Cours5-Electrostatique-PHY106b

PHYS106B
Electrostatique - Magnétostatique- Induction Electromagnétique
Responsable : L1 : Physique-Chimie-Mécanique-E2i
Cours du 14 Février 2008
Applications du théorème de Gauss
Symétrie cylindrique
Symétrie
cylindrique
Champ en un point extérieur au cylindre chargé
E
Champ en un point intérieur au cylindre chargé
R
R
r
r
Nappe infinie
Chargée uniformément
Base chargée d’un nuage
Condensateurs plan
Conducteurs


Condensateurs
Câble H.T
Filtres électrostatiques
Alvéoles de connecteurs
Électriques
Piquet de paratonnerre
Faisceau électronique
Symétrie sphérique
R
R
r
r


Electricité atmosphérique
Condensateurs sphériques
Nuages électroniques
Méthodologie pour calculer les effets
Électriques crées par un système chargé
1. Inventaire des éléments de symétrie du système
2. En déduire les surfaces équipotentielles
3. Répondre à la question: EN QUEL POINT M dois-je
calculer le champ et potentiel
4. IDENTIFIER la surface équipotentielle qui contient le
point M
5. Définir la surface de Gauss FERMEE qui se confond
totalement ou partiellement avec l’équipotentielle
contenant le point M.
5. Calculer le flux du champ électrostatique à travers la
surface de Gauss
6. Appliquer le théorème de Gauss pour déduire le
champ électrostatique
7. En déduire le potentiel électrostatique par circulation
du champ sans oublier une constante d’intégration
8. Fixer la constante par les conditions aux limites de
votre système et par la continuité du potentiel
Cas d’une symétrie cylindrique: cylindre chargé en volume
Avec une densité r
Equipotentielles = cylindres coaxiaux
Symétrie cylindrique
Champ en un point extérieur au cylindre chargé
E
Champ en un point intérieur au cylindre chargé
R
R
r
r


M extérieur
M intérieur
Surface de Gauss=Boîte cylindrique (fermée) contenant le point M
Calcul de E en un point M à l’extérieur du cylindre chargé
Seul le flux à travers la surface latérale est non nul et a pour valeur :
 E / 
rR 2 h
rR 2
 E ext .2rh 
 E ext 
0
2 0 r
Calcul de E en un point M à l’intérieur du cylindre chargé
Seul le flux à travers la surface latérale est non nul et a pour valeur :
 E / 
rr 2 h
rr
 E int .2rh 
 E int 
0
20
Potentiel électrostatique
Relation différentielle


dV   E ( M ). dl   E (r )dr
M à l’extérieur
r 2
Vext (r )  
R Lnr  K
2 0
la constante K ne peut être fixée par la convention de Coulomb
car il existe des charges à l’infini
.
M à l’intérieur
r 2
Vint (r )  
r  K'
4 0
Propriété générale : le potentiel électrostatique est une fonction continue ,
Vint ( R )  Vext ( R)
r 2
rR 2
Vext ( R)  
R LnR  K  Vint ( R)  
 K'
2 0
2 0
Distribution de charges dans sphère
R
R
r
r


Calcul de E en un point M à l’extérieur de la sphère chargée


E /
 E ext .4r 
2
Qtotale
0
Qtotale
 E ext . 
 0 4r 2
Pour M extérieur à la sphère, tout se passe comme si la sphère se comporte comme une charge ponctuelle
Qotale placée à l’origine.
Calcul de E en un point M à l’intérieur de la sphère chargée
 E /   Eint .4r 
2
Qint érieurà
0
4r 3
r
rr
3

 Eint . 
0
3 0
Potentiel électrostatique


dV   E ( M ). dl   E (r )dr
Point à l’extérieur
Qtotale
Vext (r ) 
K
4 0 r
La convention de Coulomb est valable ici et donc K=0
Point à l’intérieur
rr 2
Vint (r )  
 K'
6 0
La continuité du potentiel électrostatique permet de déterminer la constante K’ :
rR 2
rR 2
Vint ( R)  
 K '  Vext ( R) 
60
30
rR 2
 K' 
20
Nappe infinie chargée avec une densité 
Justifiez que la surface de Gauss peut être choisie comme ci-dessous:
z
 E / 
 
 
S

 E1 . S1  E 2 . S 2  2 ES 
E
0
2 0
0
En déduire que le potentiel électrostatique est donné par:

V ( z)  
z K
2 0
Appliquer le théorème de Gauss pour
Déterminer le champ de gravitation à l’intérieur de la terre