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Fonctions Logarithmes
Fonctions logarithmes
1
lim ln
xxx
;
1
lim ln
x
x
xx
;
0
ln 1
lim
x
x
x
;
ln 1
lim
x
x
x
;
0
3ln 1
lim 2ln 2
x
x
x
1
lim ln 1
x
x
xx
;
2
ln 2
lim 2
x
x
x
;
2
0
lim 3 2 ln
xxx
;
2
3
ln
lim
x
x
x
;
2
ln 1
lim
x
xx
x
ln 1 ln
lim
x
x
x
;
0
ln cos
lim
x
x
x
;
0
ln 1
lim
x
x
x
Dans le graphique ci-dessous, on a représenté dans un repère orthonormé
,,O i j
la courbe
représentative de la fonction logarithme népérien.
Placer, sur l’axe des abscisses les nombres
ae
,
b
e
,
ab
,
2
a
,
a
b
,
a
et
a
c
.
EXERCICE N°1 :
15'
4 points
EXERCICE N°2 :
10'
2 points
Magazine
01
ANALYSE
Fonctions logarithmes
BAC
2
I– La figure ci-dessous, montre la courbe représentative
g
C
dans un repère orthonormé, de la fonction
g définie sur l’intervalle
]0; [
par :
1 2lng x x x
.
La courbe
g
C
coupe l’axe des abscisses en deux points d’abscisses 1 et
.
1°) a) Montrer que
3,51 3,52
.
b) Déterminer le maximum de
gx
.
2°) a) À l’aide d’une intégration par parties, calculer
1ln xdx
en fonction de .
b) En déduire l’aire S ( ) du domaine hachuré limité par
g
C
et l’axe des abscisses
II–Soit f la fonction définie sur
]0; [
par
2
1 2ln
() x
fx x
.
On désigne par
f
C
la courbe représentative de f dans un repère orthonormé
,,O i j
.
1°) a) Déterminer le point d’intersection de
f
C
avec l’axe des abscisses.
b) Montrer que les axes du repère sont asymptotes à
f
C
.
2°) a) Montrer que f est dérivable sur
]0; [
, et pour tout
0;x
,
3
4ln
'( ) x
fx x
.
b) Dresser le tableau de variations de f et montrer que
1
()f
.
c) Tracer
f
C
.
3°) a) Montrer que la restriction de f à l’intervalle
[1; [
admet une fonction réciproque f 1.
b) Déterminer l’ensemble de définition et l’ensemble de dérivabilité de f 1.
c) Résoudre l’inéquation
1
fx
.
III– Soit
I( ).
n
la suite définie, pour n 4, par
I1n
nnf x dx
.
1°) Démontrer que, pour tout x dans l’intervalle
[4; [
,
1
0.fx x
2°) En déduire que, pour tout entier naturel n 4,
I1
0 ln .
n
n
n
3°) Déterminer la limite de la suite
I( ).
n
EXERCICE N°3 :
40'
6 points
6
7
1
/
7
100%
