MTH 231 TRANSFORMEE DE LAPLACE TRANSFORMEE DE FOURIER FONCTIONS SPECIALS, EDO DJIBIBE Moussa Zakari Département de Mathématiques Faculté Des Sciences Université de Lomé [email protected] Chapitre 1 Intégrales généralisées Exercices d’application 1.1 1. Calculer les limites suivantes Z x dt (a) lim− 2 x→1 0 1−t Z 2 dt (b) lim+ 2 x→1 x 1−t Z 2 dt (c) lim+ x→1 1 − t2 Zx x dt √ (d) lim− x→1 1 − t2 0 2. Etudier la nature des integrales suivantes en déterminant les limites correspondantes : Z 1 x ln x dx, (a) 0 Z +∞ (b) e−αx dx, α ∈ R 0 Z (c) π 2 tan x dx 0 Z +∞ (d) 1 Z (e) 0 1 ln x dx x2 ln(1 − x2 ) dx x2 Z Exercices d’application 1.2 1. Quelles la nature de l’intégrale 1 Z +∞ √ 2xdx x5 + x + 1 +∞ dx converge si et seulement si α > 1. xα 1 3. Etudier la convergence et calculer Z +∞ dx (a) 2 −∞ x + 1 Z +∞ dx (b) 2 x − 5x + 1 2 2. Etablir que 1 CHAPITRE 1. INTÉGRALES GÉNÉRALISÉES Z +∞ (c) 0 (d) R +∞ a x2 dx (1 + x2 )2 dx , a>1 x(ln x)2 Exercice 1.1 1. Déterminer la nature des intégrales suivantes et en effectuer les calculs : Z +∞ dx (a) I1 = (x − 1)(x − 2)(x − 3) 0 Z +∞ dx (b) I2 = −∞ ch(x) Z π 4 cos x √ (c) I3 = dx sin x 0 Exercice 1.2 Les intégrales suivantes sont-elles convergentes ? Si oui les calculer Z +∞ dx 1. x(ln x)2 e Z +∞ 1+x 2. dx 1 + x2 0 Z +∞ ln x 3. dx (α ∈ R xα 1 Z 1 dx 4. 3 2 0 x − 5x Z +∞ dx 5. (a > 0, r > 0. x(x + a) r Z +∞ Exercice 1.3 dx 1. En donnant la valeur exacte, prouver la convergence de l’intégrale A = . 2 x +1 0 Z +∞ √ x 2. Déterminer la nature de l’intégrale B = dx, et, en justifiant le calcule, 2 x +1 0 Z +∞ p |x| déterminer en fonction de B l’expression C = dx 2 −∞ x + 1 Z Exercice 1.4 Soient a un réel strictement positif, I = 1 Z +∞ ln x ln x dx et J = dx 2 x2 + 1 1 0 x +1 1. Justifier la convergence de I et J et puis montrer que I = −J. Z 2. En déduire la convergence de A = 0 Z 3. En déduire la valeur de Ia = 0 2 +∞ +∞ ln x dx x2 + 1 ln x dx x 2 + a2 x = at. DJIBIBE M OUSSA Z AKARI, UL, FDS Chapitre 2 Transformée de Laplace et Applications Exercices d’application 2.1 Trouver la transformée de Laplace F (s) des fonctions f (t) suivantes : 1. f (t) = at + b 2. f (t) = (at + b)2 3. f (t) = sin(wt − θ) 4. f (t) = sin2 (wt − θ) 5. f (t) = sin2 (at) 6. f (t) = 5 cos(7t) 7. f (t) = sin(t − τ )H(t − τ ) 8. f (t) = t3 e−bt 9. f (t) = t cos(at). Exercices d’application 2.2 Identifier la fonction f (t) dont la transformée F (s) est : 4 1. F (s) = 4 s 4 2. F (s) = s+2 4 3. F (s) = 2 s +2 s−4 4. F (s) = 2 s +4 s−4 5. F (s) = 2 s − 16 1 6. F (s) = s(s − 4) 2 7. (s − 2)(s + 4) ( Exercices d’application 2.3 x0 = 3x + 2y On considère le système différentiel avec les conditions initiales x(0) = 3 y 0 = x + 2y et y(0) = 0. 3 CHAPITRE 2. TRANSFORMÉE DE LAPLACE ET APPLICATIONS 1. Notons X et Y les transformées de Laplace de x et y. Utiliser la transformée de Laplace pour obtenir un système en X et Y. 2. Résoudre le nouveau système 3. Utiliser la transformée de Laplace inverse pour calculer x et y. Exercice 2.1 Déterminer l’abscisse de convergence de la transformée de Laplace des fonctions suivantes : 1. f (t) = e2t cos(wt), w ∈ R 2. f (t) = tn e−3t , n ≥ 0 3. f (t) = cosh(at), a > 0. Exercice 2.2 1. Déterminer la transformée de Laplace des fonctions suivantes : 2 t (a) f (t) = e − cos t e2t 3 (b) f (t) = te4t (c) f (t) = cos3 (t)et Exercice 2.3 On pose f (t) = 1 − cos t, g(t) = e−t f (t). 1 1. L(f (t)(s)) = . s(s2 + 1) 2. Calculer, pour tout t > 0, g 0 (t). Que valent lim+ g(x) et lim+ g 0 (x) x→0 x→0 3. En déduire que L(et g 00 (t))(s) = (s − 1)2 s(s2 + 1) Exercice 2.4 Décomposez les fractions rationnelles suivantes en éléments simples puis calculez leur transformée de Laplace inverse : s−8 1. F (s) = (s − 8)2 + 25 1 1 2. G(s) = + 2 2 (s + 1) s +1 s+1 3. H(s) = 2 s +4 s−2 4. M (s) = (s − 2)2 + 4 Exercice 2.5 Calculez les transformées de Laplace associées aux équations différentielles suivantes, puis déterminez leur solution particulière en appliquant la transformée de Laplace inverse. d3 y 1. = 0, y 00 (0) = 2, y 0 (0) = 1, y(0) = 1 3 dt 4 DJIBIBE M OUSSA Z AKARI, UL, FDS CHAPITRE 2. TRANSFORMÉE DE LAPLACE ET APPLICATIONS 2. y 00 − 4y 0 + 5y = 0, y 0 (0) = 2, y(0) = 1 3. y 00 − 4tH(t) = 0, y 0 (0) = 1, y(0) = 1. Exercice 2.6 On considère la fonction causale e définie sur R par : e(t) = 4[H(t) − H(t − 2)]. 1. Représenter graphiquement e dans un repère orthonormé. 2. On note E la transformée de Laplace de e. Calculer E. 3. L’étude d’un circuit électrique conduit à étudier la tension de sortie s reliée à la tension d’entrée e par la formule 4s0 (t) + s(t) = e(t), s(0) = 0. On admet que s admet une transformée de Laplace notée S. Démontrer que S(p) = 1 − e−2p p(p + 41 ) 4. Déterminant des réels a et b tels que 1 a b + 1 = p p+ p(p + 4 ) 1 4 5. Déterminant l’original des fonctions suivants 1 (a) F (p) = , p e−2p (b) F (p) = p 1 (c) F (p) = p + 41 e−2p (d) F (p) = p + 41 6. En déduire la valeur de s. 7. Vérifier que t<0 0, t 4 − 4e− 4 , 0≤t<2 4(e 12 − 1)e− 4t , t ≥ 2 5 DJIBIBE M OUSSA Z AKARI, UL, FDS
