TD MTH231

MTH 231
TRANSFORMEE DE LAPLACE
TRANSFORMEE DE FOURIER
FONCTIONS SPECIALS, EDO
DJIBIBE Moussa Zakari
D´ epartement de Math´ ematiques
Facult´ e Des Sciences
Universit´ e de Lom´ e
[email protected]

Chapitre 1
Int ´ egrales g ´ en ´ eralis ´ ees
Exercices d’application 1.1
1. Calculer les limites suivantes
(a) lim
x→1−Zx
0
dt
1−t2
(b) lim
x→1+Z2
x
dt
1−t2
(c) lim
x→1+Z2
x
dt
1−t2
(d) lim
x→1−Zx
0
dt
√1−t2
2. Etudier la nature des integrales suivantes en d´eterminant les limites correspon-
dantes :
(a) Z1
0
xln x dx,
(b) Z+∞
0
e−αx dx, α ∈R
(c) Zπ
2
0
tan x dx
(d) Z+∞
1
ln x
x2dx
(e) Z1
0
ln(1 −x2)
x2dx
Exercices d’application 1.2
1. Quelles la nature de l’int´egrale Z+∞
1
2xdx
√x5+x+ 1
2. Etablir que Z+∞
1
dx
xαconverge si et seulement si α > 1.
3. Etudier la convergence et calculer
(a) Z+∞
−∞
dx
x2+ 1
(b) Z+∞
2
dx
x2−5x+ 1
1

CHAPITRE 1. INT ´ EGRALES G ´ EN ´ ERALIS ´ EES
(c) Z+∞
0
x2
(1 + x2)2dx
(d) R+∞
a
dx
x(ln x)2, a > 1
Exercice 1.1
1. D´eterminer la nature des int´egrales suivantes et en effectuer les calculs :
(a) I1=Z+∞
0
dx
(x−1)(x−2)(x−3)
(b) I2=Z+∞
−∞
dx
ch(x)
(c) I3=Zπ
4
0
cos x
√sin xdx
Exercice 1.2
Les int´egrales suivantes sont-elles convergentes ? Si oui les calculer
1. Z+∞
e
dx
x(ln x)2
2. Z+∞
0
1 + x
1 + x2dx
3. Z+∞
1
ln x
xαdx (α∈R
4. Z1
0
dx
x3−5x2
5. Z+∞
r
dx
x(x+a)(a > 0, r > 0.
Exercice 1.3
1. En donnant la valeur exacte, prouver la convergence de l’int´egrale A=Z+∞
0
dx
x2+ 1.
2. D´eterminer la nature de l’int´egrale B=Z+∞
0
√x
x2+ 1 dx, et, en justifiant le calcule,
d´eterminer en fonction de Bl’expression C=Z+∞
−∞ p|x|
x2+ 1 dx
Exercice 1.4
Soient aun r´eel strictement positif, I=Z1
0
ln x
x2+ 1 dx et J=Z+∞
1
ln x
x2+ 1 dx
1. Justifier la convergence de Iet Jet puis montrer que I=−J.
2. En d´eduire la convergence de A=Z+∞
0
ln x
x2+ 1 dx
3. En d´eduire la valeur de Ia=Z+∞
0
ln x
x2+a2dx x =at.
2DJIBIBE MOUSSA ZAKARI, UL, FDS

Chapitre 2
Transform ´ ee de Laplace et
Applications
Exercices d’application 2.1
Trouver la transform´ee de Laplace F(s)des fonctions f(t)suivantes :
1. f(t) = at +b
2. f(t) = (at +b)2
3. f(t) = sin(wt −θ)
4. f(t) = sin2(wt −θ)
5. f(t) = sin2(at)
6. f(t) = 5 cos(7t)
7. f(t) = sin(t−τ)H(t−τ)
8. f(t) = t3e−bt
9. f(t) = tcos(at).
Exercices d’application 2.2
Identifier la fonction f(t)dont la transform´ee F(s)est :
1. F(s) = 4
s4
2. F(s) = 4
s+ 2
3. F(s) = 4
s2+ 2
4. F(s) = s−4
s2+ 4
5. F(s) = s−4
s2−16
6. F(s) = 1
s(s−4)
7. 2
(s−2)(s+ 4)
Exercices d’application 2.3
On consid`ere le syst`eme diff´erentiel (x0= 3x+ 2y
y0=x+ 2yavec les conditions initiales x(0) = 3
et y(0) = 0.
3

CHAPITRE 2. TRANSFORM ´ EE DE LAPLACE ET APPLICATIONS
1. Notons Xet Yles transform´ees de Laplace de xet y. Utiliser la transform´ee de
Laplace pour obtenir un syst`eme en Xet Y.
2. R´esoudre le nouveau syst`eme
3. Utiliser la transform´ee de Laplace inverse pour calculer xet y.
Exercice 2.1
D´eterminer l’abscisse de convergence de la transform´ee de Laplace des fonctions sui-
vantes :
1. f(t) = e2tcos(wt), w ∈R
2. f(t) = tne−3t, n ≥0
3. f(t) = cosh(at), a > 0.
Exercice 2.2
1. D´eterminer la transform´ee de Laplace des fonctions suivantes :
(a) f(t) = et−cos 2
3te2t
(b) f(t) = te4t
(c) f(t) = cos3(t)et
Exercice 2.3
On pose f(t)=1−cos t, g(t) = e−tf(t).
1. L(f(t)(s)) = 1
s(s2+ 1).
2. Calculer, pour tout t > 0, g0(t).Que valent lim
x→0+g(x)et lim x→0+g0(x)
3. En d´eduire que
L(etg00(t))(s) = (s−1)2
s(s2+ 1)
Exercice 2.4
D´ecomposez les fractions rationnelles suivantes en ´el´ements simples puis calculez leur
transform´ee de Laplace inverse :
1. F(s) = s−8
(s−8)2+ 25
2. G(s) = 1
(s+ 1)2+1 s2+ 1
3. H(s) = s+ 1
s2+ 4
4. M(s) = s−2
(s−2)2+ 4
Exercice 2.5
Calculez les transform´ees de Laplace associ´ees aux ´equations diff´erentielles suivantes,
puis d´eterminez leur solution particuli`ere en appliquant la transform´ee de Laplace in-
verse.
1. d3y
dt3= 0, y00 (0) = 2, y0(0) = 1, y(0) = 1
4DJIBIBE MOUSSA ZAKARI, UL, FDS