Universit´e Mohammed V. Ann´ee 2020-2021.
Facult´e des sciences -Rabat
D´epartement de Math´ematiques.
Analyse S1 (SMPC)
S´erie III.
Exercice 1. Calculer la fonction d´eriv´ee d’ordre ndes fonctions f, g, h d´efinies
par :
f(x) = sin x;g(x) = sin2x;h(x) = sin3x+ cos3x.
Exercice 2. a) Montrer que :
1. pour x≥0,x
1+x≤ln(1 + x)≤x.
2. pour x∈R,|exp(x)−1−x| ≤ x2
2exp(|x|).
3. pour tout x, y ∈−π
4,+π
4,|y−x|≤|tan(y)−tan(x)| ≤ 2|y−x|.
b) Par application du th´eor`eme des accroissements finis `a f(x) = ln xsur
[n, n + 1] montrer que
Sn=
n
X
k=1
1
k
tend vers l’infini quand ntend vers l’infini.
Exercice 3. Soient xet yr´eels avec 0< x < y.
1. Montrer que
x < y−x
ln y−ln x< y.
2. On consid`ere la fonction fd´efinie sur [0,1] par
α7→ f(α) = ln(αx + (1 −α)y)−αln x−(1 −α) ln y.
De l’´etude de fd´eduire que pour tout αde ]0,1[
αln x+ (1 −α) ln y < ln(αx + (1 −α)y).
Interpr´etation g´eom´etrique ?
Exercice 4. Soit f1, f2et f2les applications de Rdans Rd´efinies par f1(x) =
x
1 + x, f2(x) = x
1−xet f2(x) = x
1−x2
1. Calculer f(n)
1(0) et f(n)
2(0) pour tout n∈Net en d´eduire les formules de
taylor de f1et de f2a l’ordre 6.
2. D´eduire la formule de Taylor de f3a l’ordre 6.
1
Exercice 5. En appliquant la r`egle de l’Hospital plusieurs fois, d´eterminer la
limite en 0de arctan x−sin x
tan x−arcsin x
Exercice 6. Donner un
1. D´eveloppement limit´e en z´ero de ln(cos(x)) (`a l’ordre 6).
2. D´eveloppement limit´e en z´ero de cos x. ln(1 + x)`a l’ordre 4.
3. D´eveloppement limit´e en 1`a l’ordre 3de f(x) = √x.
4. D´eveloppement limit´e en 1`a l’ordre 3de g(x) = e√x.
5. D´eveloppement limit´e `a l’ordre 3en π
3de h(x) = ln(sin x).
Exercice 7. Donner un D´eveloppement limit´e `a l’ordre 2de f(x) = √1 + x2
1 + x+√1 + x2
en 0. En d´eduire un D´eveloppement limit´e l’ordre 2en +∞. Calculer un D´eveloppement
limit´e a l’ordre 1en −∞.
Exercice 8. Calculer les limites suivantes
lim
x→0
ex2−cos x
x2lim
x→0
ln(1 + x)−sin x
xlim
x→0
cos x−√1−x2
x4
lim
x→π/2
p1 + sin(x)−q3−sin2(x)
cos2(x)lim
x→1
(2x−x3)1/3−√x
1−x3/4
Exercice 9. ´
Etudier la position du graphe de l’application x7→ ln(1 + x+x2)
par rapport `a sa tangente en 0et 1.
Exercice 10. Soit f: ] −1,1[∪]1,+∞[→Rune fonction d´efinie par :
f(x) = (x2−1) ln
1 + x
1−x
.
1. Donner le d´eveloppement limit´e de f`a l’ordre 3dans un voisinage de 0.
En d´eduire que le graphe de fadmet une tangente (T) au point d’abscisse
0.
2. Pr´eciser la position du graphe par rapport `a (T)
3. En utilisant un d´eveloppement asymptotique de fen +∞, d´emontrer que
le graphe de fadmet une asymptote (A).
4. Donner une ´equation cart´esienne de l’asymptote (A) et pr´eciser la posi-
tion du graphe de fpar rapport `a (A)
Exercice 11. .
1 Donner le DL `a l’ordre 4de la fonction f(x) = 2+x2
1+x+x2en z´ero.
2
2 En d´eduire l’´equation et la position de la tangente par rapport `a la courbe
en z´ero.
3 Calculer lim
x→0
f(x)−2+2x
cosx−1.
Exercice 12. .
Soit fd´efinie sur Rpar f(x) = x2+1
1+x
1. Donner le d´eveloppement en z´ero `a l’ordre 3
2. Donner le d´eveloppement limit en +∞`a l’ordre 2
3. D´eduire l’´equation de l’asymptote ainsi que sa position en +∞.
Exercice 13. .
On cosid`ere la fonction d´efinie par ch(x) = ex+e−x
2sur R.
1. Donner le tableau de variation de ch
2. Calculer la d´eriv´ee niemme ch(n)(0) en fonction de n.
3. D´eduire la formule de taylor de ch(x)`a l’ordre n
Exercice 14. .
On consid`ere la fonction fd´efinie par :
f(x) = ln 1−x
1 + x.
1 D´eterminer Dfle domaine de d´efinition de la fonction f(x).
2 D´eterminer lim
x→−1f(x)et lim
x→1f(x).
3 Calculer le d´eveloppement limit´e de f(x)en 0`a l’ordre 3.
4 D´eduire l´equation de la tangente a la courbe de fen z´ero et d´eterminer
sa position par rapport `a la courbe.
5 Calculer la d´eriv´ee de fet montrer que fest une bijection de Dfsur un
intervalle Ique l’on pr´ecisera.
1 D´eterminer f−1la fonction r´eciproque de f.
Exercice 15. .
Soit f(x) = x3−2x2+x−1
x2+1 .
1 Donner le d´eveloppement limit´e de f(x)en +∞a l’ordre 2.
2 En d´eduire l’equation et la position de l’asympote par rapport `a la courbe
de f.
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