergence simple : La suite de fonctions (fn )n CvS sur la partie A vers la
fonction f si : 8 x 2 A; lim fn (x) = f (x) :
n!+1
Exemples :
nx2
(a) La suite de fonctions fn (x) = nxe
x
(b) La suite de fonctions fn (x) = 1 +
n
CvS sur R vers la fonction nulle
n
CvS sur R vers la fonction f : x 7 ! ex
2. La convergence uniforme : La suite de fonctions (fn )n CvU sur la partie A vers
la fonction f si :
lim
n!+1
sup jfn (x)
f (x)j
= 0:
x2A
Pour montrer la convergence uniforme, on peut dominer uniformément la différence jfn (x) f (x)j par une suite de limite nulle.
Exemples :
(a) La suite de fonctions fn (x) =
1
8 x 2 R; jfn (x)j
!0
n
e
nx2
n
(b) La suite de fonctions fn (x) = 1 +
la fonction f : x 7 ! ex car jfn (n)
11
CvS sur R vers la fonction nulle car
x n
ne Cv pas Uniformément sur R vers
n
f (n)j = en 2n 9 0:
2.
Propriètés de la limite :
Tout d’abord, Il est à noter que la convergence simple ne permet pas de
transmettre les propriètés des fn à la limite f:
1. Continuité de la limite : A partie de E, fn : A ! F .(E et E evn de dim < +1)
Si
8 n 2 N; fn continue sur A partie d’un evn de dimension …nie
;
La suite (fn ) CvU sur tout compact C de A; vers f
alors f est continue sur A:
Pratique :
Si A
Si A R; choisir C = [a; b] segment de A:
E evn, choisir C = Bf (a; r) boule fermee de A
2. Dérivabilité de la limite : J intervalle de R, fn : J ! F evn de dim < +1
8
8 n 2 N; fn de classe C 1 sur J
<
La suite (fn ) CvS sur J vers f
Si
:
La suite (fn0 ) CvU sur tout segment [a; b] de J
alors f est C 1 sur J et lim fn0 =
n!+1
lim fn
0
n!+1
:
(k)
Extension C k : Se généralise aux fonctions de classes C k sous la CvU de fn
sur les segments et la CvS des autres dérivées.
n
Pratique : S’utilise pour les fonctions à plusieurs variables en passant par les
dérivées partielles
3. Théorème de Stone-Weierstrass : Toute fonction continue sur un segment [a; b]
[a;b]
! 0 quand
est limite uniforme sur [a; b] d’une suite de polynôme : kPn f k1
n ! +1:
Z b
0
xn f (x) dx = 0;
Application : Si f 2 C ([a; b] ; K) véri…ant pour tout n 2 N;
a
alors f = 0: Commencer par les fonctions polynômes et généraliser par densité
B.
Séries de fonctions
1.
Modes de convergence :
1. La convergencePsimple : La série de fonctions
8 x 2 A; la série
fn (x) Cv.
Exemples :
(a) La série de fonctions
Cv
(b) La série de fonctions
P
nxe
nx2
P
fn CvS sur la partie A, si :
CvS sur R, car nxe
P zn
CvS sur C
(2n)!
2. La convergence uniforme : La suite de fonctions
sa suite des restes (Rn ) CvU vers 0 : Càd
lim
n!+1
compliqué, mais il y’a deux cas où c’est trés simple :
nx2
=o
1
n2
et
P 1
n2
P
fn CvU sur la!partie A, si
+1
X
sup
fk (x) = 0: C’est
x2A
k=n+1
3. Cas de la convergence normale :
P
P
A
fn CvN si la série numérique
kfn k1 converge:
P
Majoration uniforme : Si 8 x 2 A; jfn (x)j
n avec
n converge, alors
P
P
A
la série numérique
kfn k1 converge; donc
fn CvN sur A et donc CvU
sur A: Attention n ne dépend pas de x:
Exemples :
X cos (nx)
X 1
1
avec
Cv.
n2
n2
n2
X 1
X 1
1
1
(b) Pour a > 1;
CvU
sur
[a;
+1[
car
avec
Cv.
nx
nx
na
na
X Ak
(c) A 2 Mn (K) ; la série exponentielle
CvN sur tout compact de Mn (K)
k!
P rk
Ak
rk
: Sur toute boule B (0; r) ; pour une norme d’algèbre
et
Cv
k!
k!
k!
(a)
CvU sur R car
cos (nx)
n2
12
4. Cas des séries alternées : Si 8 x 2 A; la série
véri…ant le CSSA et
jRn (x)j
lim
n!+1
jfn+1 (x)j
X
x2A
n
( 1)
xn
CvU sur [0; 1] car jRn (x)j
n
X
x
n
(b) La série
( 1) ln 1 +
n
x
a
! 0:
n+1
n+1
2.
= 0 alors
kfn+1 k1 ! 0:
Exemples :
(a) La série
sup jfn (x)j
X
X
n
( 1) fn (x) est alternée
n
( 1) fn CvU sur A car
xn+1
n+1
1
! 0:
n+1
ln 1 +
CvU sur [0; a] car jRn (x)j
x
n+1
Propriètés de la somme :
1. Continuité de la somme :
8P
n 2 N; fn continue sur A
Si
;
La série
fn CvU sur tout compact de A
alors la somme
+1
X
fn est continue sur A:
n=0
2. Dérivabilité de la somme : J intervalle de R
8
8 n 2 N; fnPde classe C 1 sur J
<
La série
Si
P 0 fn CvS sur J.
:
La série des dérivées
fn CvU sur tout segment [a; b] de J
!0 +1
+1
X
X
fn =
fn0 :
alors f est C 1 sur J et
n=0
n=0
k
Extension aux fonctions C : se généralise aux fonctions C k sous la CvU locale
P (k)
de
fn sur les segments ou les boules et la CvS des autres séries iintermédiaires.
Pratique : S’applique aux fonctions à plusieurs variables, en passant par les dérivées
partielles
Exemples : La fonction
8
>
<
8n
1; fn (x) =
>
: 8 x 2 [a; b]
a>1
IV.
1
est C k sur I; 8k
nx
1; 8k
0; jfn (x)j
0
k
ln (n)
na
avec
P lnk (n)
Cv puisque
na
Séries Entières
De la forme
A.
I; 8n
+1
X
1
est C 1 sur A = ]1; +1[ car
x
n
n=1
(x) =
X
an z n ; comme
P
z n ou
Rayon de convergence :
1. Dé…nition : 9 !R
P
0; ou in…ni tel que
dit le rayon de convergence.
nz 2n dite lacunaire
P
jzj < R =) Pan z n converge
; R est
jzj > R =) an z n diverge
2. Calcul de rayon
(a) Le D’Alembert : Ne s’applique pas au séries lacunaires
jan+1 j
1
Si 8 n 2 N; an 6= 0 et lim
= l; alors R = :
n!+1 jan j
l
Exemples :
P
j(n + 1) j
1
= 1; donc R = = 1
jn j
1
(n+1)
P n n
e
1
ii.
e z de rayon e car lim
= 1=e; donc R =
=e
n!+1
je n j
1=e
P zn
1
j1= (2 (n + 1))!j
iii.
de rayon +1 car lim
= 0; donc R = = +1
n!+1
(2n)!
j1= (2n)!j
0
i.
n z n de rayon 1 car lim
n!+1
13
P
iv. Pour une série lacunaire 2n z 3n appliquer le D’Alembert des séries numériques
2n+1 z 3(n+1)
3n
= 2 jzj ; donc
: lim
n!+1
j2n z 3n j
8
P
1
3n
>
=) 2 jzj < 1 =) 2n z 3n converge
< jzj < p
3
1
2
; D’où R = p
:
P n 3n
3
1
3n
>
2
: jzj > p
=) 2 jzj > 1 =) 2 z diverge
3
2
P
P
(b) Relation de Comparaison : Soit
an z n de rayon Ra et
bn z n de rayon
Rb
i. Si an = o (jbn j) ou O (jbn j) alors Ra Rb :
ii. Si n s bn alors Ra = Rb
P
1
1
Exemples :
ln 1 + 2 z n admet 1 comme rayon car ln 1 + 2
n
n
P 1 n
et
z de rayon 1 selon D’Alembert.
n2
B.
s
1
n2
Modes de convergences
P
1. Cas réel : Soit
an xn de rayon R; alors
8
P
an xn CvA sur ] R; R[
>
>
< P
n
] R; R[
P annx CvU sur tout [ r; r]
a
x
diverge
grossiérement
pour
jxj > R
>
n
>
:
En x = R; on ne peut rien dire en général
P
2. Cas complexe : Soit
an z n de rayon R; alors
8
P
an z n CvA sur D (0; R)
>
>
< P
n
D (0; R)
P an zn CvU sur tout D (0; r)
a
z
diverge
grossiérement
pour
jzj > R
>
n
>
:
En jzj = R; on ne peut rien dire en général
Erreur à éviter : En général pas de CvU sur ] R; R[ ou sur D (0; R) tout
entier.
P
P
3. Cas favorable sur le bord : Si
an Rn CvA, alors
an z n CvN sur D (0; R) :
4. Produit de Cauchy :
P
an z n
C.
bn z n =
n 0
n 0
si jzj < min (Ra ; Rb ) ; alors
P
+1
P
an z n
n=0
P
n
P
n 0
+1
P
bn z n =
n=0
ak bn
z n et
k
k=0
+1
P
n=0
n
P
ak bn
k
zn
k=0
Propriètés de la somme :
La dérivation de la somme d’une série entière est très simple : il su¢ t de se placer
dans D (0; R) ou ] R; R[ :
1. Un seul résultat à retenir : La somme S (z) =
+1
X
an z n d’une série entière de
n=0
rayon R; est de classe C 1 sur D (0; R) (En particulier sur ] R; R[ pour le programme français)
!(k) +1
+1
X
X
(k)
n
(an z n ) :
et se dérive terme à terme à tout ordre :
an z
=
n=0
n=0
2. Unicité d’un DSE :
(a) Si
+1
X
n
an x =
n=0
+1
X
bn xn sur ]
; [ ; avec
n=0
Exemples :
i. Si
+1
X
an xn = 1
2x sur ]
> 0; alors 8 n 2 N; an = bn :
; [ ; avec
> 0; alors a0 = 1; a1 =
2 et
n=0
an = 0 pour les autres.
