cours al 2018

Université d’Angers L3 Mathématiques
Algèbre linéaire et bilinéaire
François Ducrot
Année 2018-2019
Le programme de l’UE
— Sous-espaces stables par un endomorphisme linéaire, valeurs propres, vecteurs propres. Diago-
nalisation, trigonalisation.
— Polynômes d’un endomorphisme. Polynôme caractéristique. Polynôme minimal. Théorème de
Cayley-Hamilton. Théorème de décomposition des noyaux.
— Formes bilinéaires. Formes bilinéaires symétriques et formes quadratiques.
— Diagonalisation des matrices symétriques réelles.
— Produit scalaire et espace euclidien. Groupe orthogonal.
— Décomposition d’une forme quadratique en somme de carrés. Méthode de Gauss. Théorème
d’inertie de Sylvester.
— Coniques. Classification affine et euclidienne.
Table des matières
1 Algèbre linéaire. Pourquoi? 2
2 Quelques rappels d’algèbre linéaire 3
2.1 Sous-espaces vectoriels ........................................ 3
2.2 Familles libres, familles génératrices, bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.3 Applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.4 Matrice d’une application linéaire .................................. 5
2.5 Déterminant d’une matrice, déterminant d’un endomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.6 Quelques exercices pour se mettre en jambes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3 Sous-espaces stables par un endomorphisme. 8
3.1 Sommes directes de sous-espaces propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.2 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
4 Polynôme caractéristique 11
4.1 Quelques rappels succincts sur les polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
4.2 Le polynôme caractéristique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
4.3 Calcul du polynôme caractéristique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
4.4 Un critère nécessaire et suffisant de diagonalisabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
4.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1

5 Trigonalisation 15
5.1 Exercices ................................................. 17
6 Polynômes d’endomorphismes 18
6.1 Idéal annulateur, théorème de Cayley-Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6.2 Polynôme minimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
6.3 Lemme de décomposition des noyaux et applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
6.4 Exercices ................................................. 22
7 Mise sous forme de Jordan 24
8 Applications de la réduction des endomorphismes 25
8.1 Calcul de puissances de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
8.2 Suites récurrentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
8.3 Systèmes d’équations différentielles linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
8.4 Exercices ................................................. 27
9 Généralités sur les formes bilinéaires 29
10 Formes bilinéaires symétriques et formes quadratiques 30
10.1 Formes bilinéaires symétriques non dégénérées et définies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
10.2 Réduction d’une forme quadratique en somme de carrés, méthode de Gauss . . . . . . . . 32
10.3 Invariants d’une forme quadratique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
10.4 Exercices ................................................. 34
11 Espaces euclidiens 36
11.1 Exemple du produit scalaire dans R2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
11.2 Produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
11.3 Orthogonalité dans un espace euclidien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
11.4 Procédé d’orthogonalisation de Schmidt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
11.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
12 Endomorphismes orthogonaux d’un espace euclidien 41
12.1 Le groupe orthogonal d’un espace euclidien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
12.2 Le groupe O2(R). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
12.3 Le groupe O3(R). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
12.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
13 Endomorphismes symétriques d’un espace euclidien 45
13.1 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
14 Coniques 47
14.1 Classification affine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
14.2 Classification euclidienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
14.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
1 Algèbre linéaire. Pourquoi?
La notion de dépendance linéaire entre deux quantités est la plus simple qu’on puisse imaginer, à
tel point que, dans la vie courante, beaucoup de gens n’imaginent pas d’autres types de dépendance.
Imaginons que j’aille chez le boulanger. Le premier jour, j’achète 3 brioches et 5 gâteaux et j’en ai pour
100 e. Le deuxième, j’achète 7 brioches et 4 gâteaux et j’en ai pour 150 e. Le troisième, j’achète 13
2

