Devoir libre groupes anneaux et corps (structures algébriques usuelles classe MP spé)

MP 2020-2021
DL No1
Structures algébriques usuelles
à rendre le 10/11/2021
Exercice
Soit pet qdeux entiers naturels non nuls. On considère le système
⎧
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎩
x≡a(mod p)
x≡b(mod q)(1)
d’inconnue x, où aet bsont des entiers.
1. Premier cas : pet qsont premiers entre eux.
1a. Montrer que le système admet au moins une solution cdans Z.
1b. Déterminer une solution particulière cdu système et en déduire l’ensemble des solutions.
2. Deuxième cas : pet qne sont pas premiers entre eux.
Soit d=p∧qet m=p∨q.
2a. Montrer que, si le système (1)admet une solution, alors ddivise b−a.
2b. Réciproquement, supposons ddivise b−a. Montrer que le système (1)admet au moins une solution
dans Z.
Partie informatique.
3. Écrire une fonction gcd(a, b) en language Python qui renvoie le pgcd des entiers naturels aet b.
4. Montrer que si qet rsont respectivement le quotient et le reste de la division euclidienne de apar bet
si (u, v)est un couple de coefficients de Bézout de bet r, alors (v, u −qv)est un couple de coefficients de
Bézout de aet b.
Écrire alors une fonction Bezout(a, b) en language Python qui renvoie le couple (u, v)de coefficients de
Bézout de aet b.
5. Écrire une fonction SolSys(a, b, p, q) en language Python qui renvoie une solution du système (1)dans
le cas où pet qsont premiers ou pas.
Problème
Dans tout le problème, Kest un sous-corps du corps des réels Ret K[X]le K-espace vectoriel des polynômes
à coeffcients dans K.
Par définition, un réel αest algébrique sur le corps Ksi, et seulement si, le réel αest racine d’un polynôme
non nul Pappartenant à K[X]. Dans le cas contraire, le réel αest transcendant sur le corps K.
Première partie :
1. Démontrer que, si Kest un sous-corps de R, alors Kcontient Q.
2. Soient Kun sous-corps de Ret αun réel algébrique sur le corps K. On pose
I(α)=P∈K[X], P (α)=0.
1 / 3

MP 2020-2021
2a. Démontrer que I(α)est un idéal de K[X]. En déduire l’existence d’un polynôme Mα, unitaire,
unique, tel que I(α)=Mα.K[X].
2b. Montrer que Mαest irréductible dans K[X].
2c. Démontrer que, pour qu’un polynôme P∈K[X], unitaire et irréductible dans K[X], soit le
polynôme Mα, il faut et il suffit que le réel αsoit racine du polynôme P.
Par définition, le polynôme Mαest le polynôme minimal de αsur K, le degré du polynôme Mα, noté
d(α, K), est le degré de αsur K. On pose
K[α]=Vect (αk, k ∈N)=p
∑
i=0
λiαi, p ∈N, λi∈Kpour tout i∈[[1, p]].
L’ensemble K[α]est, pour les lois de composition somme et produit, un anneau (on ne demande pas de
le démontrer).
3. Le réel αet le corps Kétant donnés, démontrer l’équivalence entre les affirmations suivantes :
i. α∈K;ii. d(α, K)=1;iii. K[α]=K.
4. Dans cette question, on suppose que d(α, K)=2.
4a. Préciser la dimension de K[α].
4b. Démontrer que K[α]est un corps.
4c. Démontrer qu’il existe un réel k>0∈Ktel que K[α]=K√k.
Par définition, dans ce cas (d(α, K)=2), K[α]est une extension quadratique de K.
5. Dans cette question, le degré de αsur Kest égal à un entier n≥2.
5a. Démontrer qu’à tout réel xappartenant à l’espace vectoriel K[α]est associé de manière unique
un polynôme Rde degré inférieur ou égal à n−1appartenant à K[X]tel que : x=R(α).
En déduire une base du K-espace vectoriel K[α]et sa dimension.
5b. Vérifier que, pour tout réel x(différent de 0) de K[α], l’application K-linéaire φqui à tout y
de K[α]associe xy est injective. En déduire que K[α]est un corps.
5c. Démontrer que l’ensemble K[α]est le plus petit sous-corps de Radmettant αcomme élément,
contenant Ket contenu dans R.
Pour toute la fin de cette partie, Le corps Kest maintenant le corps des rationnels Q.
6. Exemples :
6a. Déterminer le polynôme minimal sur Qde α=√2.
6b. Déterminer le polynôme minimal sur Qde α=3
√2.
6c. Déterminer le polynôme minimal sur Qde α=1+√5
2.
Considérons la suite des polynômes définis, pour tout réel xet pour tout entier naturel n, par les
relations :
P0(x)=1, P1(x)=2x+1, Pn+2(x)=2xPn+1(x)−Pn(x)
Soit Qnle polynôme défini par la relation : Qn(x)=Pnx
2.
7. Propriétés générales des polynômes Pn:
7a. Déterminer le degré du polynôme Pn(n≥0), préciser le coefficient du terme de plus haut degré
et le terme constant. Déterminer les polynômes : P2, P3, P4. Démontrer que les coefficients
des polynômes Qn(n≥0) sont des entiers relatifs.
2 / 3