+1
+1
X
X
ii. Si
an xn =
x2n , alors a2n = 1 et a2n+1 = 0
n=0
(b) Si f (x) =
n=0
+1
X
an xn sur ]
; [ ; avec
> 0; alors an =
n=0
est donné par la série de Taylor en 0.
14
f (n) (0)
: Tout DSE
n!
3. DSE usuels : A connaître absolument
Fonction
DSE
+1 n
X
x
; R = +1
exp(x)
n!
n=0
+1
2n
X
n x
cos(x)
( 1)
; R = +1
(2n)!
n=0
+1
2n+1
X
n x
sin(x)
( 1)
; R = +1
(2n + 1)!
n=0
+1
X
x2n
ch(x)
; R = +1
(2n)!
n=0
+1
X
x2n+1
sh(x)
; R = +1
(2n + 1)!
n=0
+1
X
(
1) ::: (
n + 1) n
x ; R=1
(1 + x) ; 2
=N
1+
n!
n=1
+1
X
1
xn ; R = 1
(1 x)
n=0
+1
n
X
n+1 x
; R=1
ln(1 + x)
( 1)
n
n=1
+1 n
X
x
ln(1 x)
; R=1
n
n=1
+1
2n+1
X
n x
arctan(x)
( 1)
2n + 1
n=0
+1
2n+1
X
x
argth(x)
; R=1
2n + 1
n=0
+1
X
1
n
( 1) xn ; R = 1
1+x
n=0
V.
Intégration :
Soit I un intervalle quelconque de R:On note L1 (I; K) ( respectivement L2 (I; K)
) l’espace vectoriel formé des fonctions C 0 M et intégrables ( respectivement de carrés
intégrables) sur I à valeurs dans K: On note aussi L1c (I; K) ( respectivement L2c (I; K) )
celui des fonctions de L1 (I; K) ( respectivement L2 (I; K)) qui sont de plus continues sur
I:
Pour étudier l’intégrabilité de f 2 F (I; K) sur I; on commencera par chercher les
points de I où f n’est pas continue par morceaux, union éventuellement les extrémités
in…nies de l’intervalle I; puis on étudiera l’intégrabilité de f au voisinage de chacun de ces
points en divisant l’intervalle d’intégration en plusieurs sous-intervalles.
A.
Intégrale impropre ou généralisée :
On suppose ici a 2 R , b 2 R[ f+1g et f 2 C 0 M ([a; b[ ; K) ; l’intégrale impropre
Z x
Z b
f (t) dt est dite convergente si lim
f (t) dt existe dans K: dans ce cas
f (t) dt =
x!b
a
a
a
Z x
lim
f (t) dt:
Z
b
x!b
a
Sur un intervalle de type ]a; b] ; b 2 R , a 2 R[ f 1g ; on a
Z
a
f (t) dt = lim+
Sur un intervalle de type ]a; b[ ; a 2 R[ f 1g , b 2 R[ f+1g on a
Z y
lim+
f (t) dt
x!a
y!b
Z
b
x!a
Z
b
f (t) dt
x
b
f (t) dt =
a
x
1. Reste et somme partielle : (Par analogie aux series) Pour I = [a; b[ ;
Z
a
15
x
f (t) dt
Z b
se comporte alors comme une somme partielle et
f (t) dt comme un reste. En parx
Z x
ticulier lim
f (t) dt = 0 : le reste tend vers 0 en cas de convergence.
x!b
a
Dé…nition analogue si b 2 R , a 2 R[ f 1g et f 2 C 0 M (]a; b] ; K) :
Si a 2 R[ f 1g , b 2 R[ f+1g et f 2 C 0 M (]a; b[ ; K) ; on divise l’intégrale
par la relation de Charles en deux intégrales
B.
Intégrabilité : critères
0
1. f 2 C M (I; K) est intégrable sur I lorsque l’intégrale
Ainsi l’intégrabilté est la convergence
Z
I
jf (t)j dt est convergente.
absolue de l’intégrale.
2. Utilisation de primitive : On suppose ici a 2 R , b 2 R[ f+1g et f 2
C 0 M ([a; b[ ; R+ ) positive sur [a; b[ ; alors :
Z x
f integrable sur [a; b[ ssi lim
f (t) dt existe
Dans ce cas
:
Z
b
f (t) dt = lim
x!b
a
Z
x!b
a
x
f (t) dt
a
L’hypothèse de positivité est nécessaire pour le retour : voir l’exemple classique de
sin (t)
sur [1; +1[ :
t7 !
t
Dans le cas non réel positif ou complexe : f 2 C 0 M ([a; b[ ; K) ; on a uniquement :
Z x
Z b
Z x
f intégrable sur [a; b[ =) lim
f (t) dt existe. Dans ce cas
f (t) dt = lim
f (t) dt
x!b
a
0
a
0
+
3. Majoration : f 2 C M (I; K) ; g 2 C M (I; R ) : Si jf j
g sur I entraîne celle de f:
x!b
a
g alors l’intégrabilité de
4. Domination : f 2 C 0 M ([a; b[ ; K) ; g 2 C 0 M ([a; b[ ; R+ ) :
Si f =b O (g) (ou f =b o (g)) alors l’intégrabilité de g sur [a; b[ entraîne celle f .
Exemples :
(a) f (t) = t2 e
p
t
est intégrable sur [0; +1[ car continue et f (t) = o
1
intégrable en +1 car Riemann pour = 2 > 1
t2
ln2 t
(b) f (t) = 2 est intégrable sur [2; +1[ car continue et f (t) = o
t
1
intégrable en +1 car Riemann pour = 3=2 > 1
t3=2
1
t2
1
t3=2
; avec
; avec
5. Equivalence : f; g 2 C 0 M ([a; b[ ; K) :
Si f sb g alors l’intégrabilité de g sur [a; b[ est équivalente à celle f .
Exemples :
1
sin (t)
est intégrable sur ]0; 1] ssi x < 2; car continue et f (t) s x 1 ;
(a) f (t) =
tx
t
1
avec x 1 intégrable en 0 ssi x 1 < 1 car Riemann en 0.
t
i
i
(b)
f (t) = ln (sin t) est intégrable sur 0;
o
1
p
t
1
; avec p intégrable en 0
t
car
; car continue et f (t) s ln (t) =
2
=
1
< 1 Riemann en 0.
2
6. Borne …nie : f 2 C 0 M ([a; b[ ; K), si la borne b est …ni et lim f (x) existe dans
x!b
K; alors f est intégrable sur [a; b[ :
Exemples :
sin (t)
intégrable en 0 car admet une limite …nie en ce point = 1.
t
ln 1 t2
1
(b) f (t) =
intégrable en 0 car admet une limite …nie en ce point =
.
2t2
2
1
1
= 0; mais non intégrable en +1 : Riemann
(c) C’est faut en 1 : lim
t!+1 t
t
= 1:
(a) f (t) =
16
7. Comparaison avec une série :
P
(a) Si f 2 C 0 M ([0; +1[ ; R) ; positive et décroissante, alors
f (n) converge ssi
f intégrable en +1: Dans ce cas
Z +1
Z +1
Z n
f (t) dt Rn
f (t) dt. et en cas de divergnce Sn s
f (t) dt:
n+1
n
0
(b) Exemples :
Z +1
+1
X
1
1
1
;
on
a
dt
R
=
n
2
2
t
k2
n+1 t
k=n+1
1
1
Rn
n+1
n
1
en particulier Rn s :
n
Z n
n
X
dt
1
1
s
= ln (n) :
ii. Pour f (t) = ; on a Sn =
t
k
1 t
i. Pour f (t) =
Z
+1
n
1
dt càd
t2
k=1
iii. Chaque fois que vous voulez un équivalent de somme partielle ,
de somme ou de reste pensez à ce résultat.
8. Exemples de références :
1
est intégrable au voisinage de +1 ssi > 1:
t
1
(b) t 7 !
est intégrable au voisinage de 0+ ssi < 1
t
1
(c) t 7 !
est intégrable au voisinage de a+ ssi < 1:
(t a)
1
(d) t 7 !
est intégrable au voisinage de +1 ssi ( > 1) ou
t ln (t)
> 1:
(a) t 7 !
C.
= 1 et
Théorème de la sommation L1 :
1
1. Cas général : On suppose (fn )n 2 L (I; K)
Alors on a :
Z
+1
P
fn =
I n=0
N
, si
I
n 0
+1 Z
X
n=0
X Z
jfn j
est convergente.
fn :
I
Exemples :
Z
+1
+1
X
X
1
t
te t
;
On
a
=
=
te nt et
et 1 n=1 n2
et 1
1 e t
0
n=1
Z +1
Z +1
X 1
1
un =
jte nt j dt =
te nt dt = 2 (IP P ) ; avec
converge, donc
n
n2
0
0
Z +1
+1
2
X
tdt
1
=
=
:
et 1 n=1 n2
6
0
Z 1
+1
+1
X
X
ln(t)
( 1)n+1
ln (t)
n
(b) Montrer que
dt
=
;
On
a
=
( 1) t2n ln (t)
2
2
2
(2n
+
1)
1
+
t
0 1+t
n=0
n=0
et
Z 1
Z 1
X
1
1
un =
t2n ln (t) dt =
t2n ln (t) dt =
2 (IP P ) ; avec
2
(2n
+
1)
(2n
+
1)
0
0
Z 1
Z
+1
+1
1
X
X
( 1)n+1
ln(t)
n 2n
converge, donc
du
=
:
(
1)
t
ln
(t)
dt
2
(2n + 1)2
0 1+t
n=0 0
n=0
(a) Montrer que
+1
tdt
=
2. Cas d’un segment : On suppose (fn )n 2 C 0 [a; b] ; K
Alors on a :
Z +1
+1 Z
X
P
fn =
fn :
I n=0
Exemple : Soit x 2 R; montrer que
X
n 1
n=0
Z
0
N
, et
X
fn CvU sur [a; b].
I
+1 Z x
X
tn
tn
dt =
dt car
(2n 1)!
(2n 1)!
n=1
n=1 0
+1
xX
tn
est une série entière de rayon +1; donc CvU sur tout segment [0; x] :
(2n 1)!
17
D.