brioches et 37 gâteaux; combien cela me coutera? La réponse est simple :
On observe que (13,37) =9(3,5) −2(7,4). On en déduit que cela me coutera 9×100−2×150, soit 600 e.
Ce raisonnement élémentaire est basé sur le fait, implicitement supposé ici, que le prix d’un panier
dépend linéairement du contenu du panier. Autrement dit que si P1et P2sont deux paniers, le prix du
panier αP1+βP2sera αp(P1)+βp(P2).
Dans la vie mathématique, les phénomènes linéaires sont les plus élémentaires à étudier, et on
cherche souvent à s’y ramener, au moins en première analyse (c’est par exemple ce qu’on fait quand
on calcule la différentielle d’une application).
Pour pouvoir parler d’applications linéaires, c’est à dire vérifiant
f(αu+βv)=αf(u)+βf(v)
il nous faut d’abord pouvoir disposer d’ensembles dans lesquels la formule αu+βva un sens. On voit
apparaître la notion d’espace vectoriel.
L’introduction d’espaces vectoriels et de sous-espaces vectoriels (droites, plans, ...) permet d’utiliser
l’intuition géométique pour guider les calculs algébriques.
2 Quelques rappels d’algèbre linéaire
Cette partie n’est pas un cours auto-suffisant. Il s’agit juste d’un rappel de quelques notions qui seront
indispensables dans la suite. Vous êtes invités à vous reporter à votre livre préféré pour approfondir les
notions qui vous manqueraient.
Dans tout ce qui suit, kdésigne Rou C, et E,F,Gseront des k-espaces vectoriels .
2.1 Sous-espaces vectoriels
Un sous-espace vectoriel de Eest un sous-ensemble Xde Etel que
—Xest non vide.
—Xest stable par combinaisons linéaires : ∀α,β∈X,∀u,v∈k,αu+βv∈X.
Un sous-espace vectoriel de E, muni de l’addition et de la multiplication par un scalaire est un espace
vectoriel .
Notons que si Xet Ysont deux sous-espaces vectoriels de E, alors X∩Yest un sous-espace vecto-
riel de E.
Si Xet Ysont deux sous-espaces vectoriels de E, on appelle somme de Xet Yl’ensemble
X+Y={u+v|u∈X,v∈Y}
C’est un sous-espace vectoriel de E.
Si x1,...,xrsont des éléments de E, l’ensemble de toutes les combinaisons linéaires α1x1+... +
αrxrde x1,...,xrest un sous-espace vectoriel de E. On l’appelle le sous-espace vectoriel engendré par
x1,...,xr, et on le note V ect(x1,...,xr).
Deux sous-espaces vectoriels de Esont dits en somme directe si X∩Y={0}. Dans ce cas un élément
de X+Ys’écrit de manière unique comme u+vavec u∈Xet v∈Y. La somme X+Yest alors notée
X⊕Y.
2.2 Familles libres, familles génératrices, bases
On dit qu’une famille (x1,...,xr) d’éléments de Eest une famille libre, ou encore que les éléments
x1,...,xrsont linéairements indépendants, si
∀α1,...,αr∈k,α1x1+...+αrxr=0=⇒ α1=... =αr=0
3

