Fonctions Logarithmes Sousse - Nabeul - Bardo - Sfax 2339024 8 - 29862815 www.takiacademy.com contact@ takiacademy.com Fonctions logarithmes 01 Magazine EXERCICE N°1 : lim x BAC ANALYSE Fonctions logarithmes 15' 4 points ln x 1 ln x 1 3ln x 1 x 1 x 1 ; lim ; lim ; lim lim x ln x ln x ; lim x ln ; x 0 2ln x 2 x x x x x x x 0 x 1 x ln 2 ln 1 x 2 x ln x ln 1 ln x ln cos x 2 2 lim ; lim x 3 2 ln x ; lim 3 ; lim lim ; lim ; x 0 x x 2 x 2 x x 0 x x x x x lim x 0 ln 1 x x EXERCICE N°2 : 10' 2 points Dans le graphique ci-dessous, on a représenté dans un repère orthonormé O , i , j la courbe représentative de la fonction logarithme népérien. Placer, sur l’axe des abscisses les nombres ae , 1 b a a , ab , a2 , , a et . e b c Tél : +216 29 862 229 / +216 29 862 464 - Email : [email protected] EXERCICE N°3 : 40' 6 points I– La figure ci-dessous, montre la courbe représentative Cg dans un repère orthonormé, de la fonction g définie sur l’intervalle ]0; [ par : g x 1 x 2ln x . La courbe Cg coupe l’axe des abscisses en deux points d’abscisses 1 et . 1°) a) Montrer que 3,51 3,52 . b) Déterminer le maximum de g x . 2°) a) À l’aide d’une intégration par parties, calculer 1 ln x dx en fonction de . b) En déduire l’aire S ( ) du domaine hachuré limité par II–Soit f la fonction définie sur ]0; [ par f ( x ) Cg et l’axe des abscisses 1 2ln x . x2 Cf la courbe représentative de f dans un repère orthonormé O , i , j . 1°) a) Déterminer le point d’intersection de Cf avec l’axe des abscisses. On désigne par b) Montrer que les axes du repère sont asymptotes à Cf . 2°) a) Montrer que f est dérivable sur ]0; [ , et pour tout x 0; , f '( x ) b) Dresser le tableau de variations de f et montrer que f ( ) 1 4ln x . x3 . c) Tracer Cf . 3°) a) Montrer que la restriction de f à l’intervalle [1; [ admet une fonction réciproque f 1. b) Déterminer l’ensemble de définition et l’ensemble de dérivabilité de f 1. c) Résoudre l’inéquation f 1 x . III– Soit ( In ). la suite définie, pour n 4, par In n 1 n f x dx . 1 1°) Démontrer que, pour tout x dans l’intervalle [4; [ , 0 f x . x n1 2°) En déduire que, pour tout entier naturel n 4, 0 In ln . n 3°) Déterminer la limite de la suite ( In ). +216 29 862 229 / +216 29 862 464 - Email : [email protected] 2 Sousse - Nabeul - Bardo - Sfax 23390248 - 29862815 www.takiacademy.com [email protected] www.TakiAcademy.com