Echange limite et intégrale
1. Théorème de la convergence dominée :
N
On suppose (fn )n 2 C 0 M (I; K)
, CvS sur I vers f C 0 M sur I et qu’il existe
2 C 0 M (I; R+ ) intégrable sur I indépendante de n , véri…ant
8 n 2 N; 8t 2 I; jfn (t)j
tégrable sur I et on a :
(t) ( Hypothèse de domination ). Alors f est inZ
lim fn = lim
I n!+1
n!+1
Z
fn :
I
Exemples :
(a) Montrer que :
lim
n!+1
Z
+1
0
CvS sur R+ vers f (t) = e
e
Z
t
t
n
1
t
n
cos (t) et jfn (t)j =
(t) qui est intégrable sur R+ ; donc
=
1
: On a fn (t) =
2
cos (t) dt =
t
n
1
lim
n!+1
+1
Z
n
1
n
t
n
cos (t)
t
n
n ln 1
e
cos (t)
+1
1
0
t
n
!
n
cos (t) dt =
1
(2 IPP ou passer aux complexes).
2
0
Z +1
+
f (t) e nt dt = 0 car jf (t) e nt j
(b) Si f intégrable sur R ; alors lim
n!+1 0
Z +1
Z +1
f (t) e nt dt =
lim f (t) e
jf (t)j qui est intégrable sur R+ ; donc lim
n!+1
n!+1 0
0
Z +1
0dt = 0:
t
e
cos (t) dt =
0
(c) S’applique sur un segment en dominant par une constante : lim
n!+1
Z 1
1 + nx
1 + nx
lim
dx = 0 car
1 intégrable sur [0; 1] :
n
n!+1
(1
+
x)
(1
+ x)n
0
Z
0
1
J
On suppose (f ) 2J 2 C 0 M (I; K) , a 2 J; (eventuellement 1); avec (8 x 2 I) ;
lim f (x) = f (x) ; C 0 M sur I et qu’il existe
!a
8 2 J; 8t 2 I; jf (t)j
grable sur I et on a :
I
lim
Exemple :
E.
x!+1
Z
0
+1
, véri…ant
(t) ( Hypothese de domination ). Alors f est intéZ
lim f (t) dt = lim
!a
!a
Z
f (t) dt :
I
e xt
e xt
dt
=
0
car
1 + t2
1 + t2
1
intégrable sur R+ :
1 + t2
Intégrale dépendant d’un paramètre :
1. Théorème de continuité sous l’intégrale : A partie d’un evn de dim < 1:
On suppose f :
A I !K
C 0 =x sur A et C 0 M =t sur I et que pour tout
(x; t) 7 ! f (x; t)
compact C de A; il existe
véri…ant
2 C 0 M (I; R+ ) intégrable sur I indépendante de x ,
8 x 2 C; 8t 2 I; jf (x; t)j
tion
Z
(t) ( Hypothèse de domination ). Alors la fonc-
g:x7 !
f (x; t) dt est continue sur J:
I
Exemples :
^
(a) La transformée de fourier f (x) =
1
2
Z
+1
f (t)e
ixt
dt d’une fonction C 0 et
1
intégrable sur R; est continue sur R car (x; t) 7 ! f (t)e
f (t)e ixt
jf (t)j qui est intégrable sur R:
18
ixt
dt =
1 + nx
dx =
(1 + x)n
Extension de la convergence dominée :
2 C 0 M (I; R+ ) intégrable sur I indépendante de
nt
est C 0 sur R2 et
(b) La transformée de Laplace Lf (x) =
Z
+1
f (t)e
xt
dt d’une fonction C 0 et avec
0
xt
+
f (t) e
intégrable sur R ; est continue sur ]0; +1[ car (x; t) 7 ! f (t)e xt est
0
C sur ]0; +1[ R+ et 8 x 2 [a; b] ]0; +1[ ; jf (t)e xt j jf (t)j e at qui est
intégrable sur R:
2. Théorème de dérivabilité sous l’intégrale : J intervalle de R:
@f
J I !K
On suppose f :
C 0 =x sur J et C 0 M =t sur I;
existe est soit
(x; t) 7 ! f (x; t)
@x
C 0 =x sur J et C 0 M /t sur I; pour tout x 2 J; la fonction t 7 ! f (x; t) intégrable
sur I et que pour toute segment [a; b] de J , il existe 2 C 0 M (I; R+ ) intégrable
sur I indépendante de x, véri…ant
@f
(t)
(x; t)
@x
(Hypothese de domination):
8 x 2 [a; b] ; 8t 2 I;
Alors la fonction g : x 7 !
Z
f (x; t) dt est de classe C 1 sur J et on a :
I
Z
@f
(x; t) dt:
I @x
8 x 2 J; g 0 (x) =
Exemple : la fonction
(x) =
Z
+1
tx
1
0
tx
1
e
t
Formule de Leibniz
e t dt est C 1 sur ]0; +1[ car f : (x; t) 7 !
@f
2
sont C 0 sur (]0; +1[) et 8 x 2 [a; b]
@x
et
@f
(x; t)
@x
1
o
avec
t
t
(t) = jln (t)j e
2 ]1
a; 1[ et
max ta
1
; tb
(t) =+1 o
1
]0; +1[ ; 8t > 0;
intégrable sur ]0; +1[ car
1
t2
(t) =0+
:
3. Cas d’un segment : Lorsque I = [a; b] ; et
Z
g:x7 !
f (x; t) dt: Alors les thérèmes (2) et (3) ci-dessus restent valables sans
[a;b]
avoir besoins des dominations, sous la continuité de f et
@f
sur J
@x
I:
4. S’utilise pour une fonction g à plusieurs variable, en passant par les dérivées partielles.
@kf
5. Se généralise pour les fonctions de classe C k ; en dominant
sur les segment de
@xk
J:
VI.
A.
Dérivation et di¤érentiabilité :
Dérivation :
1. Formules de dérivation :
(a) (f
0
g) = g 0 :f 0 g et f
1 0
=
1
f0 f
(b) Si f continue alors ses primitives x 7 !
f (x) :
1
Z
x
f (t) dt est C 1 et
a
d
(c) Si f continue, u et v dérivables, alors
dx
u0 (x) f u (x)
Z
v(x)
u(x)
!
f (t) dt
d
dx
Z
x
f (t) dt
=
a
= v 0 (x)
f v (x)
(d) Composée par une application bilinéaire : B : E G ! F une application bilinéaire. Soit f 2 F (I; E) et
g 2 F (I; G) ; on dé…nit la composée B (f; g) par :
I !F
B (f; g) :
; alors, si f et g sont dérivables en a alors la
t 7 ! B (f (t) ; g (t))
composée B (f; g) l’est aussi et on a
0
(B (f; g)) (a) = B (f 0 (a) ; g (a)) + B (f (a) ; g 0 (a))
S’utilise pour dériver :
19
i.
ii.
iii.
iv.
Un produit scalaire : t 7 ! hf (t) ; g (t)i :
Un produit vectoriel : t 7 ! f (t) ^ g (t) :
Un produit matriciel : t 7 ! A (t) B (t)
Un produit matriciel du type : t 7 ! exp (tA) B (t) ; où A matrice constante
et B une matrice ou matrice colonne dérivable.
(e) Un déterminent det (V1 (t) ; :::; Vn (t)) se dérive colonne par colonne, comme un
produit scalaire ou un produit vectoriel.
Pn
(n)
(f) Leibniz : (f g) (a) = k=0 Cnk f (k) (a) g (n k) (a)
2. Formules de Taylor
(a) Rolle : f C 0 sur [a; b] ; dérivable sur ]a; b[ à valeurs réelles, alors f (a) =
f (b) =) 9c 2 ]a; b[ ; f 0 (c) = 0
(b) ACF : f C 0 sur [a; b] ; dérivable sur ]a; b[ à valeurs réelles, alors 9c 2
]a; b[ ; f (b) f (a) = (b a) f 0 (c) :
Exemples : cos est 1-lipschitziennes : jcos (b) cos (a)j = j(b a) cos0 (c)j
jb aj
(c) Formules des accroissements …nis dans un evn :
Soit f : [a; b] ! F continue sur [a; b] ; de classe C 1 sur ]a; b[ : On suppose
9 M > 0; 8 t 2 ]a; b[ ; kf 0 (t)k M; alors kf (b) f (a)k M (b a) :
La version réelle f (b) f (a) = (b a) f 0 (c) n’est plus valable pour les fonctions
vectorielles : f (t) = eit :
(d) Taylor avec reste intégrale : f 2 C n+1 ([a; b] ; K) ; alors
Z b
n
n
k
X
(b t) (n+1)
(b a) (k)
f (a) +
f
(t) dt: Pour b = x et a = 0; on
f (b) =
k!
n!
a
k=0
obtient
Z x
n
n
X
(x t) (n+1)
xk (k)
f (0) +
f
(t) dt:
f (x) =
k!
n!
0
k=0
(e) Inégalité de Taylor Lagrange : f 2 C n+1 ([a; b] ; K) ; alors
n
k
n+1
X
(b a) (k)
jb aj
f (b)
f (a)
sup f (n+1) (t) dt:
k!
(n + 1)! a t b
k=0
(f) DL : Si f 2 C n (] ; [ ; K) ; alors
n
X
xk (k)
f (x) =
f (0) + o (xn ) : DL d’ordre n en 0.
k!
k=0
3. Application constantes :
f dérivable sur un intervalle I; f constante sur I () f 0 = 0 sur I:
4. Extemums sur un ouvert
Si f dérivable sur I et admet un extremum en a 2 I; alors f 0 (a) = 0
B.
Di¤érentiabilité
1. Di¤érentielle en un point
E et F deux R
evn de dimensions …nies. U un ouvert de E:
(a) Dé…nition : f 2 F (U; F ) est dite di¤érentiable en a 2 U s’il existe une
application linéaire u 2 L (E; F ) telle que
f (a + h) = f (a) + u (h) + o (khk)
Dans ce cas u est unique et s’appelle la di¤érentielle (ou l’application linéaire
tangente) de f au point a et se note df (a) ou dfa ou Df (a) :
Ainsi dfa 2 L (E; F ) est une application linéaire de E sur F.
Proposition : Toute fonction di¤érentiable en a est en particulier continue.
La réciproque est fausse en général.
Cas où E = R : Lien avec la dérivation : On suppose ici E = R; et
f 2 F (I; F ) ; alors f est di¤érentiable en a 2 I si et seulement si f est dérivable
en a: Dans ce cas
dfa :
R !F
: En particulier f 0 (a) = dfa (1)
h 7 ! h:f 0 (a)
Ainsi lorsque E = R, la di¤érentielle de f en a est entierement déterminée par
f 0 (a) : C’est pourquoi dans R, on ne parle que dérivée et non pas de l’application
di¤érentiellle.