MP 2020-2021
7b. Démontrer que les seules racines rationnelles possibles du polynôme Qnsont les entiers 1et
−1. Exprimer l’expression Qn+3(x)+xQn(x)en fonction du polynôme Qn+1(x). En déduire
que les racines rationnelles éventuelles des polynômes Qn+3et Qnsont les mêmes. Préciser les
polynômes Pnqui ont une racine rationnelle.
8. Racines du polynôme Pn:
Soit θ∈]0, π[. Considérons la suite (un)n≥0définie par la donnée de u0et de u1et la relation de
récurrence :
pour tout entier naturel n, un+2=2un+1cos θ−un.
8a. Déterminer l’expression du terme général unde la suite ci-dessus en fonction des réels n, θ et
de deux scalaires λet µdéterminés par θ, u0et u1.
8b. Utiliser les résultats précédents pour exprimer le réel vn=Pn(cos θ)en fonction des réels net
θ. En déduire toutes les racines du polynôme Pn, notées xk,n,1≤k≤n.
8c. Démontrer que les trois nombres réels cos 2π
5,cos 2π 7et cos 2π 9sont algébriques sur Q.
Déterminer leur polynôme minimal.
9. Dans cette question le réel αest le nombre algébrique sur Q,cos 2π
9:
9a. Démontrer que la dimension de l’espace vectoriel Q[α]est 3et qu’une de ses bases est B=
(1, α, α2). Donner l’expression dans cette base des réels cos 4π
9et cos 8π 9.
9b. Soit fun endomorphisme non nul de l’espace vectoriel Q[α], supposons que, pour tout couple
de réels xet yappartenant à Q[α], la relation f(xy)=f(x)f(y)ait lieu. Déterminer les
différentes images possibles des réels 1et αdans la base α. En déduire que l’ensemble de ces
endomorphismes est, pour la loi de composition des endomorphismes, un groupe à trois éléments
f1, f2, f3. Déterminer les matrices associées à ces endomorphismes f1, f2, f3dans la base B.
10. Exemple de nombres transcendants sur Q:
Soit Sun polynôme, appartenant à Q[X], de degré n≥2, irréductible dans Q[X].
10a. Démontrer qu’il existe un entier naturel CS(différent de 0) tel que pour tout rationnel r=p
q,
(p, q)∈Z×N∗, on ait : S(r)≥1
CSqn.
10b. Supposons que le réel αsoit une racine de S. Déduire du résultat précédent l’existence d’une
constante K, strictement positive, telle que pour tout rationnel r=p
qappartenant à l’intervalle
[α−1, α +1], l’inégalité α−r≥K
qnait lieu.
10c. Soit (tn)n∈Nla suite des réels définis par la relation : tn=n
∑
k=0
10−k!.
Démontrer que la suite (tn)n∈Nest convergente, soit tsa limite. Établir l’inégalité :
t−tn≤2.10−(n+1)!.
En déduire que le réel test transcendant sur Q.
3 / 3