Fonction-Numeriques-TS1 (1)

Lycée de Matam Année 2008/2009
TS1 M.NDOYE
Série d’exercices : fonctions numériques Exercice 1
1) Etudier les branches infinies où directions
asymptotiques dans les cas suivants :
;
x
x3x5
)x(f)a
3
;5x3)x(g)b 
;xx)x(h)c 
;xsinx)x(k)d 
;xcosxx)x(l)e
2
.
x1
x
)x(v)f
3
2) Soit la fonction définie par
1xx)x(f
2
où
 et
sont des paramètres réels.
a) Etudier suivants les valeurs des réels
 et
les
branches infinies ou asymptotes de f.
b) Déterminer
 et
pour que la droite
02yx2:)D( 
soit asymptote oblique en
Exercice 2
Calculer les limites suivantes en utilisant la composition
des fonctions
;
x6
1x
coslim)a
x
;
1x
x2
lim)b
3
x
;
2x6
1x
tanlim)c
1x
;
xtan
)xsin(tan
lim)d
0x 
;
x
xsin
lim)e
x
;
1xcos
xcosxcos
lim)f
2
0x
;
x
1xsin1
lim)g
0x
;
x11
x11
lim)h
2
2
x
.2x3xlim)i
2
x
Exercice 3
1) Etudier la continuité en a = -1 ; en a = 2 et a = 3 de la
fonction f définie par :
2xx
3x2x
)x(f 2
2
2) Soit la fonction g définie par :
1x
21x3
)x(g
2
a) Déterminer le domaine de continuité de g
b) Peut-on prolonger la fonction g par continuité sur IR.
Exercice 4
1) Déterminer et justifier la continuité des fonctions
suivantes sur des sous- ensembles de IR les plus grands
possibles en utilisant les opérations sur la continuité :
;xx)x(f
2
;xtan)x(g 
;
xcos1x
1
)x(h
2
;
x
xsinx
)x(k 
;1xsin)x(l 
;xcos)x(E)x(u 
.
xcos
1xsin
xtan)x(v 
2) En utilisant la composé des fonctions, justifier la
continuité des fonctions suivantes :
2;0Isur1x
2
tan)x(f)a 
g
Dsurxancot)x(g)b 
IRaoùDsur
a1x
a1x
)x(h)c
h
.Dsur
xsin
1xsin1
)x(u)d
u
Exercice 5
Soit la fonction f définie par :
16xx
;4IR:f
2
1) Montrer que f est une bijection de
.;4IR 
Expliciter
1
f
.
2) Montrer de deux façons différentes que
1
f
est
continue sur
.;4 
Exercice 6
Soit
0xsi1
0xsi
x
1
xE
)x(f 
1) Montrer que f est continue en 0.
2) Etudier la continuité de f en
1xet2nsi
n
1
x
3) En déduire le domaine de continuité de f
Exercice 7
1) Soit f une fonction définie sur
IR
et continue sur
l’intervalle
).0T(T;0 
a) Montrer que si f est périodique de période T et
T;0a 
alors f est continue en
Zk,kTa 
.
b) En déduire que f est continue
Zk,kTIR 
2) Soit g définie sur
IR
par
2
)x(Ex)x(g 
a) Etudier la continuité de g sur l’intervalle
1;0
b) Montrer que la fonction g est périodique de période T
à préciser ;
c) En déduire des questions précédentes le domaine de
continuité de la fonction g
3) Représenter graphiquement g sur l’intervalle
3;0
Exercice 8
Soit
1xx6x)x(f
23
1) Montrer que l’équation f(x) = 0 admet une solution dans
l’intervalle
1;0
2) Déterminer par la méthode de dichotomie une valeur
approchée de la racine à 0,1prés.
Exercice 9
On considère l’équation
.
33
1
x1x:)E( 
1) Démontrer que (E) admet 3 solutions
321 xxx 
1

vérifiant
,0x
3
1
1
;
3
2
x0
2
.1x
3
2
3
2) Pour
;3,2,1i 
on pose
 3
1
x
2
3
u
ii
.
Démontrer qu’il existe un nombre réel
iii
cosuquetel 
a) Démontrer que
321
et, 
sont solutions de
l’équation
.
2
1
3cos:)'E( 
b) En déduire les solutions de (E).
Exercice 10
1) Montrer que
2
2
x21
x1
)x(fx:f 
est dérivable sur
 ;1
et calculer
).x('f
2) Soit
la fonction définie par
xcos21
xcos1
)x(
2
2
sur l’intervalle
;; 
écrire
comme la
composée de deux fonctions dérivables et calculer
).x('
Exercice 11
1) Montrer que quelque soit x, y appartenant à
 12 ;
12
I
on a :
.yx
2
1
ycosxcos 22 
2) Démontrer que pour tout réel a et b appartenant à
2
;0
on a :
bcos
ab
atanbtan
acos
ab
22
Exercice 12
1) Soit les fonctions
et
définis par :
xsin)x(etxcos)x( 
xx sin)( 
Montrer que
et
sont indéfiniment dérivables et que
 2
n
xcos)x(
n
et
 2
n
xsin)x(
n
2) soit f la fonction définie par
2x
1
)x(f 
sur
l’intervalle
;2
. Calculer
);x('''f),x(''f),x('f
conjecturer
)x(f
)n(
et
démontrer la par récurrence
Exercice 13
Soit g la fonction définie par
1x)x(g 
sur
l’intervalle
 ;1
1) Montrer que g est dérivable sur
 ;1
et calculer
)x('g
puis encadrer
)x('g
sur
2
1
;0
2) Déduisez en que pour tout x appartenant à
2
1
;0
on a
2
x
1)x(g
6
x
1
Exercice 14
On admet qu’il existe une fonction f dérivable qui vérifie
sur IR :
2
)x(f1
1
)x('f 
dont la courbe
représentative (C) passe par l’origine O du repère.
1) Déterminer une équation de la tangente (T) à (C) en 0.
2) Montrer que (C) n’admet pas une tangente parallèle à la
droite
x2y: 
3) Justifier l’existence de la dérivée seconde
''f
et
montrer que
)x(f)x('f2)x(''f
3
.
Exercice 15
Soit w une fonction dérivable sur
;1
vérifiant :
4
x1
1
)x('wet0)1(w
1) Etudier les variations de w sur l’intervalle
;1
.
2) On définie la fonction g sur l’intervalle par
x
1
1)x(g 
. Comparer
'w
et
'g
puis w et g sur
;1
. Montrer alors que w est majorée sur
;1
et admet une limite L en
vérifiant :
.1L0 
Exercice 9
1) Etablir, pour tout
,0x 
l’encadrement :
.x
8
3
2
x
1
x1
1
2
x
1
2
2) Etudier la limite éventuelle en
0
de
.
2
x
1
x1
1
x
1
x
3) Montrer que la fonction
x
1
cosx 
admet, sur
,
2
;0 
une infinité d’extremums. Préciser les
abscisses de ces extremums ainsi que leur nature.
2