20
(b) Di¤érentielle d’applications linéaire et bilinéaire
Proposition :
i. Soit u 2 L (E; F ) une application linéaire sur E; alors u est di¤érentiable
en tout point x de E et on a dux = u
ii. Soit f 2 F (E F; G) une application bilinéaire sur E F; alors f est
di¤érentiable en tout point (x; y) de E F et on a
8 (h; k) 2 E
F; df(x;y) (h; k) = f (x; k) + f (h; y)
2. Dérivée selon un vecteur (dérivée directionnelle)
Soit f 2 F (U; F ) ; a 2 U et v un vecteur de E:
(a) Dé…nition : On dit que f admet en a une dérivée selon le vecteur a si la
] ; [ !F
fonction de variable réelle
est dérivable en 0. On note dans
t 7 ! f (a + tv)
ce cas
f (a + tv) f (a)
Dv f (a) = lim
t !0
t
et on l’appelle la dérivée de f au point a selon le vecteur v:
(b) Proposition : Si f est di¤érentiable en a; alors f admet en a des dérivées
selon tous les vecteurs v de E et on a
8 v 2 E; Dv f (a) = dfa (v) :
(c) Dérivées partielles
Soit B = (e1 ; :::; en ) une base de E: (En général E = Rn et B la base canonique
de Rn )
Dé…nition : Soit i 2 f1; :::; ng ; on appelle ième dérivée partielle de f au point
@f
a que l’on note
(a) ; la dérivée de f au point a selon le vecteur ei ; Ainsi
@xi
@f
f (a + tei )
(a) = lim
t !0
@xi
t
f (a)
@f
(a) ; on …xe toutes les variables et on dérive
@xi
de manière normale par rapport à la ième variable.
Dans la pratique, pour calculer
3. Application de classe C 1 :
(a) Dé…nition : f est dite de classe C 1 sur U si f est di¤érentiable sur U et sa
U ! L (E; F )
di¤érentielle est continue sur U : càd l’application
est
x 7 ! df (x)
continue sur U: On notera f 2 C 1 (U; F )
@f
@f
; :::;
(b) Théorème fondamental : Si f admet des dérivée partiellees
@x1
@xn
continues sur U , alors f est di¤érentiable en tout point de U: En outre f est
de classe C 1 sur U et on a
8h=
n
X
i=1
hi ei 2 E; 8 a 2 U;
dfa (h) =
n
X
i=1
hi
@f
(a)
@xi
Ce théorème est très pratique car il ramène la di¤érentiabilité d’une fonction
de plusieurs variable f á la dérivation de fonction d’une seule variable grâce
@f
aux dérivées partielles
qui se calculent facilement en général.
@xi
Exemples :
i. Montrer que f : (x; y) 7 ! xey +y 2 sin (x) est de classe C 1 sur R2 et donner
sa di¤érentielle.
1
ii. Soit E = Rn euclidien et f (x) =
, Montrer que f est C 1 sur E n f0g
kxk2
et donner sa di¤érentielle.
iii. f (M ) = det (M ) : Montrer que f est de classe C 1 sur Mn (R) et que
dfM (H) = tr (t com (M ) H)
U Rn ! R
(x1 ; :::; xn ) 7 ! f (x1 ; :::; xn )
@kf
8i1 ; :::; ik 2 f1; :::; ng ;
est continue sur U:
@xi1 :::@xik
Exemples :
4. Application C k : f :
21
est de classe C k sur U ssi
(a) Toute fonction polynômiale est C 1 sur Rn : f (x; y) = xy
R2
x2 + xy 3 C 1 sur
(b) Toute fonction rationnelle est C 1 sur son domaine de dé…nition :
1
est C 1 sur Rn n f(0; :::; 0)g :
f (x1 ; :::; xn ) = 2
x1 + ::: + x2n
5. Schwartz : Si f est C 2 alors
@2f
@2f
=
@xi @xj
@xj @xi
(a) Vecteur gradient
On suppose ici que E = Rn euclidien canonique : muni de hx; yi =
n
X
xi yi
k=1
Proposition et dé…nition : Soit f 2 C 1 (U; R) ; alors pour tout a 2 U; il
existe un unique vecteur de Rn appelé le gradient de f au point a et noté
!
gradf (a) ; vérifaint
D !
E
8 x 2 Rn ; gradf (a) ; x = dfa (x)
Expression du gradient dans une BON
Proposition : Soit B = (e1 ; :::; en ) une BON de E; alors
n
X @f
!
(a) ei
gradf (a) =
@xi
i=1
6. Opérations sur les fonctions di¤érentiables
(a) Les opérations algébriques : somme, produit, quotient se font commes celles
sur les fonctions dérivables
(b) La seule opération qui reste à maîtriser est la Régle de la chaîne :
Si (x) = f ( 1 (x) ; :::; n (x)) ; alors
0
(x) =
n
X
0
k
(x)
k=1
@f
(
@xi
1
(x) ; :::;
n
(x))
Ceci s’applique aux calculs des dérivées partielles de composée
Exemples :
i.
(r; ) = f (r cos ( ) ; r sin ( )) ; alors
@f
@
@f
(r; ) = cos ( )
(r cos ( ) ; r sin ( )) + sin ( )
(r cos ( ) ; r sin ( ))
@r
@xi
@xi
et
@
@f
@f
(r; ) = r sin ( )
(r cos ( ) ; r sin ( ))+r cos ( )
(r cos ( ) ; r sin ( ))
@
@xi
@xi
ii. Utile pour la résolution EDP.
(c) Cas général du Composee : Théorème (tres important) : Si f est de
classe C 1 sur U et g de classe C 1 sur V; alors la composée g
C 1 sur U et on a, 8 a 2 U :
f est de classe
d (g f ) (a) = dg (f (a)) df (a)
p
8i 2 [1; n] ,
X @g
@fk
@ (g f )
(a) =
(f (a))
(a)
@xi
@yk
@xi
k=1
7. Extremum
Soit f 2 F (U; R)
(a) Point critique : a 2 U est dit point critique ou stationnaire de f lorsque
@f
@f
(a) = :::: =
(a) = 0 ou encore gradf (a) = 0)
dfa = 0. ( Càd
@x1
@xn
(b) Dé…ntion :
On dit que admet en a 2 U un maximum (respectivement un minimum)
local ou relatif si
9 V 2 V (a) ; 8 x 2 V \ U; f (x)
f (a) (respectivement f (x)
f (a))
Dans les deux cas, on dit que f admet en a un extrémum local ou relatif.
22
Cet extremum est dit global ou absolu lorsque V = U:
(c) Condition nécessaire :
Proposition : On suppose f 2 C 1 (U; R) et soit a 2 U = U: Si f admet en a
un extrémum local alors dfa = 0 : les extérmums de f dans l’ouvert U sont
parmis les points critiques.
En général, les extrémums sont parmis :
i. Les points critiques
ii. Les points frontières
iii. Les points où f non di¤érentiable
(d) Formule de Taylor à l’ordre 2
Théorème : On suppose f de classe C 2 sur l’ouvert U; soit a 2 U et h =
n
P
hi ei 2 E tel que a + h 2 U: Alors on a :
i=1
f (a + h) = f (a) +
n
X
i=1
n
hi
n
1 XX
@2f
@f
2
(a) +
(a) + o khk
hi hj
@xi
2 i=1 j=1
@xi @yj
cette relation est dite la formule de Taylor-Young de f au point a à l’ordre 2.
(e) Matrice Hessienne de f : On suppose toujours f 2 C 2 (U; R) ; alors la ma@2f
trice symétrique
(a)
de Mn (R) est dite la matrice Hessienne
@xi @yj
1 i;j n
de f au point a:
Application à l’étude des extrémums :
8
>
>
>
>
<
Théorème IMPORTANT : On suppose
>
>
>
>
: Ha =
f 2 C 2 (U; R)
a2U =U
dfa = 0
@2f
(a)
est inversible
@xi @yj
1 i;j n
; alors alors f admet un extrémum en a si et seulement si la matrice Hessienne
@2f
(a)
de f au point a est dé…nie positive ou dé…nie néga@xi @yj
1 i;j n
tive.
Dans la suite, on va se limiter au cas où n = 2:
Soit (a; b) 2 U et (h; k) 2 R2 ; la formule de Taylor à l’ordre 2 s’écrira dans ce
cas particulier, tenant compte du théorème de Schawrz :
f (a + h; b + k)
@f
@f
(a; b) + k
(a; b) +
@x
@y
@2f
@2f
@2f
h2 2 (a; b) + 2kh
(a; b) + k 2 2 (a; b) + o h2 + k 2
@x
@x@y
@y
= f (a; b) + h
1
2
Notation de Monge : On note p =
@f
@f
@2f
(a; b) ; q =
(a; b) ; r =
(a; b) ; s =
@x
@y
@x2
@2f
@2f
(a; b) et t =
(a; b) : Avec ces notation la formule de Taylor-Young de@x@y
@y 2
vient
f (a + h; b + k) = f (a; b) + hp + kq +
1
rh2 + 2skh + tk 2 + o h2 + k 2
2
Soit U ouvert de R2 , f 2 C 2 (U; R) et (a; b) 2 U = U: On considère les notations
de Monge :
@f
@f
@2f
@2f
@2f
p=
(a; b) ; q =
(a; b) ; r =
(a; b) ; s =
(a; b) et t =
(a; b) :
2
@x
@y
@x
@x@y
@y 2
Théorème : On suppose que (a; b) est un point critique (p = q = 0) en lequel
s2 rt 6= 0 ( la matrice Hessienne de f en (a; b) est inversible ). Alors f admet
en (a; b) un extrémum local si et seulement si s2 rt < 0: Dans ce cas, f possède
un maximum local lorsque r > 0 et un minimum local lorsque r < 0:
(f) Etude sur la frontière : Se fait en général de manière manuelle à l’aide d’un
paramétrage du bord.
8. Vecteur tangent à une partie :
23
Si X une partie d’un evn E et x 2 X; un vecteur v de E est dit tangent à X en
x s’il existe " > 0 et un arc : ] "; "[ ! X; dérivable en 0 tels que (0) = x
et 0 (0) = v:
Cas où X est une surface (S) dé…nie de manière implicite f (x; y; z) = 0 : Si
!
A (a; b; c) 2 (S) un point non critique : Grad (f (A)) 6= 0; alors la normale à
(S) en A est portée par le gradient. L’ensemble des vecteurs tangents à (S) en
A est alors le plan a¢ ne (P ) :
!
