Examen de Análisis 2 - Université S.M. Ben Abdellah

D´epartement de Math´ematiques Ann´ee universitaire : 2021-2022
Universit´e S.M. Ben Abdellah Fili`ere : MIP1 (Section B)
FST-F`es Module : Analyse 2 (S2)
Dur´ee : 2h
Epreuve d’Analyse - Session Normale
.Commencer par inscrire votre num´ero de table sur la copier.
+Les exercices sont ind´ependants et peuvent ˆetre trait´es dans n’importe quel ordre.
-La clart´e des raisonnements et la qualit´e de la r´edaction seront prises en compte `a la correction.
Documents et calculatrices non autoris´ees.
Exercice 1. (5 pts) ...............................................................................................................................................
1) Soit fune fonction en escalier sur [a, b].
(i) Montrer que |f|est en escalier sur [a, b]et on a 
Rb
af(t)dt
≤Rb
a|f(t)|dt.
(ii) Calculer I(t) = R1
0max(x, t)dx pour tout t∈R.
2) Soient x > 1,α∈Ret Fαla fonction d´efinie par : Fα(x) = Rx
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tαdt.
(i) Calculer Fα(x).
(ii) Montrer que lim
x→+∞Fα(x)existe et est finie si et seulement si α > 1.
Exercice 2. (5 pts)...............................................................................................................................................
1) Calculer la limite de la suite (Un)nd´efinie par : Un=
n
P
k=1
n+k
n2+k2.
2) Montrer que Rtan x
1+cos xdx = ln 1+cos x cos x+Csur ]0,π 2[o`u C∈R.
3) Discuter suivant la valeur du param`etre α∈R, la nature de l’int´egrale : Jα=R+∞
1
tα+t2−α
t3+1 dt.
Exercice 3. (4 pts)................................................................................................................................................
1) On consid`ere sur R∗+l’´equation diff´erentielle suivante :
(E) : y0+y2ln(x) + 1
xy= 0,avec y(1) = 1.
(i) Reconnaˆıtre le type de cette ´equation diff´erentielle.
(ii) R´esoudre sur R∗+l’´equation (E).
2) R´esoudre dans Rl’´equation diff´erentielle suivante : y00 + 2y0−3y= cos x+xex.
Exercice 4. (6 pts)................................................................................................................................................
I) Soit (xn)n≥2la suite r´eelle d´efinie par : xn=(−1)n
√n+(−1)n.
1) Montrer que la s´erie P
n≥1
(−1)n
√nconverge.
2) Montrer que :
xn=(−1)n
√n−1
n+(−1)n n√n+o1 n√n.
3) En d´eduire la nature de la s´erie P
n≥2
xn.
4) Que peut-on conclure dans cette partie ?
Rappel: (1 + x)αDLn(0) = 1 + αx +α(α−1)
2! x2+··· +α(α−1)···(α−n+1) n!xn+o(xn)o`u α∈Ret x > −1.
II) Montrer que P
n≥1
cos n
nest semi-convergente.
Indication : Utiliser le crit`ere d’Abel et les formules cos(2t) = 2 cos2(t)−1=1−2 sin2tet sin(2t) =
2 sin t×cos t.
Bon courage
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