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Fonctions Logarithmes
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Fonctions logarithmes
01
Magazine
EXERCICE N°1 :
lim
x 
BAC
ANALYSE
Fonctions logarithmes
15'
4 points
ln  x  1
ln  x  1
3ln x  1
 x 1
 x 1
; lim
; lim
; lim
 lim x ln 
x  ln x ; lim x ln 

;
x 0 2ln x  2 x 
x 
x 
x
x
 x  x 0
 x 1 
x
ln  
2
ln 1  x 2  x
ln x 
ln 1  ln x 
ln  cos x 

2
2

lim
; lim x 3  2  ln x  ; lim 3
; lim
 lim
; lim
;
x 0
x 
x 2 x  2
x 
x 0
x 
x
x
x
x

lim
x 0

ln 1  x
x

 
EXERCICE N°2 :
10'
2 points


Dans le graphique ci-dessous, on a représenté dans un repère orthonormé O , i , j la courbe
représentative de la fonction logarithme népérien.
Placer, sur l’axe des abscisses les nombres ae ,
1
b
a
a
, ab , a2 , , a et .
e
b
c
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EXERCICE N°3 :
40'
6 points
I– La figure ci-dessous, montre la courbe représentative Cg dans un repère orthonormé, de la fonction
g définie sur l’intervalle ]0;  [ par : g  x   1  x  2ln  x  .
 La courbe
Cg coupe l’axe des abscisses en deux points d’abscisses 1 et  .
1°) a) Montrer que 3,51    3,52 .
b) Déterminer le maximum de g  x  .
2°) a) À l’aide d’une intégration par parties, calculer


1
ln x dx en fonction de .
b) En déduire l’aire S ( ) du domaine hachuré limité par
II–Soit f la fonction définie sur ]0;  [ par f ( x ) 
Cg et l’axe des abscisses
1  2ln x
.
x2
Cf la courbe représentative de f dans un repère orthonormé O , i , j  .
1°) a) Déterminer le point d’intersection de Cf avec l’axe des abscisses.
On désigne par
b) Montrer que les axes du repère sont asymptotes à
Cf .
2°) a) Montrer que f est dérivable sur ]0;  [ , et pour tout x  0;  , f '( x ) 
b) Dresser le tableau de variations de f et montrer que f ( ) 
1

4ln x
.
x3
.
c) Tracer Cf .
3°) a) Montrer que la restriction de f à l’intervalle [1;  [ admet une fonction réciproque f 1.
b) Déterminer l’ensemble de définition et l’ensemble de dérivabilité de f 1.
c) Résoudre l’inéquation f 1  x    .
III– Soit ( In ). la suite définie, pour n  4, par In  
n 1
n
f  x  dx .
1
1°) Démontrer que, pour tout x dans l’intervalle [4;  [ , 0  f  x   .
x
 n1
2°) En déduire que, pour tout entier naturel n  4, 0  In  ln 
.
 n 
3°) Déterminer la limite de la suite ( In ).
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