!
M 2 (P ) () AM :Grad (f (A)) = 0
Le paramètrage cartésien z = g (x; y) s’y ramène, en posant f (x; y; z) = z
g (x; y) :
C.
Dérivations des fonctions complexes : holomorphie (CNC)
1. Conditions de Cauchy-Riemann : Ces conditions font le lien entre la
dérivation complexe et la di¤érentiabilité par rapport aux parties réelle
et imaginaire
On pose : f (z) = f (x + iy) = f~ (x; y) ; alors :
f est C dérivable en z0 = x0 + iy0 si et seulement si f~ est di¤érentiable en (x0 ; y0 )
@ f~
@ f~
(x0 ; y0 ) + i
(x0 ; y0 ) = 0: Dans
et véri…e les conditions de Cauchy-Riemann :
@x
@y
ce cas
@ f~
@ f~
f 0 (z0 ) =
(x0 ; y0 ) = i
(x0 ; y0 )
@x
@y
f est holomorphe sur U si et seulement si f~ est di¤érentiable sur U et véri…e sur U;
@ f~
@ f~
les conditions de Cauchy-Riemann :
+i
= 0:
@x
@y
2. Fonctions analytiques
Analytique sur U c’est DSE au voisinage de tout point de U: Il s’agit ici de
généraliser la notion de fonction développable en série entière pour la variable
complexe
Résultat fondamental : Il y’a équivalence entre analytique et holomorphe.
3. Zéro isolé : Les zéros fonction non nulle analytique sur un ouvert de C connexe
par arcs sont isolés
4. Prolongement analytique : Deux fonctions analytiques sur un ouvert U de C
connexe par arcs coïncidant sur partie contenant un point non isolé sont égales sur
U:
!2
!2
+1
+1
X
X
z 2n
z 2n + 1
Exemple :
= 1 car analytique sur l’ouvert con(2n)!
(2n + 1)!
n=0
n=0
vexe C et coïncident sur R
VII.
A.
Equations di¤érentielle
Les ABC de la MPSI
Avant toute étude détaillée des équations di¤érentielles, il faut absolument connaître les deux cas particuliers suivants
1. Equation di¤érentielle linéaire scalaire d’ordre 2 à coe¢ cients constants
De la forme : (H) : ay 00 (t)+by 0 (t)+cy (t) = 0; avec a; b et c réels ne dépendent pas de
t: Dans ce cas et uniquement dans ce cas, on considère l’équation caractéristique
(1) : ar2 + br + c = 0
(a) Si
= b2 4ac > 0; alors (1) admet 2 racines réelles distinctes r1 et r2 : Les
solutions réelles de (H) sont t 7 ! Aer1 t + Ber2 t avec A; B réels.
(b) Si = b2 4ac = 0; alors (1) admet une racine réelle double r : Les solutions
réelles de (H) sont t 7 ! (At + B) ert avec A; B réels.
(c) Si = b2 4ac < 0; alors (1) admet 2 racines complexes conjugués r = +i et
r=
i : Les solutions réelles de (H) sont t 7 ! (A cos ( t) + B sin ( t)) e t
avec A; B réels.
24
Exemples :
(a) Les solutions de y 00 + 1 = 0 sont t 7 ! A cos (t) + B sin (t) avec A; B réels.
(b) Les solutions de y 00
1 = 0 sont t 7 ! Aet + Be
t
avec A; B réels.
2. Equation di¤érentielle linéaire scalaire d’ordre 1 :
(E) : a (t) y 0 + b (t) y + c (t) = 0
; où a; b et c sont des fonctions
(H) : a (t) y 0 + b (t) y = 0
continues sur un intervalle I de R à valeurs dans K (scalaire).
De la forme :
Théorème : Losque a ne s’annule jamais sur I; alors SH (I) est un K espace
R
vectoriel de dimension 1 engendré par t 7 ! e
b(t)
dt
a(t)
et SE (I) = yp + SH (I) où yp 2 SE (I) une solution particulière de (E) : Ainsi la
solution générale de (E) est
R
t 7 ! yp (t) + e
b(t)
dt
a(t)
; où
2 K et yp une solution particulière de (E)
Avec de la forme yp (t) = (t) yH (t) obtenue à l’aide de la méthode de variation de
la constante; où yH solution non nulle de (H) :
Une fois cela maîtrisé, on peut aborder la suite ....
B.
Equation scalaire d’ordre 2 :
1. Equation scalaire d’ordre 2 : De la forme :
(E) : a (t) y 00 + b (t) y 0 + c (t) y + d (t) = 0
; où a; b; c et d sont des fonctions con(H) : a (t) y 00 + b (t) y 0 + c (t) y = 0
tinues sur un intervalle I de R à valeurs dans K (scalaire).
Losque a ne s’annule jamais sur I; alors SH (I) est un K espace vectoriel de
dimension 2.
et SE (I) = yp + SH (I) où yp 2 SE (I) une solution particulière de (E)
Remarque : Si a s’annule en t0 2 I; on cherche alors les solutions à droite et à
gauche de t0 et on essaye de recoller ( ou raccorder ou prolonger) ces solutions au
point t0 :
Variation des constantes : Ici on va se contenter de chercher une solution particulière :
On suppose a ne s’annule jamais sur I; soit (y1 ; y2 ) une base de solutions de
(H) ( système fondamental de solutions), alors (E) admet une solution particulière
sous la forme :
y (t) =
1
(t) y1 (t) +
2
(t) y2 (t) véri…ant
0
1
(t) y1 (t) +
0
2
(t) y2 (t) = 0
Dite obtenue par variation des constantes.
y1 (t) y2 (t)
y10 (t) y20 (t)
dite le wronskien du système (y1 ; y2 ) : La particularité du wronskien est qu’il est
partout nul sur I ou bien ne s’annule jamais sur I: Dans ce dernier cas (y1 ; y2 ) base
de solutions de (H) :
2. Wronskien : soit (y1 ; y2 ) de solutions de (H), la fonction W (t) =
C.
Systèmes di¤érentiels linéaires
1. Forme générale :
De la forme (E) : X 0 (t) = A (t) X (t) + B (t) et (H) : X 0 (t) = A (t) X (t) systéme
homogène.
Avec A : I ! Mn (K) et B : I ! Mn;1 (K) continues sur l’intervalle I:
2. Théorème de Cauchy-Lipschitz : 8 (t0 ; X0 ) 2 I Mn;1 (K) ; le problème de
X 0 (t) = A (t) X (t) + B (t)
Cauchy : (C)
admet une unique solution sur l’intervalle
X (t0 ) = X0
I:
3. Structure des solutions :
SH (I) est un K-espace vectoriel de dimension n (taille de l’inconnu X)
SE (I) = (solution particuliere de (E)) + SH (I) ; le translaté de SH (I) par
une solution particulière de (E)
25
4. Variation des constantes : Si (X1 ; :::; Xn ) une base de solution de (H) ; alors
(E) admet toujours une solution particulière de la forme X (t) = 1 (t) X1 (t) + ::: +
n (t) Xn (t)
5. Cas où A est constante : De la forme : (E) X 0 (t) = AX (t) + B (t) où
A 2 Mn (K) ne dépendant pas de t et B : t 7 ! Mn;1 (K) une fonction continue
sur I:
(a) Expression exponentielle des solutions : A 2 Mn (K) ; exp (A) =
+1
X
Ak
k=0
k!
:
Les solutions de l’équation di¤érentielle homogène (H) : X 0 (t) = AX (t)
sur R sont les
i. X : t 7 ! exp (tA) X0 ; avec X0 2 Mn;1 (K) quelconque.
Les solutions de l’équation complète (E) X 0 (t) = AX (t) + B sur I sont
les
Z t
exp ( Au) B (u) du ; où
i. X : t 7 ! exp ((t t0 ) A) X (t0 ) + exp (tA)
t0
t0 2 I et X0 2 Mn;1 (K) quelconques.
(b) Pratique : Dans la pratique, on utilise des outils d’algèbre linéaire, en particulier de réduction, pour le calcul explicite des solutions.
D.
Equation di¤érentielle non linéaire (CNC)
1. De la forme :
(E) y 0 = f (t; y (t))
où f une application dé…nie sur un ouvert U de R F à valeurs dans F:
2. Unicité locale : On suppose f de classe C 1 sur l’ouvert U et (t0 ; y0 ) 2 U; alors le
y 0 = f (t; y (t))
problème de Cauchy (C)
admet une unique solution dé…nie sur
y (t0 ) = y0
un voisinage de t0 :
3. Critère de prolongements (Hors programme): On suppose f de classe C 1 sur
l’ouvert U , soit une solution de (E) y 0 = f (t; y (t)) sur un intervalle I ayant
une extrémité …nie a: Si lim (x) = l existe et que (a; l) 2 U; alors se prolonge
x !a
au-delà de son extrémité a:
Remarque : Pour montrer que cette limite existe, on pourra penser au critère de
Cauchy pour l’existence d’une limite dans un Banach. ( voir le cas f bornée par
exemple )
4. Unicité globale - Théorème de Cauchy-Lipschitz (Hors programme) : On
suppose f de classe C 1 sur l’ouvert U et (t0 ; y0 ) 2 U; alors le problème de Cauchy
y 0 = f (t; y (t))
(C)
admet une unique solution maximale dé…nie sur un intery (t0 ) = y0
valle ouvert contenant t0 :
5. Pour montrer que deux fonctions coïncident, on pourra penser à montrer qu’elles
sont solutions maximales d’un même problème de Cauchy. utile pour montrer par
exemple les symétries des solutions : parité, imparité,....
(a) Courbes intégrales : On suppose f de classe C 1 sur l’ouvert U , soit
une solution de (E) y 0 = f (t; y (t)) ; les graphes des solutions maximales de
(E) sont dites courbes intégrales de (E) : Elles sont soit confondues soit
disjointes, et elles forment une partition de U.
(b) Equation autonome : De la forme (E) y 0 = f (y) ou y 00 = f (y; y 0 ) : Les résultats ci-dessus sont valables lorsque f est de classe C 1 ; Leur seule particularité
théorique est l’invariance des solutions par translation :
Si est solution de (E) sur l’intervalle I et t0 2 I; alors t 7 ! (t0 + t) est
solution de (E) sur l’intervalle J = t0 + I
La clé de toute étude est le théorème de Cauchy-Lipschitz : La maîtrise
de ce théorème est capitale.
