arithmetique 2

Exercices - Pgcd - ppcm - nombres premiers entre eux :
´enonc´e
Exercice 1 - Pour bien commencer... -L1/Math Sup -?
Calculer (3123 −5) ∧25.
Exercice 2 - Un calcul -L1/Math sup -??
Calculer le pgcd de 2445 + 7 et 15.
Exercice 3 - Termes cons´ecutifs d’une suite -L1/Math Sup -?
Soit (un)la suite d’entiers d´efinie par u0= 14 et un+1 = 5un−5. D´emontrer que le pgcd de
deux termes cons´ecutifs de la suite est constant. Pr´eciser sa valeur.
Exercice 4 - Rationnels qui sont entiers -L1/Math Sup -?
Soient aet bdeux rationnels tels que a+bet a×bsont des entiers. Prouver que aet bsont
des entiers.
Exercice 5 - Calcul de pgcd -L1/Math Sup -??
Calculer les pgcd suivants :
1.(n2+n)∧(2n+ 1) 2.(15n2+ 8n+ 6) ∧(30n2+ 21n+ 13) 3.(a2+ab +b2)∧ab
avec a, b, n ´el´ements de Z2.
Exercice 6 - pgcd et ppcm impos´es -L1/Math Sup -??
1. R´esoudre le syst`eme
(x∧y= 18
x∨y= 540
avec (x, y)∈N2.
2. G´en´eralisation : trouver une condition n´ecessaire et suffisante sur det mpour qu’il existe
(x, y)∈N2tels que x∧y=det x∨y=m.
Exercice 7 --L1/Math Sup -??
Soient a, b, c ∈Z∗.
1. Montrer que c|ab =⇒c|(a∧c)(b∧c).
2. Montrer que a∧b= 1 =⇒a∧(bc) = a∧c.
Exercice 8 - Equation avec pgcd et ppcm -L1/Math Sup -??
Trouver tous les couples d’entiers (x, y)∈N2tels que x∨y+ 11(x∧y) = 203.
Exercice 9 - Liens entre deux pgcd -L1/Math Sup -??
Soient a, m, n ∈N∗avec a≥2et m≤n. On note d= (an−1) ∧(am−1).
1. Montrer que an≡ar[am−1].
2. En d´eduire que d= (ar−1) ∧(am−1), puis que d=an∧m−1.
3. A quelle condition am−1|an−1?
http://www.bibmath.net 1