TD4-ECC

ECC 1A 2017-2018
Probabilit´es
TD 4
Exercice 1. Soit (X, Y ) un vecteur gaussien centr´e tel que E(X2) = E(Y2) = 1. Soit ρle coefficient
de corr´elation.
1. Rappeler la densit´e du vecteur (X, Y ).
2. Quelle est la loi conditionnelle de Ysachant X?
3. Calculer EY|X
4. Quelle est la loi de EY|X?
Exercice 2. Soit un vecteur al´eatoire (X, Y ). On d´efinit la variance conditionnelle de Ysachant X
par
var(Y|X) = E(Y−E(Y|X))2|X.
1. Montrer que
var(Y) = E(var(Y|X)) + var (E(Y|X)) .
2. En d´eduire que si {Xi, i ∈N?}est une suite de v.a. i.i.d. telle que E(X2
1)<+∞et si Nest une
v.a. ind´ependante de {Xi, i ∈N?}avec P(N∈N?) = 1, alors
var N
X
i=1
Xi!=E(N)var(X1)+(E(X1))2var(N).
Exercice 3. Soient X, Y deux variables al´eatoires ind´ependantes de loi E(λ). On pose S=X+Y.
1. Quelle est la densit´e de la loi du couple (X, S) ?
2. Quelle est la densit´e de la loi de Xsachant S?
3. Calculer EX|S.
Exercice 4. Soient Xet Ydeux variables al´eaoires r´eelles. Montrer que si EY|X=Xet EY2|X=X2
alors Y=Xp.s..
Exercice 5. On note Xla valeur `a l’ouverture de la bourse d’une certaine action et Ysa valeur `a la
fermeture de la bourse. On sait que la loi de (X, Y ) a pour densit´e
(x, y)7→ 1x,y≥0e−(x+2y/x2)2
x2.
1. Calculer EXet EY.
2. Calculer E(Y|X).
3. Pour quelles valeurs de l’action `a l’ouverture peut-on esp´erer une augmentation `a la fermeture ?
Exercice 6. Soit (X, Y ) un couple de variables al´eatoires de densit´e
(x, y)7→ 4y(x−y)e−(x+y)10≤y≤x
1. Calculer EX|Y.
2. Calculer P(X < 1|Y).