26
E.
Courbe paramétrée
Courbe paramétrée :
Soit (I; f ) un arc paramétré, ou f un paramétrage et I l’intervalle de ce paramétrage.
M = f (t0 ) régulier si la vitesse f 0 (t0 ) 6= 0; birégulier si le couple vitesse-accelération
(f 0 (t0 ) ; f 00 (t0 )) libre.
Tangente : Soit A = f (t0 ) ; et
la droite tangente en ce point, alors :
n
o
!
() AM 2 vect f (p) (t0 ) ou p = min n 2 N n f (n) (t0 ) 6= 0
M2
Tangente dans le cas implicite : Si g (x; y) = 0 est une courbe dé…nie implicite,
!
alors la normale à cette courbe en un point A (x0 ; y0 ) est porté par gradf (x0 ; y0 ) :
Abscisse curviligne - Longueur - Repère de Frenet- Courbure
– Soit (I; f ) un arc régulier ( la vitesse ne s’annule jamais ), alors
1.
–
8
<
I !R
Z t
: s s’appelle l’abscisse curviligne sur l’arc
kf 0 (u)k du
: t 7 ! s (t) =
t0
(I; f ) d’origine t0 et orienté dans le sens des t croissants. s véri…e pour
tout t 2 I; s0 (t) = kf 0 (t)k :
!
!
dOM
dOM
dt
f 0 (t)
– Le vecteur T~ =
=
=
est dit le vecteur unitaire
ds
dt
ds
kf 0 (t)k
tangent à (I; f ) au point M = f (t) :
~ unitaire et directement orthogonal à T~ s’appelle le vecteur normal
– Le vecteur N
~ = sin ( )~i +
à (I; f ) au point M = f (t) : si T~ = cos ( )~i + sin ( ) ~j; alors N
~
cos ( ) j:
~ qui est orthonormé direct est dit le repère de Frenet au
– Le repère R M; T~ ; N
point M:
–c =
0
(s) est dite la courbure algébrique au point M = f (t) = g (s)
1
1
est dit le rayon courbure algébrique au point M = f (t) = g (s) :
–R = = 0
c
(s)
!
~ est dit le centre de courbure au point M:
– Le point I dé…ni par : M I = RN
~
dT~
1 ~
dN
= N
et
=
ds
R
ds
à déterminer la courbure et le rayon de courbure.
1~
T , qui peuvent servir
R
– Formule de Frenet : On a
1. Autres formules de la courbure (Hors programme) : La courbure au point
M = f (t) est
detBc (f 0 (t) ; f 00 (t))
x0 (t) y 00 (t) x00 (t) y 0 (t)
C (t) =
=
: En particulier
p
3
3
kf 0 (t)k
x02 (t) + y 02 (t)
En cartésien, si y = f (x) alors C (x) =
f 00 (x)
En polaire, si f ( ) = r ( ) ~u ( ) alors C ( ) =
VIII.
A.
3=2
(1 + f 02 (x))
r2 ( )
:
r ( ) r00 ( ) + 2r02 ( )
3=2
(r2 ( ) + r02 ( ))
:
Probabilité
Espace de probabilité
Un phénomène est dit aléatoire, lorsque en recommençant une expérience dans des
conditions identiques, le résultat est di¤érent et échappe à toute prévision absolue.
Généralement, l’expérience répété un grand nombre de fois, permet de constater
une certaine régularité, la fréquence d’apparition semble se stabiliser. La théorie des
probabilités donne un modèle mathématique qui puisse prédire ce comportement.
1. Tribu : Soit
un univers : ensemble des issues d’une expérience aléatoire
8
T contient
<
T stable par réunion dénombrable
Dé…nition : Tribu = Ensemble T de partie de qui véri…e :
:
T stable par complémentaire
27
Une tribu contient ?; stable par réunion et intersection …nie ou dénombrable.
Evénement = Elément de la tribu
Opération ensembliste sur les événement :
Evénement certain
?
Evénement impossible
A
Evénement contraire de A
A \TB = ?
A et B disjoint ou incompatible
An
Tous les An sont réalisé
n2N
S
An
Au moins l’un des An réalisé
Tn2NS
Ak
un nombre in…ni des An réalisé
n2N k n
S T
Tous les An réalisé sauf un nombre …ni
Ak
n2N k n
2. Exemple de tribu :
Lorsque
est …ni ou dénombrable, on choisit toujours T = P ( ).
Lorsque = R; on choisit la tribu engendré par tous les intervalles ouverts de
R; dite la tribu Borélienne
3. Exemple d’événement : On lance une pièce de monnaie in…niment. Soit An
l’événement " obtenir au moins un PILE aux n premiers lancers", alors [n 1 An
"obtenir au moins un PILE" et \n 1 An " Ne jamais avoir de PILE"
4. Probabilité : ( ; T ) un couple univers-tribu est dit espace probabilisable.
(a) Dé…nition : Une probabilité sur ( ; T ) est une application P : T ! R
véri…ant
les 3 axiomes :
8
Axiome1
: P est à valeurs positives ( en faites à valeurs dans [0; 1])
>
>
<
Axiome2 : P ( ) = 1
+1
S
>
>
An
: Axiome3 : Pour toute suite (An )n d’événement 2 à 2 disjoints : P
n=0
La 3ème axiome est dite la -additivité, elle prouve, lorsque les événement sont
+1
P
2 à 2 disjoints que la série
P (An ) est toujours convergente et de somme
n=0
1:
(b) Cas d’un univers discret : Lorsque est …ni ou dénombrable, une probabilité sur ( ; P ( )) est entièrement déterminée par laP
donnée d’une suite (p! )!2
de nombre positifs sommable de somme 1 :
p! = 1; p! 0: En e¤et
!2
P (f!g) = p! et P (A) =
X
P (f!g) :
!2A
Exemples classiques : (on véri…e facilement la somme vaut 1)
i. Distribution B (p) de Bernoulli de paramètre p : = f0; 1g ; P (1) =
p et P (0) = 1 p; avec p 2 ]0; 1[ : C’est la probabilité de succés d’une pièce
de monnaie truqué de réussite p et d’échec (1 p) :
ii. Distribution U (n) uniforme sur un univers …ni : = f1; :::; ng ; P (k) =
1
: Modélise le succés d’un événement parmis n équipropable.
n
iii. Distribution B (n; p) binômiale de paramètre (n; p) 2 N
]0; 1[ :
n k
= f0; 1; :::; ng ; P (k) = Cnk pk (1 p)
: Modélise le nombre de succés
d’une suite de n Bernoulli indépendantes. Ou encore, si une urne contient
en poucentage p boules blanches et (1 p) boules noires, alors P (k) est
la probabilité de tirer k boules blanches et (n k) boules noires lors d’un
tirage successif de n boules avec remise.
iv. Distribution G (p) géométrique de paramètre p 2 ]0; 1[ : = N ; P (k) =
k 1
p (1 p)
: Modélise le premier succés d’une suite de k Bernoulli indépendantes.
v. Distribution P ( ) de poisson de paramètre 2 R+ : = N; P (k) =
k
e
; modélise des événements rares.
k!
(c) Continuité monotone : Si (An )n2N est une suite croissante d’événement,
+1
S
alors P
An = lim P (An ) : De même pour une suite décroissante
n=0
(Bn )n2N ; on a : P
n!+1
+1
T
Bn
n=0
= lim P (Bn ) :
n!+1
28
=
+1
P
n=0
P (An ) :
Exemple : On lance une pièce truqué in…niment, quelle la probabilté de A
"Avoir au moins deux PILE consécutifs"? Soit An l’énénement " Obtenir
au moins deux PILE consécutifs aux n premiers lancers", alors les An sont
croissant, A leur réunion, donc P (A) = lim P (An ) = 1: Voir la suite de ce
n!+1
résumé
(d) Autres propriètés
P A = 1 P (A) ;
P (A [ B) = P (A) + P (B) P (A \ B) : Se généralise à l’aide de la formule
de Poincarré du crible.
+1
+1
S
P
P
An
P (An ) la somme éventuellement in…nie. Comme
n=0
n=0
application une réunion au plus dénombrables d’événements négligeables
(P (An ) = 0) est négligeable. De même par passage au complémentaire une
intersection d’événement presque-sûr (P (An ) = 1) est presque-sûr.
(e) Système complet d’événement : I au plus dénombrable; leSsystème (Ai )i2I
est dit complet lorsque les Ai sont deux à deux disjoints et
Ai = . Dans
ce P
S
i2I
Ai
=
X
i2I
i2I
P (Ai ) = 1 et pour tout B 2 T : P (B) =
En particulier le système A; A est toujours complet.
B.
X
i2I
P (B \ Ai ) :
Probabilité conditionnelle
Une information supplémentaire peut changer l’issue d’un phénomène aléatoire. C’est
ce principe que modélise la probabilité conditionnelle.
1. Si P (A) > 0; on dé…nit la probabilité de B sachant A par PA (B) = P (B jA ) =
P (A \ B)
: la fréquence de réalisation de B lorsque A est réalisé.
P (A)
2. PA est aussi une probabilité sur ( ; T ) ; elle véri…e les axiomes et les propriétés des
probabilités.
3. Probabilté totale : Si (Ai )i2I un système au plus dénombrable complet avec les
P (Ai ) > 0; alors
X
8 B 2 T; P (B) =
P (B jAi ) P (Ai )
i2I
En particulier 8 B 2 T; P (B) = P (B jA ) P (A) + P B A P A
Exemple : Reprenons l’exemple ci-dessus, et notons : P (P ILE) = p; pn =
P (An ), avec An " Obtenir au moins deux PILES consécutifs aux n premiers lancers"
(n 2) : Le système An ; An est complet, donc P (An+1 ) = P (An+1 jAn ) P (An ) +
P An+1 An P An ; donc
pn+1 = pn + (1
p) p2 (1
pn
2)
(Pour la dernière on a forcément Pas de réussite avant (n
(pn )n est alors croissante majorée, donc converge vers 1.
