Le Mans Université, Licence 3 - Année 2021/2022 TD 5 : Théorème de convergence. Dans cette feuille (E, E, µ) est un espace mesuré et la mesure λ est la mesure de Lebesgue. Exercice 1 Autour du Lemme de Fatou. Soit (fn )n∈N une suite de fonctions mesurables positives sur (E, E, µ) qui converge simplement vers une fonction f . On suppose qu'il existe M ∈ R telle que Z fn dµ ≤ M ∀n ∈ N , E Montrer que Z f dµ ≤ M E Exercice 2 Autour du Lemme de Fatou. Soit (fn )n∈N une suite de fonctions de (R, B(R)) dans (R, B(R)) dénies par f2n = 1[0, 1 ] et f2n+1 = 1[ 1 ,1] . On considère que µ(R) < +∞. 2 2 Comparer lim sup Z Exercice 3 fn dµ et Z lim sup fn dµ. Le lemme de Fatou est-il vérié ? Utilisation du lemme de Fatou. Soit (fn )n∈N une suite de fonctions intégrables qui converge µ-pp vers une fonction intégrable f . Montrer que Z |fn − f |dµ = 0 ⇔ lim lim n→+∞ Z n→+∞ E Z |fn |dµ = E Exercice 4. Quelques propriétés élémentaires |f |dµ E Soient f et g deux fonctions mesurables positives sur (E, E, µ). Montrer que : 1. Si f = g µ-pp , alors Z Z f dµ = gdµ . 2. Si Z f dµ < +∞, alors f < +∞ µ-pp . 3. Si Z f dµ = 0, alors f = 0 µ-pp . Exercice 5. Série de fonctions positives On pose ∀n ∈ N, ∀x ∈ [0, 1], fn (x) = (1 − x) x2n . 1 1. Montrer que la série 2. Calculer Z P fn converge λ-pp sur [0, 1] et calculer sa somme f . f dλ . ∞ (−1)n P . 3. En déduire la valeur exacte de n=0 n + 1 Exercice 6. Série de fonctions réelles On pose ∀n ∈ N∗ , ∀x ∈ R∗+ , fn (x) = e−nx − 2e−2nx . 1. Montrer que la série P fn converge λ-pp sur R∗+ et calculer sa somme f = ∞ P fn . n=1 2. Montrer que les applications fn sont λ-intégrables sur R∗+ et qu'il en va de même de f . 3. Comparer Z f dλ et ∞ P Z fn dλ . Commenter ce résultat . n=1 Exercice 7. Pour f : R → R intégrable, calculer Z lim n→+∞ e−n sin 2 (x) f (x)λ(dx) R Exercice 8. Extrait de de mai 1998 Z l'examen On pose ∀n ∈ N∗ , In = ln 1 + [1,n] nx 1 + nx3 λ(dx) . Montrer que la suite (In )n converge vers une limite nie que l'on précisera . Exercice 9. Extrait de l'examen de juin 2003 . Déterminer la limite de la suite (In )n≥1 r x −x cos dénie par In = e λ(dx) n [0,n] Z n Exercice 10. Extrait de l'examen de juin 2011 On considère la suite (fn )n∈N∗ des fonctions positives dénies sur [0, 1] par : fn (x) = n2 xn (1 − x) . 1. Montrer que la suite (fn )n∈N∗ converge λ-pp sur [0, 1] vers une limite f que l'on précisera . 2. Calculer directement In = 3. Comparer lim n→∞ Z Z fn dλ pour tout n ∈ N∗ . [0,1] Z fn (x) dλ et lim fn (x) dλ [0,1] [0,1] n→∞ 4. En déduire que la suite (fn )n∈N∗ n'est pas monotone, et que sup fn n'est pas intégrable sur [0; 1] . (On énoncera soigneusement n∈N∗ les théorèmes utilisés dans cette dernière question 2 ) Exercice 11. (Auto-apprentissage) Extrait de l'examen de septembre 2001 e−x Trouver, si elle existe, la limite lorsque n tend vers l'inni de In = n ln 1 + n R+ Z Exercice 12. (Auto-apprentissage) arctan (nx) . 1 + x2 converge λ-pp sur [0, 1] vers une limite f que l'on On considère la suite (fn )n≥1 de fonctions dénies sur [0, 1] par fn (x) = 1. Montrer que la suite (fn )n≥1 précisera . Z 2. Montrer que la suite converge vers une limite que l'on fn (x) λ(dx) [0,1] calculera . n≥1 Exercice 13. Extrait de l'examen de juin 2011 (Auto-apprentissage) On pose : ∀n ∈ N , In = Z R+ 1 + e−nx λ(dx) . 1 + x2 Montrer que la suite (In )n∈N converge vers une limite que l'on calculera . Exercice 14 Continuité de fonction. Z Pour tout x ≥ 0, soit f (x) = R+ 1 λ(dt). 1 + x3 + t3 1. Montrer que f est bien dénie et continue sur R+ . 2. Montrer que f est dérivable sur R+ et calculer sa dérivée. Exercice 15. Soit f la fonction dénie sur R+ par Z f (t) = R+ sin(x) x 2 e−tx λ(dx) 1. Monter que f est continue sur R+ et deux fois dérivable sur R∗+ . 2. Calculer f 00 et la limite en +∞ de f . En déduire une expression simple de f . Exercice 16. 1. Soit f une application mesurable positive sur (R, B(R)) et soit µ une mesure dont f est la densité par rapport à λ. Rappeler à quelle condition µ est bornée. 2. Soit µ une mesure bornée dénie par sa fonction de répartition : F (x) = µ(] − ∞, x]). Montrer que si F 0 est continue µ-pp, alors µ admet une densité par rapport à λ que l'on précisera. 3 λ(dx). 3. Soit α > 0, supposons que F (x) = (1 − e−αx )1R+ (x). µ est-elle une mesure de probabilité ? 4. Admet-elle un moment d'ordre 1 ? d'ordre 2 ? Le cas échéant, les calculer. 5. (Auto-Apprentissage) Refaire les questions précédentes pour les densités des lois de Cauchy et normale centrée réduite. Soit µ la mesure absolument continue par rapport à la mesure de Lebesgue λ dont la densité est normale centrée réduite sur (R, B(R)). 1. Soit T : R → R dénie par T (x) = 2x + 5. Quelle est la mesure image µT de µ par T ? 2. En déduire que µT est absolument continue par rapport à λ. Quelle est la densité de µT par rapport à µ ? 3. Montrer que Id est µT -intégrable et calculer son intégrale. 4. (Auto-Apprentissage) Refaire les questions précédentes pour T (x) = x2 . Exercice 17. 4