Cela veut dire que tout élément de V ect(x1,...,xr) s’écrit de manière unique sous la forme α1x1+. .. +
αrxr.
On dit qu’une famille (x1,...,xr) d’éléments de Eest une famille génératrice de E, ou encore que les
éléments x1,...,xrengendrent linéairement E si
∀x∈E,∃α1,...,αr∈k,x=α1x1+...+αrxr
On dit qu’un espace vectoriel est de dimension finie s’il possède une famille génératrice finie. On notera
qu’à ce stade de l’exposé, le terme « dimension »n’a pas de sens en soi, mais cela sera précisé un peu plus
loin.
Si Xest un sous-espace vectoriel de E, une famille x1,...,xrd’éléments de Xest appelée une base de
Xsi
—X=V ect(x1,...,xr)
—x1,...,xrest une famille libre.
Autrement dit, x1,...,xrest une base de Xsi tout élément de Xs’écrit de manière unique sous la forme
α1x1+...+αrxr.
Il résulte de ces définition qu’une base de Eest une famille d’éléments de Equi est à la fois libre
et génératrice. C’est souvent une bonne stratégie pour montrer qu’une famille est une base de montrer
séparément qu’elle est libre et génératrice.
Théorème 1 (Base incomplète).Si x1,...,xrest une famille libre d’un espace vectoriel de dimension finie
E, alors il existe des éléments xr+1,...,xntels que (x1,...,xn)soit une base de E.
Ce théorème entraîne en particulier que tout espace vectoriel de dimension finie possède au moins
une base. Pour préciser le nombre d’éléments d’une telle base, on va énoncer d’abord un lemme :
Lemme 2. Soient r éléments x1,...,xrde E et soient r +1éléments y1,..., yr+1de E qui s’écrivent chacun
comme combinaison linéaire des xi. Alors la famille (y1,..., yr+1)n’est pas libre.
Ce lemme technique permet de prouver théorème fondamental suivant :
Théorème 3. Si x1,...,xret y1,..., yssont deux bases d’un espace vectoriel E, alors elles ont le même
nombre d’éléments r =s.
Le nombre d’éléments d’une base de E, qui est donc maintenant bien défini, est appelé la dimension
de E.
Mentionnons également la proposition suivante, souvent utile pour montrer qu’une famille est une
base :
Proposition 4. Soit E un espace vectoriel de dimension n, et soit E=(e1,...,en)une famille de n vecteurs
de E. Alors les trois assertions suivantes sont équivalentes :
—Eest une base de E.
—Eest une famille génératrice de E.
—Eest une famille libre.
Le théorème de la base incomplète entraîne en particulier que si X⊂Ysont deux sous-espaces
vectoriels de E, alors dim X≤dimY, et qu’on a dimX=dimYsi, et seulement si, X=Y.
Théorème 5. Soient X et Y deux sous-espaces vectoriels de E, alors
dim X+dimY=dim(X+Y)+dim(X∩Y)
4

Soit E=(e1,...,en) une base de E, pour tout vecteur x∈E, on notera [x]Ele vecteur colonne dont les
coefficients sont les coordonnées de xdans la base E.
Soit F=(f1,..., fn) une autre base de E, on notera PF
E=£[f1]E,...,[fn]E¤la matrice de passage de la
base Eà la base F.
Alors les coordonnées d’un vecteur xdans les bases Eet Fsont reliées par :
[x]E=PF
E[x]F
Par ailleurs, cette égalité entraîne que :
PE
F=³PF E´−1
2.3 Applications linéaires
Une application u:E→Fest dite linéaire si elle vérifie :
∀x,y∈E,∀α,β∈k,u(αx+βy)=αu(x)+βu(y)
Dans le cas où E=F, une application linéaire E→Eest appelée un endomorphismede E.
On définit alors le noyau d’une application linéaire u:E→F
Keru={x∈E|u(x)=0}
et l’imagede u
Imu={y∈F|∃y∈E,y=u(x)}
On déduit immédiatement de la linéarité de uque Keruest un sous-espace vectoriel de Eet Imuest un
sous-espace vectoriel de F. La dimension de Imuest appelée le rang de uet est notée r g (u).
Théorème 6 (Théorème du rang).Soit u :E→F une application linéaire. Alors
dimKeru +dimImu =dimE
On se rappellera bien ici que c’est la dimension de l’espace de départ de uqui compte.
Conséquence. Soit u:E→Fune application linéaire, avec dimE=dimF. Alors les trois assertions
suivantes sont équivalentes :
—uest injective,
—uest surjective,
—uest bijective.
En effet, dire que uest injective est équivalent à dire que dimK er (u)=0, et donc que dimIm(u)=
dimE=dimF, ce qui se traduit en disant que uest surjective.
2.4 Matrice d’une application linéaire
Soit u:E→Fune application linéaire , et soient Eune base de Eet Fune base de F. La matrice de
urelativement aux bases Eet Fest la matrice
ME,F(u)=£[u(e1)]F,...,[u(en)]F¤,
dont la colonne d’indice jest le vecteur colonne des coordonnées dans Fde l’image par udu j-ième
vecteur de E.
Proposition 7. Les coordonnées de l’image par u d’un vecteur x sont exprimées par :
[u(x)]F=ME,F(u)[x]E
5