4. Probabilité composée : Si P (A1 \ ::: \ An
1)
2)
FACE
PILE
> 0; alors
P (A1 \ ::: \ An ) = P (A1 ) P (A2 jA1 ) P (A3 jA1 \ A2 ) :::P (An jA1 \ :::An
1):
5. Formule de Bayes : Si (Ai )i2I un système au plus dénombrable complet avec les
P (Ai ) > 0; alors
P (B jAj ) P (Aj )
8 B 2 T; 8 j 2 I; P (Aj jB ) = X
P (B jAi ) P (Ai )
i2I
En particulier
P (A jB ) =
P (B jA ) P (A)
P (B jA ) P (A) + P B A P A
Exemple : Un lot de 100 dés contient 25 truqués qui donnent 6 avec un probabilité
1
: On choisit au hasard un dé. On lance ce dé, on obtient 6; quelle est la probablité
2
qu’il soit truqué? On le relance, on obtient encore 6; quelle est la probabilité qu’il
soit truqué?
29
PILE
),
Soit A " dé truqué " , B "on obtient 6" et C " on obtient un double 6" . On
1
1
P (B jA ) P (A)
=
a P (A) = ; P (B jA ) = ; donc P (A jB ) =
4
2
P (B jA ) P (A) + P B A P A
1=2 1=4
1
= et
1=2 1=4 + 1=6 3=4
2
3
1=4 1=4
P (C jA ) P (A)
=
P (A jC ) =
=
1=4 1=4 + 1=36 3=4
4
P (C jA ) P (A) + P C A P A
C.
Indépendance
1. Deux événement sont dits indépendants lorsque la réalisation de l’un n’in‡ue pas celle
de l’autre : A et B indépendant lorsque P (A \ B) = P (A) P (B) ( Càd P (A jB ) =
P (A), P (B jA ) = P (B) )
2. A et B indépendants =) A et B ; A et B ; A et B sont aussi indépendants.
Attention : Ne pas confondre indépendant et (disjoint ou incompatible)
3. Indépendance mutuelle : (Ai )i2I sont mutuellement indépendant si
8n 2 N ; 8 (i1 ; :::; in ) 2 I n ; P (Ai1 \ ::: \ Ain ) = P (Ai1 ) :::P (Ain )
4. L’indépendance mutuelle entraîne l’indépendance deux à deux, mais la réciproque
est fausse.
D.
Variable aléatoire
1. Dé…nition : Si ( ; T; P) un espace probabilisé, une variable aléatoire réelle X est
une application :
! R véri…ant 8 x R; X 1 (] 1; x]) = f! 2 = X (!) xg
T: En réalité une v.a. est une fonction (au sens mathématiques) dont la valeur est
aléatoire : dépend de l’expérience aléatoire.
8
X 1 (A) = f! 2 = X (!) 2 Ag se note (X 2 A)
>
>
<
X 1 (fxg) = f! 2 = X (!) = xg se note (X = x)
Notation :
X 1 ([x; +1[) = f! 2 = X (!) xg se note (X x)
>
>
:
De m^
eme pour (X > x) ; (X x) ; (a X b) ; :::
La notion de variable aléatoire permet de transférer l’étude probabiliste de l’ensemble
( ; T ) souvent théorique et peu connu à l’ensemble X ( ) des réalisations de X mieux
connu ( souvent une partie de R ou de Rn ):
2. V.a. discrète ou à densité :
Si X ( ) …ni ou dénombrable, X est dite variable aléatoire discrète.
Si X ( ) non dénombrable, X est sera dite parfois variable aléatoire continue
ou à densité ( on donnera une dé…nition précise dans la suite)
3. Loi de probabilité d’une v.a. : Soit X :
! R une v.a. réelle. On muni R de
sa tribu Borélienne B (R) engendré par les intervalle (] 1; x])x2R : On appelle loi
B (R) ! [0; 1]
de probabilité de X; la fonction PX :
: Ainsi PX est
A 7 ! PX (A) = P (X 2 A)
une probabilité sur X ( ) :
Cas discret : Lorsque X ( ) = D en bijecton avec une partie de N; alors la loi de
X est entièrement déterminée par : P (X = k) ; k 2 D .
(a) En particulier le système (X = k)k2X(
X
(b)
P (X = k) = 1
k2X( )
(c) P (X 2 A) =
X
)
est complet
P (X = k)
k2A
4. Couple de variables aléatoire discrète : (X; Y ) est dit couple de v.a.d. réelles
(a) On note X ( ) = fxi = i 2 Ig, Y ( ) = fyj = j 2 Jg avec I et J parties de
N; pi = P (X = xi ) ; qj = P (Y = yj ) et P (X = xi ; Y = yj ) = pij :
(b) Loi conjointe : La loi du couple (X; Y ) est dite loi conjointe, elle est entèrement déterminée par la connaissance de :
8 (i; j) 2 I
J : P (X = xi ; Y = yj ) = pij
(c) Lois marginales : Se sont les lois des variables X et Y:
30
(d) La loi conjointe détermine les lois marginales :
X
X
pi = P (X = xi ) =
P (X = xi ; Y = yj ) et qj = P (Y = yj ) =
P (X = xi ; Y = yj )
j2J
i2I
5. Loi conditionnelle de X sachant Y = yj : La loi de X sachant Y = yj est
loi de X pour la probabilité conditionnelle PY =yj : elle est déterminée par 8 i 2
P (X = xi ; Y = yj )
pij
I; P (X = xi jY = yj ) =
=
:
P (Y = yj )
qj
6. Variable aléatoire indépendante :
X et Y indépendantes si : P (X = xi ; Y = yj ) = P (X = xi ) P (Y = yj )
n
n
T
Q
Xi = xi =
P (Xi = xi )
X1 ; :::; Xn sont mutuellement indépendantes si : P
i=1
i=1
: Dans ce cas elles sont 2 à 2 indépendantes. La réciproque est fausse.
7. Lemme de coalitions : Si (X1 ; :::; Xn ) mutuellement indépendantes, et f; g deux
fonctions, alors 8 k 2 f2; :::; n 1g ; les variable aléatoire f (X1 ; :::; Xk ) et g (Xk+1 ; :::; Xn )
sont aussi indépendantes.
E.
Espérance : cas discret
L’espérance d’une variable aléatoire généralise la notion de moyenne pondérée ( ou
de centre de masse en mécanique), et représente le comportement moyen de la variable
aléatoire.
1. Dé…nition : Si X une v.a. discrète, on dit que X admet une espérance si la suite
(xP (X = x))x2X( ) est sommable; Dans ce cas
E (X) =
X
xP (X = x)
x2X( )
Pratique : On a X ( ) est …ni ou dénombrable
Si X ( ) = fx1 ; :::; xn g …ni, alors E (X) existe toujours et E (X) =
n
X
xk P (X = xk ) :
k=1
Si X (X) = fxk = k 2 Ng dénombrable, alors E (X) existe si et seulement si la
série
xk P (X = xk ) converge absolument.
k 0
Espérance des lois discrète usuelle :
(a) Uniforme U (n) : X ( ) = f1; :::; ng ; P (X = k) =
n
X
k
1
; alors E (X) =
=
n
n
k=1
n (n + 1)
2
(b) Bernoulli B (p) : X ( ) = f0; 1g ; P (X = 1) = p et P (X = 0) = 1
E (X) = p
n k
(c) Binômiale B (n; p) : X ( ) = f0; :::; ng ; P (X = k) = Cnk pk (1
E (X) =
n
X
kCnk pk (1
n k
p)
=
n
X
nCnk
1 k
1p
n k
(1
p)
; alors
= np
k=1
k=0
(d) Géométrique G (p) : X ( ) = N ; P (X = k) = p (1
E (X) =
p)
p; alors
+1
X
kp (1
k 1
p)
=p
k=1
1
k 1
p)
1
(1 p)
0
; alors
=
1
p
k
(e) Poisson P ( ) : X ( ) = N; P (X = k) = e
:
k!
; alors E (X) =
+1
X
k
ke
k=0
k!
=
Exercices :
P
(a) Si X une v.a.d., alors E (X) existe si et seulement si la série
P (X > n) con+1
+1
X
X
verge. dans ce cas E (X) =
P (X > n) : Ecrire P (X > n) =
P (X = k)
n=0
k=n+1
et utiliser la sommabilité
31
(b)
X une v.a.d., si P (X = a) = 1; alors E (X) = a: En e¤et P (X 6= a) = 0;
donc par dé…nition de E (X) = a : En particulier valable pour une variable
constante.
(c) Si A un événement, alors E (1A ) = P (A) :
2. Linéarité : Si X et Y sont deux v.a.d. admettant une espérance, alors aX + bY
admet aussi une espérance et
E (aX + bY ) = aE (X) + bE (Y )
3. Croissance : Si jXj
Y et E (Y ) existe, alors E (X) existe et E (X)
E (Y ) :
4. Théorème de transfert : Soit f une fonction dé…nit sur ; X une v.a.d., alors la
v.a.d. f (X) admet une espérance si et seulement si la suite (f (x) P (X = x))x2X( )
est sommable; Dans ce cas
X
E (f (X)) =
f (x) P (X = x)
x2X( )
Si en particulier X ( ) = N; alors E (f (X)) =
+1
X
f (k) P (X = k) :
k=0
Exercice (Epreuve zéro mines) Soit X une une v.a.d à valeurs entières, montrer X (t) = E eitX est continue sur R : En e¤et selon la formule du transfert
+1
X
P
E eitX =
eitk P (X = k) ; or eitk P (X = k) = P (X = k) avec
P (X = k)
k=0
converge car les événement (X = k) sont deux à deux disjoints. donc la série de
fonction CvN, CvU sur R; la somme X est alors continue.
5. Produit de variables indépendantes : si X et Y indépendantes alors E (XY ) =
E (X) E (Y )
6. Variable centrée : E (X) = 0; toujours Y = X
F.
E (X) est centrée.
Moment - variance
1. Moment : m 2 N; E (X m ) =
moment de X d’ordre m:
X
xm P (X = x) quand elle existe est dit le
x2X( )
(a) L’existence d’un moment donne l’existence des moments d’ordre plus petit.
(b) Inégalité de Cauchy-Schwarz : Si X et Y ont des moments d’ordre 2; alors
E (XY ) existe et
2
E (XY )
E X2 E Y 2
Egalité si et seulement si (X; Y ) liés presque surement : 9 ; , P ( X + Y = 0) =
1
2. Variance : Si X admet un moment d’ordre 2, alors X admet une variance
V (X) = E X 2
2
(E (X)) = E X
2
E (X)
(a) La variance est facteur de dispersion, il mesure l’écart de la variable aléatoire
autour de son espérance (sa moyenne)
p
(b) Ecart type : (X) = V (X) est dit l’écart type.
