Univérsité Ibn Zohr
Faculté des Sciences - Agadir
Département de Mathématiques
Année Univérsitaire 20-21
Filière: SMA1
Pr: A. RIKOUANE
Examen blanc d’Algèbre 1
Exercice 1 (Questions de cours)
La correspondance f : Z/60Z −→ Z/12Z, x 7−→ 3x est-elle une application?
Exercice 2
Soit l’application f : R2 −→ R2 qui à chaque couple (x, y) de R2 associe le couple (x + y, xy) de R2 .
1. Montrer que pour tout (x, y) ∈ R2 , f (x, y) = f (y, x).
2. Déterminer l’image réciproque de l’ensemble {(0, 1)}.
3. f est-elle injective? surjective?
Exercice 3
On désigne par R la relation définie sur R2 par:
(x, y)R(x0 , y 0 ) ⇔ x2 − y 2 = x02 − y 02 .
1. Montrer que R est une relation d’équivalence.
2. Déterminer (0, 0).
Exercice 4
1. On considère dans Z × Z l’équation (E): 11x − 50y = 1 .
a) Déterminer une solution particulière de l’équation (E).
b) Résoudre dans Z × Z l’équation (E).
2. Déterminer tous les entiers relatifs n tels que 11n ≡ 5[50].
(
x ≡ 4[15]
3. Déterminer toutes les solutions x ∈ Z du système
.
x ≡ 2[8]
Exercice 5
Soit p un nombre premier tel que p = 4k + 3 où k ∈ N∗ .
1. Montrer que pour tout x ∈ Z, x2 ≡ 1[p] ⇒ xp−5 ≡ 1[p].
2. Soit x ∈ Z, tel que xp−5 ≡ 1[p].
a) Montrer que x et p sont premiers entre eux.
b) Montrer que xp−1 ≡ 1[p].
c) Vérifier que 2 + (k − 1)(p − 1) = k(p − 5).
d) Déduire que x2 ≡ 1[p].
3. Résoudre dans Z, l’équation (E) : x62 ≡ 1[67].
Fin
1
