Analyse Série 3 fsr

Université Mohammed V.
Faculté des sciences -Rabat
Département de Mathématiques.
Année 2020-2021.
Analyse S1 (SMPC)
Série III.
Exercice 1. Calculer la fonction dérivée d’ordre n des fonctions f, g, h définies
par :
f (x) = sin x ; g(x) = sin2 x ; h(x) = sin3 x + cos3 x.
Exercice 2. a) Montrer que :
1. pour
x ≥ 0,
2. pour
x ∈ R,
3. pour tout
x
1+x
≤ ln(1 + x) ≤ x.
2
| exp(x) − 1 − x| ≤ x2 exp(|x|).
x, y ∈ − π4 , + π4 , |y − x| ≤ | tan(y) − tan(x)| ≤ 2|y − x|.
b) Par application du théorème des accroissements finis à f (x) = ln x sur
[n, n + 1] montrer que
n
X
1
Sn =
k
k=1
tend vers l’infini quand n tend vers l’infini.
Exercice 3. Soient x et y réels avec 0 < x < y.
1. Montrer que
x<
y−x
< y.
ln y − ln x
2. On considère la fonction f définie sur [0, 1] par
α 7→ f (α) = ln(αx + (1 − α)y) − α ln x − (1 − α) ln y.
De l’étude de f déduire que pour tout α de ]0, 1[
α ln x + (1 − α) ln y < ln(αx + (1 − α)y).
Interprétation géométrique ?
Exercice 4. Soit f1 , f2 et f2 les applications de R dans R définies par f1 (x) =
x
x
x
, f2 (x) =
et f2 (x) =
1+x
1−x
1 − x2
(n)
(n)
1. Calculer f1 (0) et f2 (0) pour tout n ∈ N et en déduire les formules de
taylor de f1 et de f2 a l’ordre 6.
2. Déduire la formule de Taylor de f3 a l’ordre 6.
1
Exercice 5. En appliquant la règle de l’Hospital plusieurs fois, déterminer la
limite en 0 de
arctan x − sin x
tan x − arcsin x
Exercice 6. Donner un
1. Développement limité en zéro de ln(cos(x)) (à l’ordre 6).
2. Développement limité en zéro de cos x. ln(1 + x) à l’ordre 4.
√
3. Développement limité en 1 à l’ordre 3 de f (x) = x.
√
4. Développement limité en 1 à l’ordre 3 de g(x) = e
5. Développement limité à l’ordre 3 en
π
3
x
.
de h(x) = ln(sin x).
√
1 + x2
√
1 + x + 1 + x2
en 0. En déduire un Développement limité l’ordre 2 en +∞. Calculer un Développement
limité a l’ordre 1 en −∞.
Exercice 7. Donner un Développement limité à l’ordre 2 de f (x) =
Exercice 8. Calculer les limites suivantes
2
ex − cos x
lim
x→0
x2
p
1 + sin(x) −
lim
x→π/2
√
cos x − 1 − x2
lim
x→0
x4
ln(1 + x) − sin x
lim
x→0
x
q
3 − sin2 (x)
(2x − x3 )1/3 −
x→1
1 − x3/4
lim
cos2 (x)
√
x
Exercice 9. Étudier la position du graphe de l’application x 7→ ln(1 + x + x2 )
par rapport à sa tangente en 0 et 1.
Exercice 10. Soit f :
] − 1, 1[∪]1, +∞[→ R une fonction définie par :
f (x) = (x2 − 1) ln
1+x
.
1−x
1. Donner le développement limité de f à l’ordre 3 dans un voisinage de 0.
En déduire que le graphe de f admet une tangente (T ) au point d’abscisse
0.
2. Préciser la position du graphe par rapport à (T )
3. En utilisant un développement asymptotique de f en +∞, démontrer que
le graphe de f admet une asymptote (A).
4. Donner une équation cartésienne de l’asymptote (A) et préciser la position du graphe de f par rapport à (A)
Exercice 11. .
1 Donner le DL à l’ordre 4 de la fonction f (x) =
2
2+x2
1+x+x2
en zéro.
2 En déduire l’équation et la position de la tangente par rapport à la courbe
en zéro.
3 Calculer lim
x→0
f (x)−2+2x
cosx−1 .
Exercice 12. .
Soit f définie sur R par f (x) =
x2 +1
1+x
1. Donner le développement en zéro à l’ordre 3
2. Donner le développement limit en +∞ à l’ordre 2
3. Déduire l’équation de l’asymptote ainsi que sa position en +∞.
Exercice 13. .
On cosidère la fonction définie par ch(x) =
ex +e−x
2
sur R.
1. Donner le tableau de variation de ch
2. Calculer la dérivée niemme ch(n) (0) en fonction de n.
3. Déduire la formule de taylor de ch(x) à l’ordre n
Exercice 14. .
On considère la fonction f définie par :
f (x) = ln
1 − x
1+x
.
1 Déterminer Df le domaine de définition de la fonction f (x).
2 Déterminer lim f (x) et lim f (x).
x→−1
x→1
3 Calculer le développement limité de f (x) en 0 à l’ordre 3.
4 Déduire léquation de la tangente a la courbe de f en zéro et déterminer
sa position par rapport à la courbe.
5 Calculer la dérivée de f et montrer que f est une bijection de Df sur un
intervalle I que l’on précisera.
1 Déterminer f −1 la fonction réciproque de f .
Exercice 15. .
3
2
+x−1
Soit f (x) = x −2x
.
x2 +1
1 Donner le développement limité de f (x) en +∞ a l’ordre 2.
2 En déduire l’equation et la position de l’asympote par rapport à la courbe
de f .
3