(c) V (aX + b) = a2 V (X) :
(d) Variable réduite : V (X) = 1 : si V (X) 6= 0; alors Y =
X
E (X)
est une
(X)
variable centrée-réduite
3. Covariance : Cov (X; Y ) = E (XY ) E (X) E (Y ) = E (X
E (X)) E (X
E (Y ))
(a) V (X + Y ) = V (X) + 2Cov (X; Y ) + V (Y ) ( se généralise pour une somme
…nie comme le carré d’une norme)
(b) Si X et Y indépendantes alors Cov (X; Y ) = 0 et V (X + Y ) = V (X) + V (Y ) :
32
G.
Fonction génératrice
1. X à valeurs entières : GX (t) = E tX
=
+1
X
P (X = k) tk c’est série entière de
k=0
rayon R
1:
2. E (X) existe si et seulement si G0X (1) existe. Dans ce cas E (X) = G0X (1) : peut-être
pratique pour le calcul de E (X)
00
3. V (X) existe si et seulement si G00X (1) existe. Dans ce cas V (X) = GX (1)+G0X (1)
2
[G0X (1)] : peut-être pratique pour le calcul de V (X)
4. X et Y indépendantes =) GX+Y = GX GY :
Exemple
(a) Bernoulli B (p) : GX (t) = 1
p + pt; E (X) = p; V (X) = p (1
p)
n
(b) Binômiale B (n; p) : GX (t) = (1 p + pt) ; E (X) = np , V (X) = np (1
( somme de n Bernoulli indépendantes)
1
1 p
pt
; E (X) = ; V (X) =
(c) Géométrique G (p) : GX (t) =
1 (1 p) t
p
p2
(d) Poisson P ( ) : GX (t) = e
H.
(t 1)
p)
; E (X) = V (X) = :
Approximation et limite
1. Inégalité de Markov : 8 " > 0; P (X
")
E (X)
( Pour X
"
2. Inégalité de Bienaymé-Tchebychev : 8 " > 0; P (jX
0 et E (X) existe)
E (X)j
lorsque E X 2 existe
")
V (X)
"2
3. Loi faible des grands nombres : Soit (Xn ) une suite de v.a.d 2 à 2 indépendantes
n
1X
Xk leur
admettant la même espérance
et la même variance ; si Mn =
n
k=1
moyenne, alors
8 " > 0; lim P (jMn
j > ") = 0
n!+1
Càd que la moyenne de l’échantillon calculé s’approche de la moyenne de la population : ce théorème est assez utilisé en statistique ( sondage, assurance, ...)
I.
Variable à densité (CNC)
1. Fonction de répartition :
Soit X une variable aléatoire réelle, la fonction
FX (x) = P (X
x) ; x 2 R
est dite la fonction de répartition de v.a. X:
FX véri…e les propriètés suivantes :
(a) La fonction de répartition caractérise la loi de X : les intervalles (] 1; x])x2R
engendrent la tribu des boréliens
(b) FX est croissante ( à valeurs dans [0; 1])
(c) FX est continue à droite en tout point : FX (x+ ) = FX (x)
(d)
lim FX (x) = 1 et lim FX (x) = 0
x! 1
x!+1
(e) P (X = x) = FX (x)
FX (x )
2. Variable à densité : Une v.a.r. X est dite à densité (ou continue ou parfois
absolument continue) si sa fonction de répartition FX est continue sur R; de classe
C 1 sur R sauf en un nombre …ni de point. Dans ce cas
fX (t) =
0
FX
(t) si FX dérivable en t
0 si FX non dérivable en t
s’appelle la densité de probabilité de la v.a. X:
Pour une v.a. X de densité de probabilité fX on a :
(a) fX est positive, continue sauf en un nombre …ni de point et intégrable sur R
Z +1
avec
fX (t) dt = 1
1
33
(b) Intuitivement fX (t) dt P (t X t + dt) est la probabilité de présence dans
l’intervalle in…nitésimale [t; t + dt]
Z x
fX (t) dt
(c) P (X x) = P (x < x) =
1
(d) P (a
(e) P (X
X
b) = P (a < X < b) = P (a
x) = P (X > x) = 1
X < b) = P (a < X
FX (x) =
Z
b) =
Z
b
fX (t) dt
a
+1
fX (t) dt
x
(f) P (X = x) = 0
3. Loi classique à densité
(a) Loi uniforme sur [a; b] : U ([a; b]) : X suit la loi uniforme sur [a; b] si sa densité
est
( 1
si a < t < b
fX (t) =
b a
0 sinon
et sa fonction de répartition est
8
>
< x
FX (x) =
>
: b
(b) Loi exponentielle de paramètre
est
0 si x
a
si a
a
1 si x
a
x
b
b
> 0 : E ( ) : X suit la loi E ( ) si sa densité
e
fX (t) =
t
si t > 0
0 sinon
et sa fonction de répartition est
FX (x) =
1
0 si x 0
e x si x
0
(c) Loi gamma de paramètre ( ; ) ; ; > 0 : ( ; ) : X suit la loi
densité est
8
t 1e t
<
si t > 0
fX (t) =
( )
:
0 sinon
Lorsque
= 1; on note
( ; 1) par
( );
(d) Loi normale ou loi de Gauss de paramètre m;
normale N m; 2 si sa densité est
fX (t) =
( ; ) si sa
1
p e
2
2
: N m;
2
: X suit la loi
(x m)2
2 2
4. Variable indépendante :
(a) Lorsque P (X1
x1 ; :::; Xn
xn ) = P (X1
x1 ) :::P (Xn
xn )
(b) Le théorème de l’indépendance héritée est encore valable.
5. Somme de deux v.a. indépendantes
(a) Si X1 et X2 indépendantes de densité fX1 et fX2 ; alors la somme X = X1 + X2
est une v.a. de densité fX :
Z +1
fX (x) = (fX1 fX2 ) (x) =
fX1 (t) fX2 (x t) dt = (fX2 fX1 ) (x) Produit de convolution
1
Exemples : Déterminer la densité de X = X1 + X2 ; lorsque X1 et X2 indépandantes et X1
( ) et X2
( ) : Retrouver la formule des compléments
( + )
: où B désigne la fonction bêta.
: B( ; )=
( ) ( )
(b) Si X1 et X2 indépendantes discrètes; alors la somme X = X1 + X2 est une v.a.
discrète et on a :
X
X
P (X = x) =
P (X1 = x1 ) P (X2 = x x1 ) =
P (X2 = x2 ) P (X1 = x
x1 2X1 ( )
Produit de convolution discret
x2 2X2 ( )
Exemples : Déterminer la loi de X = X1 +X2 ; lorsque X1 et X2 indépendantes
et X1 P ( ) et X2 P ( ) :
34
x2 )
6. Espérance - moment - variance
(a) Espérance : Si X est une v.a. de densité fX ; alors l’espérance de X quand
elle existe est
Z +1
E (X) =
tfX (t) dt
1
alors E véri…e toute les propriètés des vues pour les v.a. discrète : linéarité, positivité, croissance, inégalité de Cauchy-Schwarz, E (XY ) lorsque (X; Y )
indépendantes,...
Z +1
(b) Formule de transfert : Si X de densité fX , alors E ( (X)) =
(t) fX (t) dt
(c) Moment d’ordre k : mk (X) = E X k =
alors m1 ; :::; mk
existent aussi
1
2
(d) Variance : V (X) = E (X
E (X))
Z
1
+1
tk fX (t) dt; lorsque mk existe
1
2
= E X2
(E (X)) : elle véri…e les
mêmes propriètés du cas discret : V (aX + b) = a2 V (X) ; V (X + Y ) ; :::
(e) Covariance : Cov (X; Y ) = E ((X
E (X)) (Y
E (Y ))) = E (XY ) E (X) E (Y )
X E (X)
(f) Variable centrée réduite : E (X) = 0 et V (X) = 1 : toujours p
V (X)
est centrée-réduite
7. Espérance et variance des loi usuelles
2
(a) Si X
(b) Si X
(c) Si X
(d) Si X
J.
a+b
(b a)
et V (X) =
2
12
1
1
E ( ) ; alors E (X) = et V (X) = 2 :
U ([a; b]) ; alors E (X) =
( ; ) ; alors E (X) =
N m;
2
et V (X) =
2
; alors E (X) = m et V (X) =
2
:
Convergence
1. Inégalités classiques : Les inégalités de Markov et de Bienaymé-Tchebechev sont
valables pour les v.a. à densité
2. Convergence en probabilité :
(a) (Xn )n converge vers X en probabilité si 8 " > 0;
lim P (jXn
n!+1
Xj
") = 0:
(b) Si (Xn ) converge presque sûrement vers X; alors il y’a convergence en probabilité.
(c) Si Xn X 0 et lim E (Xn
(Inégalité de Markov)
X) = 0; alors il y’a convergence en probabilité
n
1 P
Xk d’une suite de v.a. indépendantes et
n k=1
de même loi converge en probabilité vers leur espérance commune.
Exemple : La moyenne Mn =
3. Convergence en loi :
(a) (Xn )n converge vers X en loi si
lim FXn (x) = FX (x) ; en tout point x de
n!+1
continuité de FX :
(b) Lorsque les Xn et X sont discrètes à valeurs entières, la convergence en loi est
équivalent à lim P (Xn = k) = P (X = k) ; 8k 2 N:
n!+1
(c) La convergence en probabilté entraîne la convergence en loi ( Réciproque fausse)
Exemple : Soit Xn de loi B (n; pn ) avec n assez grand et pn assez petit de
façon que lim npn = > 0; alors la suite (Xn ) converge en loi vers une v.a.
n!+1
discrète X suivant la loi P ( ) : Ce qui justi…e le fait que loi de Poisson est
associée aux événements rares.
4. Loi faible des grand nombre : Soit (Xn ) une suite de v.a. indépendantes de
n
1X
même loi, soit leur espérance et 2 leur variance ; si Mn =
Xk leur moyenne,
n
k=1
alors (Mn ) converge en probabilité vers la consante (variable presque sûr)
cad : 8 " > 0; lim P (jMn
n!+1
35
j > ") = 0
5. Théorème de la limite centrale : Soit (Xn ) une suite de v.a. indépendantes
de même loi, soit
leur espérance et 2 leur variance, alors la variable centréen
P
Xk n
k=1
p
converge en loi vers une v.a. X suivant la lo normale
réduite Sn =
n
centrée-réduité N (0; 1) :
Ce qui justi…e le caractère universel de la loi normale
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