Corrigé exercice 13 de la fiche sur les variations de fonctions
Corrigé exercice n°13
Il faut raisonner comme dans l’exercice n°12.
1- a- On a : – 8 ≤ – 5 ≤ – 3 ≤ 0. Et f est décroissante sur [– 8 ; 0]. Donc : f (– 5 ) ≥ f (– 3).
b- On a : 0 ≤ 1 ≤ 2 ≤ 5. Et f est croissante sur [0 ; 5]. Donc : f (1) ≤ f (2).
c- On a : 5 ≤ 5,5 ≤ 6 ≤ 8. Et f est décroissante sur [5 ; 8]. Donc : f (5,5 ) ≥ f (6).
d- Il faut remarquer ici que 3 et 6 sont situés dans des intervalles où la fonction f n’a pas le même sens de variation. En effet, f est
croissante sur [0 ; 5], qui contient le nombre 3, et f est décroissante sur [5 ; 8], qui contient le nombre 6.
En fait, puisque 3 est compris entre 0 et 5, l’image f (3) est nécessairement comprise entre le minimum et le maximum de f sur [0 ; 5].
Donc : 1 ≤ f (3) ≤ 6. Et puisque 6 est compris entre 5 et 8, l’image f (6) est nécessairement comprise entre le minimum et le maximum de
f sur [5 ; 8]. Donc : 0 ≤ f (6) ≤ 6. Mais on peut très bien avoir f (3) = 2 et f (6) = 4 (et donc f (3) serait inférieur à f (6)), ou f (3) = 4 et
f (6) = 2 (et donc f (3) serait supérieur à f (6)). Donc : on ne peut pas comparer f (3) et f (6).
e- On a, d’après le tableau de variations : f (0) = 1 et f (8) = 0. Donc : f (0) > f (8).
f- On raisonne comme dans d- : on a f (– 4) compris entre 1 et 5 et f (4) compris entre 1 et 6. Mais on peut très bien avoir f (– 4) = 2
et f (4) = 3 (et donc f (– 4) serait inférieur à f (3)), ou f (– 4) = 3 et f (4) = 2 (et donc f (– 4) serait supérieur à f (4)). On ne peut pas
comparer f (– 4) et f (4).
g- On a : 5 ≤ a ≤ b ≤ 8. Et f est décroissante sur [5 ; 8]. Donc : f (a ) ≥ f (b).
2- a- Lorsque x est compris entre 0 et 5, l’image f (x) est nécessairement comprise entre le minimum et le maximum de f sur [0 ; 5].
Or le minimum de f sur [0 ; 5] est 1 et le maximum de f sur [0 ; 5] est 6. Donc : 1 ≤ f (x) ≤ 6.
b- Lorsque x est compris entre 5 et 8, l’image f (x) est nécessairement comprise entre le minimum et le maximum de f sur [5 ; 8].
Or le minimum de f sur [5 ; 8] est 0 et le maximum de f sur [5 ; 8] est 6. Donc : 0 ≤ f (x) ≤ 6.
c- Lorsque x est compris entre – 8 et 0, l’image f (x) est nécessairement comprise entre le minimum et le maximum de f sur [– 8 ; 0].
Or le minimum de f sur [– 8 ; 0] est 1 et le maximum de f sur [– 8 ; 0] est 5. Donc : 1 ≤ f (x) ≤ 5.
d- Lorsque x est compris entre 0 et 8, l’image f (x) est nécessairement comprise entre le minimum et le maximum de f sur [0 ; 8].
Or le minimum de f sur [0 ; 8] est 0 et le maximum de f sur [0 ; 8] est 6. Donc : 0 ≤ f (x) ≤ 6.
Remarque : le minimum de f sur [– 8 ; 8] étant 0 (attient en 8), on peut affirmer que pour tout réel x dans [– 8 ; 8], f (x) ≥ 0.
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