TP1 AN

Matière : Analyse Numérique (M1)
Année universitaire : 2019/2020
TP 1
Une équation qui comporte une ou plusieurs dérivées de la fonction inconnue est appelée
‘équation différentielle’. L’ordre de cette équation est déterminé par l’ordre du degré le plus
élevé de la dérivation.
Les équations différentielles peuvent être classées en deux catégories :
1- les équations différentielles avec des conditions initiales, ce sont les problèmes de
Cauchy.
2- les équations différentielles avec des conditions aux limites, ce sont les problèmes de
Dirichlet.
L’objectif de ce TP est d’implémenter quelques méthodes de résolution numérique des
équations différentielles, ou plus précisément du problème de Cauchy.
 y '  f ( y, t )

 y (t0 )  y0
(1)
où (𝑦,𝑡) est une fonction de y et de t, et la seconde équation représente la condition initiale.
1- La Méthode d’Euler.
Pour résoudre la forme (1), considérons une partition t0 , t1 , t2 ,..., tn  de [a, b] telle que :
ti  a  i  h
i  0,1,...., n

ba

 h  n
Supposons que la solution exacte y(t) ait des dérivées continues sur [a, b]. Alors, d’après la
formule de Taylor l’équation d’Euler sera la suivante :
yi 1  yi  h  f (ti , yi )
avec
y0  
2- La Méthode d’Euler modifiée
Dans cette méthode, On utilise la formule de Taylor d’ordre 2 :
yi 1  yi  h  yi '
h2
yi "  (h3 )
2!
Or yi " 
y 'i 1  y 'i
formule de la dérivée seconde.
h
h

 yi 1  yi   f (ti 1 , yi 1 )  f (ti , yi ) 
2


y0  

On remarque que cette formule ne donne pas yi+1 explicitement. Pour surmonter ce
problème, on estime yi+1 par la méthode d’Euler et on corrige pour obtenir une estimation
plus précise de yi+1.
Travail à effectuer :
On cherche la solution numérique y aux points t = 0, .25, .5, .75, 1 du problème à la condition
initiale y' = -2ty², avec la condition initiale y(0) = 1.
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Créer sous Matlab deux fonctions de la forme : function [liste_y,liste_t] = Euler(y0,N,T)
function [liste_y,liste_t] = Euler_modifiee(y0,N,T)
qui nous permette de résoudre des EDO.
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Comparer les résultats aux instants d’évaluation t des deux méthodes (Euler et Euler
modifiée) avec la solution exacte y1(t) = 1/(1 +t²).